基于動態特性回轉復合壓曲機模盒組件優化設計

孟遙志 石 艷 廖映華 楊正權 李曉宏

(1. 四川輕化工大學機械工程學院，四川 宜賓 644000；2. 四川宜賓岷江機械制造有限責任公司，四川 宜賓 644000)

回轉復合壓曲機主要用于曲酒廠壓制曲塊，也可供釀醋廠壓曲之用，是一種仿人工踩曲運動的機械制曲機構，對工作性能要求較高[1]。模盒組件作為回轉復合壓曲機的主要組件，其動態特性和質量是影響該壓曲設備工作性能的重要因素，在工作過程中，因振動以及質量較大產生的轉動慣量都會使得模盒組件與拍打組件的相對速度和相對位置發生改變，從而影響兩者之間的定位精度。通過減輕模盒組件的質量和改善其動態特性，不僅可以降低制造成本，對提高綜合性能具有重要意義。

在壓曲機結構優化方面，邢耀文[2]對壓曲機機架底座進行有限元靜力學分析，在此基礎上進行了結構優化設計；安寧[3]對壓曲橫梁設計了兩種不同的方案，分別對兩種方案進行了靜力學分析，確定其中較優的方案；謝亮亮等[4]采用有限元軟件對制曲機關鍵部件支撐板進行靜態力學分析，對其參數變量進行多目標優化設計。上述文獻對壓曲機結構大多進行靜力學分析，很少有考慮對其結構進行動態特性分析。

研究擬以回轉復合壓曲機的模盒組件作為研究對象，建立模盒組件有限元模型，并結合實際工作情況，對其模型施加約束條件后進行動態特性分析，基于變密度法對其結構進行拓撲優化，并采用多目標遺傳算法對改進后的拓撲結構進行優化設計。

1 建立模盒組件有限元模型

1.1 回轉復合壓曲機簡介

研究的模盒組件來自回轉復合壓曲機，該壓曲設備的整體結構如圖1所示，其中模盒組件是由模盒、模盒固定板以及蓋板等組成。壓曲機的壓曲方式采用初次成形與兩次拍打成形同步工作，每次壓制兩塊曲坯，整機外形尺寸約2 550 mm×2 450 mm×2 010 mm，工作時模盒組件由伺服電機及傳動系統帶動作間歇性回轉運動，進料斗置于模盒組件正上方，進料氣缸與錯位進料斗連接并驅動進料斗料盒前后移動，初壓緊成形壓模機構和多次多點踩壓壓模機構分別由相應的壓模油缸驅動，出料氣缸驅動出料壓板豎直運動將模盒中的成型曲坯頂出模盒，從而依次完成進料、初壓緊成形、兩次多次多點踩壓成形以及曲坯脫模5個工序動作。

1.2 確定模盒組件的轉速

(1) 根據回轉復合壓曲機的額定產量為900塊/h，模盒組件共有5個工位，每個工位生產2塊曲坯，可計算出每個工位用時為8 s。

(2) 將拍打組件向下豎直運動對曲料進行拍壓后，再上升至初始位置的時間設定為6 s，即每個工位之間用時為2 s，模盒組件轉動一周共用時10 s，通過計算得出轉速為6 r/min。

1.3 建立模盒組件有限元模型

模盒組件選用的材料為Q345，在有限元分析中進行網格劃分時，由于模盒固定板與模盒以及旋轉座之間是通過螺釘連接，考慮到螺紋孔對其模型的動態特性影響較小，因此在建模時對螺紋孔進行去除。采用自由網格劃分方法對其模型進行網格劃分，最大網格單元尺寸設置為20 mm，網格劃分后共有173 743個單元和283 532個節點，模盒組件的有限元網格模型如圖2所示，其中模盒組件直徑為2 200 mm，模盒規格為600 mm×415 mm×170 mm。

1. 機架 2. 伺服電機 3. 小齒輪 4. 模盒組件 5. 初壓緊成形壓模機構 6. 壓緊氣缸 7. 錯位進料機構 8. 多次多點踩壓壓模機構 9. 出料組件 10. 拍打氣缸

圖2 模盒組件有限元模型Figure 2 Finite element model of die box component

2 模盒組件動態特性分析

2.1 模態分析理論基礎

模態分析主要是獲得模盒組件結構的固有頻率和模態振型，從而確定該結構的固有振動特性，同時也避免在工作過程中發生共振，由牛頓力學理論可得無阻尼自由振動微分方程為[5-6]：

