基于奇異避免的薄壁件鏡像銑削加工路徑優化

錢 櫳 張立強 高秋閣 楊 杰

上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海，201620

0 引言

在航空制造領域，蒙皮作為重要的飛機外表零件被廣泛使用[1]。飛機蒙皮零件具有尺寸大、厚度小、外形復雜等特點，在加工過程中易發生振顫，檢測難度大[2-3]。傳統的飛機蒙皮加工方式采用化學銑削加工[4]，化學銑削在工藝和設備的使用上都較為便捷，并且操作方便、投資少。化學銑削加工時至今日在制造業領域仍然起著不可忽視的作用。隨著數字控制技術的發展，以及加快構建綠色制造體系、大力發展綠色制造產業的提出，蒙皮零件的加工朝著低碳、低成本、綠色的新型能耗標準轉型，鏡像銑削加工是一種針對大型薄壁件開發的新型加工技術，其優越性也已經得到驗證[5]。鏡像銑削加工系統由兩端對稱的臥式五軸機床組成，一側是五軸銑頭，另一側是對稱的五軸支撐系統。在加工過程中，銑頭與支撐頭軸線時刻保持在同一條直線上，并且與蒙皮表面垂直，保證蒙皮加工區域的局部剛性。同時，支撐頭還帶有激光掃描、實時測厚補償等功能，鏡像銑削加工技術能夠顯著提高蒙皮的生產效率和加工質量，是目前蒙皮數字化制造的關鍵和發展趨勢。

五軸機床的運動軸會由于運動突變而引起奇異問題，這在鏡像銑削加工過程中也不可避免地會遇到[6]。奇異問題會引起加工軌跡不光順，當進入奇異區域時，機床旋轉軸運動劇烈，無法滿足其動態性能，進而影響機床的加工精度，導致加工效率的降低，加工零件的表面質量達不到要求。

針對五軸的奇異問題，國內外已進行了大量的研究。YANG等[7]通過優化刀軸矢量對樣條曲線控制點進行微調，從而規避奇異區域；MUNLIN等[8]對A、C軸的旋轉角度進行最優值選擇，減小了旋轉角的急劇變化，但是在調整旋轉軸時會引入加工誤差；KNUT[9]通過在奇異點附近插入刀位點來減小經過奇異點的加工誤差；王峰等[10]提出對奇異區域檢測的條件，由于缺少關于“病態”條件數的定量標準，因此無法精確計算且效率較低；鄭飂默等[11]使用實時插補方法在刀位點處進行平滑連接，加工質量得到了提高；王丹等[12]對奇異區域的刀位點進行線性插值，提高了加工件的精度。針對五軸的奇異問題，上述研究主要通過優化刀軸矢量來實現加工路徑的光順。但對于鏡像銑削而言，銑頭與支撐頭必須垂直于工件表面的同時，還需要保證支撐側壁厚測量的穩定和準確，所以僅僅是修改刀軸矢量會導致法向的偏離，影響加工表面質量和精度要求。

本文針對鏡像銑削過程中旋轉軸運動突變帶來的奇異問題，基于C-空間的概念，在奇異區域邊界約束條件下，同時滿足鏡像銑削加工中刀軸矢量與工件表面保持垂直，以最小刀軸矢量距離確定備選刀軸矢量，對奇異區域的刀軸矢量進行局部修正。然后對整條加工路徑進行B樣條曲線擬合，基于最小參數曲線應變能建立優化模型，通過對參數曲線的調整，提高優化路徑的光順性，保證加工效率，提高加工質量。最后，通過仿真實驗和實際加工結果驗證了本文方法可有效解決薄壁件鏡像銑削加工過程中的奇異問題。

1 雙五軸機床運動學變換與奇異問題分析

1.1 C1-A1、B2-A2雙五軸臥式機床旋轉軸運動學變換

本文以C1-A1、B2-A2雙五軸鏡像銑機床為研究對象，如圖1所示。銑削側為C1-A1雙擺頭結構，其旋轉軸的旋轉量分別記為A1和C1。銑削側的刀軸矢量表達式為

(1)

圖1 雙五軸鏡像銑機床Fig.1 Double five-axis mirror milling machine

根據式(1)可以通過銑削側運動學逆變換求得A1和C1角的解為

(2)

其中,A1角的取值范圍為[-90°，90°]，C1角的取值范圍為[-360°，360°]，kA1、kC1分別為求解旋轉軸A1和C1的解系數，kA1=±1,kC1=0或kC1=±2。k決定了A1軸的變化量，i和j決定了C1軸的變化量。C1角與i和j的取值關系如表1所示。

