基于RC移相電路的電阻測量方法探究

程欣妍 周坤 徐亞東 孫寶印

蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇蘇州 215006

電阻是電學中最基本的物理量之一，電阻大小與導體的尺寸、材料和溫度等有關。物理課堂中電阻的測量通常采用伏安法，并拓展延伸出等效替代法、比例法和半偏法等一系列以歐姆定律為基礎的實驗方案。這些方案能有效促進學生對物理概念的理解和一些重要物理思想的把握，但在電阻測量實驗設計中一般都采用直流電源，電路中只需分析直流信號。然而實際生活中城市用電都是交流電，絕大多數家用電器輸入的也都是交流信號，學生實驗只考慮用直流電路測電阻將容易導致學生物理學習脫離生活，不利于形成正確的物理觀念。基于此，我們介紹了一種用RC移相電路測量交流電路中定值電阻的方法，以加深學生對交流電路特性的認識，促進學生物理核心素養的發展。

1 實驗原理及方法

1.1 RC移相電路

相位是交流信號的一個重要參量，以正弦交流電壓Ui=Uimsin(ωt+θ)為例，Ui是交流電壓的瞬時值，Uim是交流電壓的最大值，ω是交流電的頻率，t是時間，θ是初始相位，(ωt+θ)稱為相位，相位大小決定信號在該時刻的幅值大小。在交流電路的研究與設計當中，通過由電器元件電阻、電感和電容組成的不同組合電路，改變輸出正弦波信號與輸入正弦信號的相位關系，可構成移相電路。RC移相電路是其中一種典型電路，在通信、儀器儀表、導彈、雷達技術等眾多技術領域中應用廣泛[1]。

圖1(a)為0°到90°的相位偏移電路，其中輸入端和輸出端分別為Ui和UR，Ui為正弦交流信號。根據電路的特點，輸入端Ui可用三角函數表示為：

(1)

則輸出電壓UR為：

(2)

式中URm為正弦信號，UR為峰值，θ為圖1(b)向量圖所示夾角，0°<θ<90°。由向量圖得出，A點可在以Ui為直徑的半圓弧上任意滑動，從而輸出電壓(UR)始終比輸入電壓(Ui)相位超前一個角度θ，這種電路稱為RC超前型移相電路。如將輸出端改為電容C，那將得到RC滯后型移相電路。

(a)

1.2 RC移相電路測電阻的方法

對于RC超前型移相電路，θ的大小取決于Ui的頻率、電容和電阻三個值的大小，關系如下：

(3)

通過(3)式，只要設法測得移相角θ，就可以通過頻率f和電容C的值得到電阻R的值。

基于RC移相電路的這種特性，通過找到相應的物理參數，反過來可以求測出電阻R的值。如圖2所示為雙蹤示波器顯示的輸出電壓UR和輸入電壓Ui的波形示意圖，利用上式(3)，由波形圖得出電阻R(簡稱電壓法)計算公式：

(4)

由式子(3)(4)聯立可得:

(5)

同時，圖2中給出了波形偏移時間Δt，其中Δt

(6)

(7)

圖2 雙蹤示波器顯示UR和Ui波形

基于以上分析，只需通過示波器得出圖2所示Δt、Uim、URm，即可用電壓法和時間差法分別得出電阻R的值。

2 Multisim仿真模擬

Multisim是由美國國家儀器公司推出的一款專門用于電子線路仿真和設計的仿真軟件，其在教學和電子電氣工程領域應用十分廣泛[2-3]。這里我們借助Multisim12仿真模擬RC移相電路，仿真實驗中，各參數如下：Uim=V1-peak=2V，f=500Hz，C1=0.5μF，R1=910Ω。

圖3為RC移相電路設計圖，圖4為其輸入端和輸出端波形圖，輸出端波形UR相位明顯提前于輸入端Ui，且UR峰值略小于Ui峰值，這與圖1(b)所示情況一致，根據圖中給出的數據，分別用式(4)和式(6)計算，得到相位角θ分別為34.9761°和35.0103°；同時，圖5所示為RC移相電路的Bode圖，圖中可讀取460.00～540.00Hz頻率間任意頻率下輸入端Ui與輸出端UR間相位角θ，圖中所示500.00Hz時，相位角θ為34.9783°，這也從反面驗證了式(4)和式(6)計算出的相位角θ的準確性，從而驗證實驗的可行性和準確性。基于以上仿真模擬實驗，式(5)和式(7)均可用于測量計算待測電阻Rx。

圖3 RC移相電路圖

圖4 RC移相電路輸入端和輸出端波形圖

圖5 RC移相電路的Bode圖

3 實驗測量

3.1 實驗儀器

信號發生器(SIGLENT SDG1050，f=500Hz，Uim=2V)、示波器(IWATSU SS-7802A)、電容(C=0.5μF)、待測電阻(Rx=910.00Ω)。

3.2 實驗結果與誤差分析

實驗時，先將RC移相電路輸入、輸出端電壓Ui和UR分別連上示波器CH1、CH2，將雙蹤波形振幅顯示約占屏幕50%，橫向顯示1～2個完整波形。測試中使用頻率為500Hz，輸入電壓幅度為2V的正弦交流信號，水平掃描時間因數設置為200μs/div，垂直偏轉系數設置為1V/div，調節觸發電平，使波形穩定顯示。利用示波器“幅度”和“寬度”測量功能，分別對幅度(即UR波峰波谷間電壓差)和寬度Δt進行5次測量，獲取數據如表1所示。

表1 實驗測量數據

實驗中示波器測量幅值和寬度值誤差主要來源于以下三方面：測量重復性引入的不確定度σa、測量幅度/寬度的讀數分辨率引入的不確定度σb[4-6]。進而得到時間差法電阻Rx的不確定度傳遞公式:

(8)

以及電壓法電阻Rx的不確定度傳遞公式：

(9)

由表格1數據，根據式(5)、式(7)計算得到待測電阻值。同時由式(8)、式(9)，計算得到時間差法和電壓法的不確定度和百分誤差，如表2所示。

表2 兩種方法的不確定度及百分誤差

由表2計算結果可知：電壓法的測量結果914.22Ω更接近真實值，其百分誤差僅為0.46%，明顯優于時間差法的2.44%。相較于時間差法，電壓法測電阻更具優勢。事實上，在時間差法實驗中，由于波形的輕微移位，獲得準確的時間差Δt是相對困難的。對于Rx的不確定度，表2顯示，讀數分辨率是造成其絕對數值較大的主要原因。

RC移相電路測電阻解決了傳統測電阻方法局限于直流電路中的問題，將測量電阻的實驗拓展到交流電路中。該方法有利于加深學生對RC移相電路的認識，傳統教學中，常通過電阻和電容控制相位。本實驗利用RC移相電路的特點測量電阻，有利于學生加深對知識點的認識。本實驗方法簡單，數據方便易讀，測量結果準確。然而，由于受讀數分辨率和示波器測量精度的限制，Rx的不確定度絕對數值較大。其次，對于時間差法，其時間差的測量容易受波形移位的影響。

4 總結

本文介紹了基于RC移相電路測量電阻的兩種方法：時間差法和電壓法。實驗表明，時間差法因時間差難以精確測量，造成測量結果誤差較大；而電壓法兼具方法簡單和測量結果準確的特點，其百分誤差僅為0.46%。然而，受限于讀數分辨率和示波器測量精度，不確定度絕對數值均較大，還需要進一步研究其改進方案，但仍不失為一種較優的電阻測量方法。