數(shù)形結(jié)合 華麗轉(zhuǎn)身
——兩類雙參數(shù)最值問題的解題策略分析

廣東廣雅中學(xué)(510160) 李曉穎

隨著新課程改革的推進(jìn),數(shù)學(xué)思維的評(píng)價(jià)方式呈現(xiàn)多元化,數(shù)學(xué)試題的考查也轉(zhuǎn)向多元化. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題和零點(diǎn)問題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容, 也是難點(diǎn)內(nèi)容,這類問題多數(shù)含參數(shù),甚至是雙參數(shù)或者多參數(shù). 增加參數(shù),增加了問題求解的難度,但也增加了問題解決的維度,如果參數(shù)具有幾何意義,還增添了問題表達(dá)的內(nèi)涵. 雙參數(shù)恒成立問題或者零點(diǎn)問題的考查,對(duì)學(xué)生的思維要求更高,問題解決更具挑戰(zhàn)性,更能體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng). 對(duì)于雙參數(shù)不等式恒成立、零點(diǎn)問題,其解決的關(guān)鍵在于把雙參數(shù)轉(zhuǎn)化為單參數(shù),轉(zhuǎn)化的方法常常有捆綁參數(shù)、變更主元或者借助幾何意義表達(dá)問題等. 筆者嘗試從兩類雙參數(shù)問題的求解探索中總結(jié)這兩類問題“轉(zhuǎn)化”的策略.

1 不等式恒成立問題中的雙參數(shù)最值問題

已知ax+b≥f(x)(或ax+b≤f(x))恒成立,求的最小(大)值.

例1已知函數(shù)f(x) =ax+b(a＞0,b＞0),g(x) =ln(x+2),若對(duì)?x＞-2,f(x)≥g(x)恒成立,則的最小值是____.

分析1此類問題的常規(guī)處理是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.ax+b≥f(x)恒成立,轉(zhuǎn)化為g(x)=ax+b-f(x)≥0,求函數(shù)g(x)的最小值g(x)min,此時(shí)g(x)min是關(guān)于a,b的表達(dá)式,令g(x)min≥0,從而得到b≥φ(a),把雙變量的最值,轉(zhuǎn)化為單變量最值.

法1由題意,f(x)≥g(x)恒成立,即f(x)-g(x)≥0恒成立. 令t(x) =f(x)-g(x) =ax+b-ln(x+2), 則?x＞-2,t(x)min≥0.-2),令t′(x)= 0,∴, 令t′(x)＞0,∴,即t(x)在單調(diào)遞增;令t′(x)＜0,,即t(x)在單調(diào)遞減.由,得1-2a+b+lna≥0,整理得. 令,則,由h′(a)＞0, 得a＞1,即h(a)在(1,+∞)單調(diào)遞增;由h′(a)＜0,得0 ＜a＜1,即h(a)在(0,1)單調(diào)遞減;故h(a)min=h(1)=1,從而.

分析2雙參數(shù)問題,也常常先假定一個(gè)量是定值,另一個(gè)量是變量,轉(zhuǎn)化為單變量問題,如ax+b≥g(x)恒成立,可以假定a定,b動(dòng),分析不等式的幾何意義,即直線y=ax+b斜率固定,縱截距變化,且直線恒在曲線y=g(x)的上方,曲線是上凸函數(shù),故直線最靠近曲線時(shí),即直線與曲線相切時(shí),縱截距最小,此時(shí)最小.確定了取最值時(shí)直線的位置,就可以把轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)最值.

法2設(shè)曲線g(x)=ln(x+2)在P(t,ln(t+2))處的切線為l.則l的方程為:,要使f(x)≥g(x)恒成立,只需要,故只需要即可.此時(shí),令h(t) = (t+2)ln(t+2)-t(t＞-2),h′(t) = ln(t+2),令h′(t) = 0, 得t= -1. 由h′(x)＞0 得,t＞-1; 由h′(x)=＜0,得-2 ＜t＜-1. 所以h(x)在(-2,-1)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.hmin=h(1)=1,故,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1時(shí),實(shí)數(shù)取得最小值1.