表1 C1角與i、j的取值關系

支撐裝置為B2-A2雙擺頭結構，其旋轉軸的旋轉量分別記為A2和B2。支撐頭運動的刀軸矢量表達式為

(3)

根據支撐側旋轉軸運動學逆變換分析，旋轉角存在多解。當j=±1時，所求得A2和B2角的解為

(4)

當j≠±1時，所求得A2和B2角的解為

(5)

其中，A2的取值范圍為[-65°，65°]，B2的取值范圍為[-360°，360°]，kB2為求解旋轉軸B2的解系數，kB2=0或kB2=±2。

1.2 旋轉軸奇異問題分析

鏡像銑削機床在加工過程中集隨動支撐、壁厚在線測量、加工誤差補償等功能于一體。鏡像銑削加工系統由兩端對稱的臥式五軸機床組成，一側是五軸銑頭，另一側是對稱的五軸支撐系統。本文針對鏡像銑削加工中遇到的奇異問題，已在1.1節中對鏡像銑削兩側的五軸運動學變換進行了運動描述。

針對支撐側B2-A2雙擺頭結構，A2角為±90°時，此時i=0,k=0,由式(3)可知，此時刀軸矢量(i,j,k)T=(0,1,0)T,且為支撐側的奇異點。由于支撐側A2角的取值范圍為[-65°，65°]，不會到達±90°的位置，因此在鏡像銑削加工中，可以不用考慮支撐側旋轉軸的奇異問題。

針對銑削側C1-A1雙擺頭結構，當A1角為0°時，機床會失去一個旋轉軸的運動能力，即C1軸的旋轉量無論取何值，都不會改變刀軸方向。由式(1)可知，此時刀軸矢量(i,j,k)T=(0，0，1)T，由表1可知，C1角的解在i=0且j=0時無法確定，(0，0，1)T為銑削側奇異點的位置。根據文獻[13]方法，可以得到奇異區域邊界大小為βmin，即A1≤βmin的范圍為銑削側加工刀路的奇異區域，圖2所示的圓錐區域稱之為奇異區域。

圖2 奇異區域示意圖Fig.2 Diagram of singular region

2 雙五軸銑削側加工奇異區域刀具路徑優化

2.1 基于C-空間的刀軸矢量選擇

對于產生了奇異問題的刀軸矢量，可采用C-空間的概念[14-16]對無干涉區域以及奇異域作進一步處理。無干涉區域的確定可采用C-空間的形式，將旋轉軸的運動作為參數空間的兩個方向，將障礙物變換至C-空間內，然后去除代表障礙物的C-空間點，即可得到無干涉可行域，同樣地，為得到無奇異的可行域，可將奇異域視為障礙物體映射至C-空間內，并作為要去除的點進一步處理，即對產生奇異問題的刀軸矢量選擇新的刀軸矢量進行替代。具體來說，無干涉區域和奇異域基于C-空間的形式將刀軸矢量作表達處理并重新選擇無干涉無奇異區域的刀軸矢量進行替代，當刀位點Pi(xi,yi,zi,ii,ji,k)落在A1≤βmin的奇異區域內，也就是刀位點的刀軸矢量V=(i,j,k)T落在SB-SA區域的外側，如圖3所示，其中SB為無干涉區域(即紅色橢圓區域)，SA為奇異區域(即藍色橢圓區域)，SB-SA為無干涉無奇異區域(即紅色橢圓區域去除重疊部分)。

圖3 無干涉無奇異可行域Fig.3 Feasible area with no interference andno singularity

(6)

2.2 基于奇異域內刀軸矢量邊界約束條件

在雙五軸鏡像銑削加工過程中，工藝編制前置處理所得到的刀位文件如圖4所示。其中(x,y,z)T為刀尖點的位置，(i,j,k)T為刀位點處的刀軸矢量，將奇異區域的起始刀位點設為Pm(x1,y1,z1,i1,j1,k1)、終止刀位點設為Pn(x2,y2,z2,i2,j2,k2)，識別出的刀位點數量為N，奇異區域內加工時間為Ts，則奇異區域內刀位點各個坐標方向的切矢可通過下式計算：

(7)

圖4 前置刀位文件Fig.4 Front tool path file

式中，km、kn分別為奇異區域起始位置的切矢和終止位置的切矢；Pm-1、Pn-1分別為奇異區域起始刀位點的前一刀位點和終止刀位點的前一刀位點。

此外，在鏡像銑削加工過程中，銑削側的刀具與支撐頭同步運動，且在支撐側安裝的超聲波測厚傳感器在機床加工過程中實時測量工件的壁厚，以實現加工過程中的穩定性，因此為了保證工件壁厚測量的準確性，加工過程中的刀路刀軸矢量需時刻與工件表面保持垂直，所以同步運動的刀軸軸線與蒙皮工件表面的法向保持相同，即