(1)

式中：

[M]——結構的質量矩陣；

[K]——結構剛度矩陣；

{μ}——結構位移響應向量。

式(1)的特征值方程為：

([K]-ω2[M]){μ}={0}，

(2)

式中：

ω——結構的固有頻率，Hz。

通過式(2)求解得到模盒組件的各階固有頻率及模態振型。

2.2 模態分析過程及結果

采用Block Lanzcos法對模盒組件進行模態分析，首先定義約束條件，由于模盒組件與旋轉座是通過螺釘連接，兩者之間未產生相對運動，因此對安裝螺釘孔表面施加固定約束，限制所有自由度，并在Y軸方向添加轉動載荷，其轉速大小為6 r/min。根據振動理論，低階振型比高階振型對模盒組件結構的動態特性影響更強，因此對模盒組件進行模態分析時主要集中在前4階模態，其模態振型如圖3所示，固有頻率與振型描述如表1所示。

由于伺服電機與模盒組件均安裝在機架上，為了保證回轉復合壓曲機正常工作，其伺服電機最高轉速不能超過模盒組件的1階臨界轉速的75%[7]。該壓曲設備工作時伺服電機的最高轉速為1 800 r/min左右，與1階臨界轉速60×44.725×0.75=2 012.63 r/min比較接近，兩者發生低頻耦合共振的幾率較大，需要提高模盒組件的低階頻率，以避免共振現象的發生。

圖3 模盒組件前四階振型圖Figure 3 Diagram of the first four vibration modes of the die box component

表1 模盒組件前4階固有頻率和振型描述

根據圖3可知，模盒組件的1階、2階和3階振型特征主要表現為模盒組件整體發生上下擺振，而4階振型特征表現為模盒組件整體邊緣出現較大的扭振變形，將嚴重影響拍打組件與模盒組件之間的相對速度和相對位置，對該設備結構也會造成損壞，導致無法正常工作。由于模盒組件的1階固有頻率較低，考慮到工作時對該設備結構的穩定性要求較高，故對模盒組件進行優化來改善其動態性能。

2.3 諧響應分析理論基礎

采用模態疊加法對模盒組件進行諧響應分析，可以得到激振頻率與振動幅值之間的對應關系，以確定模盒組件結構中較為薄弱的區域[8]，根據諧響應分析動力學方程為[9]：

([K]-w2[M]+iw[C])({X1}+i{X2})={F1}+i{F2}，

(3)

式中：

[K]——剛度矩陣；

[M]——質量矩陣；

[C]——阻尼矩陣；

w——角頻率，rad/s；

i——虛數。

求解時提取n階模態，則位移{X}可用模態坐標表示為：

(4)

式中：

{φi}——模態振型，mm；

yi——第i階模態下的模態坐標。

在模態坐標下的結構動力學方程為：

(5)

式中：

wi——第i階固有頻率，Hz；

ζi——第i階阻尼比；

Fi——第i階模態坐標下的力，N。

Fi={φi}T{Fn}。

(6)

根據載荷周期性，模態坐標力Fi和模態坐標yi分別表示為：

(7)

式中：

Fic——第i階模態力復振幅，mm；

yic——第i階模態坐標復振幅，mm。

將式(6)和式(7)代入到式(4)中，求解出位移為：

(8)

2.4 諧響應分析過程及結果

模盒組件進行諧響應分析時，在模盒的前壁板與中間壁板的表面上施加30.75 N的簡諧力，方向沿X軸方向，并根據模態分析結果，設置簡諧力頻率范圍為40～70 Hz，載荷子步數為30，對模盒組件X、Y、Z3個方向的響應位移進行求解，得到諧響應曲線如圖4所示。

圖4 諧響應曲線Figure 4 Harmonic response curve

由圖4可以看出，其頻率在44.730，54.516 Hz附近時出現響應峰值，且這兩個頻率分別出現在模態分析的第2、3階固有頻率附近，說明該頻率對模盒組件結構的動態性能影響較大，容易引起共振現象，在設計時應避開上述頻率。通過分析可知，諧響應分析與模態分析結果基本一致，從而驗證模盒組件動態特性分析結果的準確性。