分析3ax+b≥ln(x+2)恒成立,等價(jià)于恒在曲線y=g(x)的上方,為直線的橫截距.問題轉(zhuǎn)化為判斷橫截距的問題. 因?yàn)榍€是上凸函數(shù),所以直線與x的交點(diǎn)在曲線與x交點(diǎn)的左側(cè),至多重合,從而確定了取得最值的位置.

法3恒成立,令g(x)= 0, 得x=-1,故,即,實(shí)數(shù)取得最小值1.

變式1若ax2+bx-lnx-1 ≥0 對(duì)于x∈(0,+∞)恒成立,則的最小值是____.

分析該問題如果用常規(guī)思路法1 求解,困難很大. 如果要應(yīng)用法2 或法3 求解,需要對(duì)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關(guān)系. 因此對(duì)原不等式兩邊同時(shí)除以x,問題等價(jià)于對(duì)于x∈(0,+∞)恒成立,進(jìn)而可以用法2 和法3 解得.

變式2已知不等式lnx-axx-b≤0 恒成立,則的最小值為____.

分析lnx-ax2-b≤0 等價(jià)于lnx≤ax2+b,等價(jià)于,令u=x2,即,轉(zhuǎn)化為“最值模型”,應(yīng)用法3,可求得.

變式3設(shè)k,b∈R,若關(guān)于x的不等式ln(x-1)+x≤kx+b在(1,+∞)上恒成立,則的最小值是____.

分析ln(x-1)+x≤kx+b(x＞1)等價(jià)于ln(x-1)-1 ≤(k-1)x+(b-1), 令m=k-1,n=b-1, 問題轉(zhuǎn)化為mx+n≥ln(x-1)-1 在(1,+∞)上恒成立,求的最小值. 應(yīng)用法3 可得

變式4對(duì)任意的, 不等式e2mx+n-.恒成立,則的最小值為____.

分析, 等價(jià)于,兩邊取對(duì)數(shù), 得, 原問題等價(jià)于恒成立. 令a= 2m,b=n,,則問題轉(zhuǎn)為:au+b≥lnu+2 對(duì)u∈(0,+∞)恒成立,求的最小值. 應(yīng)用法3 可得,從而.

1.2 最值模型

已知ax+b≥f(x)(或ax+b≤f(x))恒成立,求實(shí)數(shù)ab的最小(大)值.

例2已知a,b∈R,ex≥ax+b對(duì)任意的x∈R 恒成立,則ab的最大值為____.

分析與例1 對(duì)比, 題干表述的幾何意義一致, 問題由“求的最值”改為“求ab的最值”. 法1 因?yàn)檫\(yùn)算量過大,在選擇填空題,我們暫時(shí)不考慮,法3 要運(yùn)用的幾何意義,ab的幾何意義與的幾何意義不相同,不能作一樣的轉(zhuǎn)化.因?yàn)槲覀儑L試法2,用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示ab.

解設(shè)曲線f(x) = ex在P(t,et)處的切線為l. 則l的方程為:y=et(x-t)+et=etx+(1-t)et,要使ax+b≤ex恒成立,只需要a=et,b≤(1-t)et即可,故ab≤(1-t)e2t,令φ(t) = (1-t)e2t,φ′(t) = (1-2t)e2t, 由φ′(t)＞0 得, 由φ′(t) ＜0 得, 故y=φ(t) 在單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減, 故, 所以. 即ab的最大值.

變式1已知a,b∈R,若關(guān)于x的不等式x-alnx-b≥0 恒成立,則ab的最大值為____.

分析x-alnx-b≥0 等價(jià)于x≥alnx+b,整理得elnx≥alnx+b,令u=lnx,問題轉(zhuǎn)化為eu≥au+b. 與例2 相同.

變式2已知a＞0,b＞0, 若關(guān)于x的不等式2x-alnx+a-b≥0 恒成立,則ab的最大值為____.