V=nR

(8)

式中，nR為蒙皮工件表面R加工過程中該刀位點處的法向矢量。

2.3 奇異區域刀路優化方法

針對奇異問題的解決辦法一般有插值法和刀路避讓法，插值法可以減小旋轉軸運動過程中的角度，但這并不能完全避開奇異區域；刀路避讓法可以避開奇異區域，但是修改的刀位點所產生的誤差無法滿足正常刀位點誤差范圍的要求，尤其是對于雙五軸鏡像銑削而言，加工過程中的刀軸矢量需要時刻與被加工工件表面保持垂直，從而保證鏡像銑削加工效率和表面質量。

本文所提方法的流程如圖5所示，即所采用的刀路調整策略是將刀軸矢量擬合成B樣條曲線，通過最小誤差曲線應變能ΔEmin來保證參數曲線擬合的連續性和光順性，且在刀軸矢量擬合過程中還得滿足刀軸矢量基于C-空間的選擇，并將km、kn作為邊界約束條件，將刀軸矢量進行B樣條曲線的擬合，以參數曲線的應變能最小化為目標，得到B樣條曲線的控制系數從而實現奇異區域的刀路優化，具體步驟如下：

(1)在蒙皮工件表面構造初始刀路，讀取前置刀位文件，得到刀位點數據Pi(xi,yi,zi,ii,ji,ki)，刀位點數據可通過Catia中設計的刀具路徑來獲得，經過線編程功能和導出功能獲取前置刀位文件。

圖5 奇異區域處理流程圖Fig.5 Flow chart of singular region processing

(3)對更新后的刀軸矢量通過式(7)得到切矢km、kn，同時將km、kn作為邊界約束條件，將所有刀軸矢量進行B樣條曲線擬合，B樣條的光順程度可表示為

(9)

其中，下標k表示k階B樣條曲線，此處取k=5;M為控制點個數；NM,k(ur)為相應參數ur的基函數值；ΘM為控制系數，可對B樣條曲線形狀進行修改；εM為控制系數ΘM的偏移量；Φ′ur為控制點偏移后旋轉角的角度變化，包含了修改后角度變化的最大刀軸方向。

(4)在滿足上述條件之后，以參數曲線應變能最小為優化目標進行刀路優化，最小應變能ΔEmin的表達式如下：

(10)

(11)

i=1,2,…，M

其中，旋轉軸A1和C1的角速度ωA1,i、ωC1,i滿足最大角速度ωmax限制，角加速度αA1,i、αC1,i滿足最大角加速度αmax限制，這里速度和加速度通過數值差分格式近似，在式(9)和式(11)的線性約束條件下，式(10)可通過MATLAB的求解器進行優化求解。

(5)根據式(9)、式(10)計算出參數曲線的控制系數得到新的刀位點數據，進而可得到優化路徑。

3 實驗驗證

本文針對雙五軸鏡像銑削奇異問題提出了刀路優化方法，通過蒙皮加工件的銑削實驗來驗證該方法的有效性，本實驗所使用的機床為圖1所示的雙五軸鏡像銑削加工平臺，圖6所示為鏡像銑削加工控制平臺，控制平臺可以采集加工數據并導出，其中包括采集時間、濾波前測厚、濾波后測厚、測厚水壓、電渦流距離等。本文的刀路設計軌跡連續無抬刀、無交叉，采集時間從起始刀位點進行下刀時開始采集，中間加工過程無抬刀時間，一直到完整路徑加工結束后采集時間停止。實驗所使用的材料為7075鋁合金薄壁件，薄壁件的壁厚為8 mm，切削區域為650 mm×300 mm的型腔，如圖7所示。加工實驗所使用的刀具為直徑16 mm、底刃半徑7 mm、圓角半徑1 mm、2刃的平底銑刀。本次實驗加工目標壁厚為1.2 mm，銑削加工程序段運行三次(即加工該型腔三次)，每次可切深度為0.8～3 mm，如表2所示，并且給定機床的主軸轉速為9000 r/min，進給率為2000 mm/min，徑向切寬為12.5 mm，加工過程中使用冷卻液對加工區域進行冷卻。