3 模盒組件動態特性拓撲優化

3.1 基于變密度法的拓撲優化

變密度法是假設材料的密度在0與1之間可變，將單元密度作為設計變量來控制取值使得結構單元的彈性模量發生改變，采用變密度法中的固體各向同性懲罰法(SIMP)，其材料插值模型[10-11]：

(9)

式中：

Emin、E0——相對密度近似為0和1部分的材料彈性模量，MPa；

p——材料的懲罰因子；

xi——第i個單元的相對密度。

根據變密度理論可知，中間密度單元是無法進行制造的，因此盡量避免中間密度單元的產生，需要對設計變量中間密度單元進行懲罰[12]，由于模盒組件拓撲優化模型為三維實體模型，故懲罰函數的數學公式為[13]：

(10)

式中：

γ——材料的泊松比。

由圖5可知，懲罰因子的不同會使彈性模量與相對密度發生改變，懲罰因子取值越大，則會使過多的單元相對密度趨近于0，導致優化結果收斂性差，故懲罰因子p取值為3。

圖5 彈性模量與相對密度的關系Figure 5 Relation between elastic modulus and relative density

3.2 建立動態特性拓撲優化數學模型

通過對模盒組件動態特性拓撲優化來改善其結構的模態特性，使結構的低階頻率高于外界的激勵頻率，從而避免發生共振。將模盒組件的固有頻率最大化作為優化目標，保留體積響應約束作為約束條件，在多階模態的情況下動態特性拓撲優化的數學模型為[14]：

(11)

式中：

fζ(x)——多階固有頻率目標函數，Hz；

ζi——第i階固有頻率目標函數的加權系數；

n——模態的階數；

V(xi)——優化后模盒組件的有效體積，mm3；

V0——模盒組件的原始體積，mm3；

η——體積約束比值。

3.3 模盒組件拓撲優化

為了保證模盒固定板與旋轉座以及模盒之間的安裝可靠，安裝螺釘孔位置是無法進行優化的，所以將螺釘孔處以及施加約束區域設定為非設計區域，其他部分均為優化設計區域，具體情況如圖6所示。

圖6 優化設計區域與非設計區域Figure 6 Optimized design area and non-design area

模盒組件進行拓撲優化時，設置頻率的權值為0.6，保留體積響應約束為30%，隨著迭代次數的增加，目標函數的優化值經過35次迭代后滿足收斂精度，迭代曲線如圖7所示，拓撲優化密度云圖如圖8所示。

圖7 目標函數迭代曲線Figure 7 Iteration curve of objective function

圖8 拓撲優化密度云圖Figure 8 Topology optimization density cloud

根據圖8可知，深色區域是設計變量相對密度為0.6～1.0的材料，這些區域的材料建議保留，淺色區域是設計變量密度為0.4～0.6的材料，這些區域的材料是可以部分去除的。

3.4 模盒組件拓撲結構改進

根據拓撲優化結果以及模盒組件結構的實際特征，將拓撲優化結構中的模盒之間的連接板進行倒圓角處理，由于模盒組件結構主要變形為彎曲和扭轉變形，為了降低結構的變形，在連接板區域合理地布置筋板結構，可增加該區域結構的剛度，改進前后模盒組件實體模型，如圖9所示。通過拓撲優化改進后的結構只能獲得大致結構，為了得到在設定的優化目標以及約束條件下的最優結構，需要進一步對其結構進行多目標優化。

圖9 改進前后模盒組件實體模型Figure 9 Improved entity models of front and rear die box component

4 模盒組件的多目標優化

4.1 確定設計變量

根據改進后的模盒組件對其進行參數化建模，為了保證模盒組件與旋轉座之間的安裝尺寸不變，因此，圓形筋板內圓半徑R2保持不變，其中D1、D2、R1為變量，當取值越大，模盒組件的質量就越大，但是取值過小會影響模盒組件的動態性能，因此，需要通過多目標優化找出D1、D2、R1的最優設計參數。故選取了模盒組件的圓形筋板外圓半徑R1，矩形筋板寬度D1和矩形筋板厚度D2作為設計變量，其中R1>R2=250 mm，矩形筋板厚度與圓形筋板厚度相同，如圖10所示。