分析2x-alnx+a-b≥0,等價(jià)于2x≥a(lnx-1)+b,即令,問題轉(zhuǎn)化為2eu+1≥au+b恒成立. 利用例2 的方法可求得ab的最大值為2e3.

對(duì)比例1 與例2,不難發(fā)現(xiàn),應(yīng)用法2 求解兩類問題時(shí),解題過程本質(zhì)上沒有區(qū)別,只是目標(biāo)函數(shù)有所不同.“型最值”得到的目標(biāo)函數(shù)是,而“ab型最值”得到的目標(biāo)函數(shù)是φ(t)=f′(t)[f(t)-tf′(t)]. 若求“λa±μb型最值”,得到的目標(biāo)函數(shù)是φ(t)=λf′(t)±μ[f(t)-tf′(t)].

2 零點(diǎn)問題中的雙參數(shù)最值問題

2.1 ab 最值模型

例3已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+b在區(qū)間[2,3]上有零點(diǎn),則ab的最大值為____.

分析此類函數(shù)零點(diǎn)問題,可以轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題,如f(x)=0,等價(jià)于,令t=x2,等價(jià)于與h(t)=at+b在[4,9]有交點(diǎn). 因?yàn)榍€有定義區(qū)間制約,不是完整的曲線,應(yīng)用例1 的法2 和法3 受限. 那么,有沒有的別的方法把雙參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單變量問題呢? 例3 是零點(diǎn)的問題,設(shè)零點(diǎn)為x0,x0滿足等式,可以利用恒等式消去b,把a(bǔ)b表示為關(guān)于a的函數(shù),最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的函數(shù)求最值.

解設(shè)f(x0) = 0,x0∈[2,3], 則0,此時(shí),則,令,當(dāng)時(shí),,記,則,所以h(x)在[2,e)上遞增,在[e,3]上遞減,故,所以,所以ab的最大值為.

變式若函數(shù)f(x) =x(lnx-1)-ax-b(a,b∈R)在[1,e]存在零點(diǎn)(其中e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則a2+2b的最小值是____.

分析a2+2b的幾何意義不容易理解,可以仿照例3 轉(zhuǎn)化為關(guān)于零點(diǎn)的函數(shù)求最值.

設(shè)y=f(x) 在[1,e] 存在零點(diǎn)為x0, 則x0(lnx0-1)-ax0-b= 0, 故b=x0(lnx0-1)-ax0,a2+2b=a2-2x0a+2x0(lnx0-1),令g(a)=a2-2x0a+2x0(lnx0-1),x0=a時(shí),g(a)有最小值,.令h(x) = -x2+ 2xlnx- 2x,h′(x) = 2(lnx-x) ＜0,x∈[1,e]時(shí),h(x)min=h(e)=-e2,a2+2b的最小值為-e2.

2.2 最值模型

例4已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+b在區(qū)間[2,3]上有零點(diǎn),求a2+b2的最小值為____.

分析本題的題干與例3 同,問題由“求ab的最值”改為“求a2+b2的最值”,如果應(yīng)用例3 的方法求解,消去b后的表達(dá)式比較復(fù)雜,求最值會(huì)很困難. 對(duì)比ab,a2+b2的幾何意義比較容易理解,為(a,b)到(0,0)的距離的平方,因此這種類型的問題可以利用幾何意義,把a(bǔ)2+b2表示為關(guān)于x0的函數(shù)求最值.

解設(shè)f(x0) = 0,x0∈[2,3], 則,(a,b)滿足, 以a,b為變量, 可以理解為(a,b)在直線上,a2+b2表示(0,0)到直線的距離的平方,即.可整理為,令,其中.由,令單調(diào)遞減,故t∈[16,81]時(shí),m(t)≤m(16)＜0,從而.故.

對(duì)雙參數(shù)最值問題的探索過程中,我們發(fā)現(xiàn),這類問題如果有幾何意義,我們可以借助幾何意義轉(zhuǎn)化問題,把雙參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,問題的解決水到渠成,流暢自然.這是幾何與代數(shù)互相成就的魅力.