圖6 鏡像銑削加工控制平臺Fig.6 Mirror milling processing control platform

圖7 實驗加工件Fig.7 Experimental work piece

表2 實驗參數

本文的實驗加工對650 mm×300 mm矩形下陷區域采用先加工外輪廓、后加工內輪廓的方法設計的原始路徑，如圖8所示，奇異區域優化前和優化后的刀軸矢量對比結果如表3所示。根據文獻[13]的方法可以得到奇異區域邊界大小為2.0°，即A1≤2.0°的范圍為銑削側加工刀路的奇異區域，圖8中紅色虛線代表奇異位置1和奇異位置2。基于工藝編制所得到的前置刀位文件進行后處理可以得到銑削側C軸的運動位置，經處理可得到C軸的旋轉變化量，并且可以觀察到奇異位置1和奇異位置2的C軸運動發生突變，奇異位置1的C軸旋轉變化量達到18.33°/mm，并且奇異位置2的C軸旋轉變化量達到13.58°/mm。

圖8 原始路徑仿真圖Fig.8 Original path simulation diagram

表3 奇異位置附近刀位點數據

針對該下陷區域奇異問題的存在，采用2.3節所提出的奇異區域刀路優化方法進行優化，在本次實驗中，原始路徑和優化路徑給定的機床、刀具參數相同，路徑規劃的起始點、終止點以及路徑方向相同，如圖9所示，可以看到優化路徑明顯避開了奇異位置，如圖10a所示的奇異位置1局部路徑和圖10b所示的奇異位置2局部路徑，且優化結果更加光順，同時在圖11中奇異位置1的C軸旋轉量由18.33°/mm下降到了0.13°/mm，奇異位置2的C軸旋轉量由13.58°/mm下降到了0.009°/mm。因此本文的奇異區域路徑優化方法可以有效地避開奇異區域，并且提高了奇異區域路徑的光順性。

圖9 原始路徑和優化路徑對比Fig.9 Compare the original path with theoptimized path

在實驗中，原始路徑和優化路徑的對比圖見圖12。在圖12a所示原始路徑中對應的奇異位置1和奇異位置2，其工件表面存在明顯的環狀軌跡，這是由于C軸突變快速旋轉形成的，出現奇異問題的刀路左側存在殘留的現象，右側則出現了一定的過切現象；圖12a中局部路徑的橢圓虛線區域內存在可觀察到的殘留現象，過切現象通過厚度測量值進行標識。

(a)奇異位置1局部路徑

圖11 C軸旋轉變化量對比Fig.11 Comparison of variation of C-axis rotation

由于旋轉軸的運動突變，且在鏡像銑削加工特定的約束條件下(即刀軸矢量(i,j,k)與蒙皮工件表面在該刀位點的法向保持一致)，因此當奇異問題出現時刀軸矢量(i,j,k)變化的同時，刀尖點(x,y,z)也會產生變化，從圖8中可以看到原始路徑的奇異位置出現了偏移現象。在該偏移刀路的左側會出現殘留現象，右側則出現一定的過切現象，因此會對壁厚產生一定的影響，從而影響表面質量。

與此同時，加工實驗中的原始路徑和優化路徑目標壁厚均為1.2 mm，兩次實驗中三次切削深度分別保持一致，實驗的加工時間、壁厚測量結果和壁厚誤差如表4所示，可以看到原始路徑和優化路徑的壁厚測量范圍分別為[1.16,1.32]mm和[1.18,1.23]mm，其壁厚誤差分別為[-0.04,0.12]mm和[-0.02,0.03]mm，其完整路徑加工時間分別為575.2 s和563.4 s。

綜合圖12和表4中原始路徑和優化路徑實驗對比結果可以看到，采用本文優化方法后，奇異區域的壁厚誤差有所減小且無殘留，最小壁厚誤差減小50%，最大壁厚誤差減小75%，整體壁厚誤差范圍縮小了68.75%，同時完整的路徑加工時間縮短了 2.1%，加工效率和加工質量都得到了提高。

(a)原始路徑 (b)優化路徑圖12 實際加工表面Fig.12 Actual machined surface

表4 實驗結果比較

4 結論

(1) 本文通過建立奇異區域邊界約束條件以及鏡像銑削加工中刀軸矢量與工件表面保持垂直的約束條件，在無干涉可行域的前提下，以最小刀軸矢量距離確定備選刀軸矢量，對奇異區域的刀軸矢量進行局部修正，這樣既可以保留原有的刀軸矢量規劃的加工特性，又能保證計算效率和加工質量。

(2) 在奇異區域刀軸矢量修正的前提下，對整條加工路徑進行B樣條曲線的擬合，基于最小參數曲線應變能的目標函數來實現B樣條曲線的修改，最小參數曲線應變能可以保證曲線的連續性和光順性，從而保證了旋轉軸運動的連續性，加工效率和質量均得到顯著提高。