圖10 模盒組件參數分布圖Figure 10 Distribution of parameters of die box component

4.2 建立響應面模型

在確定設計變量的基礎上，采用中心復合設計方法(CCD)對模盒組件進行試驗設計，由于中心復合設計方法能以較少的試驗點建立精確的二階響應面模型，可以很好地反映設計空間特性的樣本點，經計算得到了15組試驗設計點，如表2所示。

表2 試驗設計點

為了更直觀地反映各個設計變量對優化目標的敏感程度，選用了Kriging插值法建立模盒組件二階響應面模型，分別生成模盒組件圓形筋板外圓半徑R1、矩形筋板寬度D1與質量和1階固有頻率的響應面關系，如圖11所示。

圖11 響應面關系圖Figure 11 Response surface diagram

由圖11可知，模盒組件的圓形筋板外圓半徑R1、矩形筋板寬度D1對質量和1階固有頻率的影響較大，當增加R1和D1的數值會使得模盒組件的質量與1階固有頻率的數值也隨之增加。

4.3 建立多目標優化數學模型

在模盒組件的優化設計中，考慮到模盒組件1階固有頻率對其質量的影響，在改善模盒組件動態性能的前提下，盡量使其質量降低，故將模盒組件的1階固有頻率最大化和質量最小化作為優化目標，設計變量的取值范圍作為約束條件，建立模盒組件多目標優化的數學模型為：

(12)

式中：

x——設計變量，mm；

F(x)——目標函數，kg；

f1(x)——第1階固有頻率，Hz；

m——模盒組件質量，kg；

n——系統自由度；

μi——柔度系數；

mi——i點的質量，kg。

4.4 基于遺傳算法的多目標優化

采用多目標遺傳算法(MOGA)中帶有精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對模盒組件目標函數進行尋優求解，NSGA-Ⅱ算法流程如圖12所示，其原理是將父代種群與子代種群進行合并，采用非支配排序擁擠距離計算，將每代群體中適應度較高的個體選入下一代，修剪種群中適應度較低的個體，通過精英策略來提高優化結果的精度。

由式(13)計算得出遺傳算法在第n代選擇、交叉、變異后下一代的總個體數目[15]：

圖12 NSGA-Ⅱ算法流程Figure 12 NSGA- II algorithm flow

(13)

式中：

m(a,n+1)——在第n+1代中a模式的個體數目，個；

f——n代的個體平均適應度；

λ——染色體長度，mb；

δ(a)——模式長度，mm；

H——模式的階次；

p1——交叉概率；

p2——變異概率。

根據多目標遺傳算法理論，設定初始樣本數為100，最大迭代次數為20，收斂準則為70%，經求解計算得最優Pareto解集，如圖13所示，經過優化后再從最優Pareto解集中選取3組候選點，如表3所示，雖然候選點3的模盒組件質量最小，由于研究主要考慮模盒組件動態特性的影響，故選取候選點2作為最優設計點。

圖13 最優Pareto解集Figure 13 Optimal Pareto solution set

5 模盒組件動態特性驗證

將候選點2進行修正后并作為最優設計點，重新建立模盒組件有限元模型，施加與之前相同的邊界條件進行計算與驗證，模盒組件優化前后固有頻率及質量的變化，如表4所示。

表3 候選點

表4 優化前后分析結果

由表4可知，通過對比模盒組件優化前后的固有頻率及質量的變化，結果表明：質量減輕了15.13%，前4階固有頻率分別增加了14.09%，14.14%，3.54%，10.37%。說明優化后模盒組件結構的動態特性得到了改善，滿足了模盒組件多目標優化設計的要求。

6 結論

通過對回轉復合壓曲機模盒組件進行實體建模，并對其有限元模型進行動態特性分析，得到了模盒組件模型中比較薄弱的區域，從而確定其結構優化方向?；谧兠芏确▽δ：薪M件模型進行動態特性拓撲優化，根據拓撲優化結果及模盒組件的實際特征對拓撲結構進行改進，得到了模盒組件的初步模型。在滿足模盒組件安裝尺寸要求的條件下，確定主要的設計變量，利用有限元數值模擬與多目標遺傳算法相結合，建立模盒組件響應面模型，運用快速非支配排序遺傳算法對目標函數進行求解，獲得了Pareto最優解。優化后在提高模盒組件結構的抗振性的同時也減輕了質量，也為今后壓曲機的設計提供了參考依據。