簡約識“倍”新視界
——王圣昌老師“倍的認識”教學片段賞析

江蘇省常州市新北區春江中心小學 張曉鋒 姚靈娣

倍數關系是常見的數量關系之一。建立倍的概念，能幫助學生進一步理解乘法和除法的含義，擴大應用乘、除法計算解決實際問題的范圍。教師應引導學生從具體直觀到抽象思考，理解“倍比”是對相關數量進行比較的數學方法。理解倍的含義，關鍵是建立“倍”的概念。有些教師是以告知的方式，引導學生圈一圈、比一比，初步理解倍的含義，這可稱之為告知“倍”。王圣昌老師先引導學生和“倍”的內涵互動，通過解決問題，借助除法算式發展概念，可稱之為生長“倍”。

王圣昌老師教學“倍的認識”，僅用3 張演示文稿（PPT），就呈現了一節非常有味道、有思維含量的數學課。3 張PPT，對應3 項逐步進階的核心任務，每項核心任務中的幾個子問題能較好地彰顯學習任務的設計理念——低門檻、大空間、多層次，為每個學生提供思考與表達的機會，這也是全課最鮮明的特點。王老師充分肯定和鼓勵每個學生的表達，并且把每個學生的想法都展示出來，資源捕捉意識特別好。他引導學生先和“倍”的內涵互動，從發現關系到明確關系再到用算式表達，通過解決問題發展概念，概念教學指向有意義的建構，真正體現了以學生的學為中心。這樣的課應該就是如吳正憲老師說的“好吃又有營養”的數學課。

片段1：明確關系初識“倍”

呈現第一張PPT（見圖1），圖中包含4 根黃瓜和12根香蕉的圖片以及3 個問題。

圖1

師：誰能說說你的發現？說一個就可以！

生1：黃瓜有4 根。

師：這是不是數學信息呢？誰還有不一樣的發現呢？

生2：香蕉有12 根。

師：他說得對嗎？還有不同的嗎？

生3：黃瓜和香蕉一共有16 根。

師：非常棒，黃瓜加香蕉有16 根。

生4：香蕉比黃瓜多8 根。

師：太棒了，你們能聽懂他的意思嗎？

生5：我認為還可以說黃瓜比香蕉少8 根。

師：好，你把它倒過來了，黃瓜比香蕉少8 根。

生6：香蕉是黃瓜的3 倍。

師：你們怎么看？他突然講了我們好像沒學過的知識——香蕉是黃瓜的3 倍。懂他意思的同學請舉手。誰來說一說這是什么意思？

生7：黃瓜有4 根，香蕉有12 根，12 除以4 等于3，也就是說香蕉是黃瓜的3 倍。

師（追問）：你們怎么看出來有3 倍？3 倍在哪里？第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍呢？每倍都是幾根？誰決定的？

（學生回答略）

師：你們能列出算式表示這4 個數學信息里兩個數量之間的關系嗎？

學生用算式表示“黃瓜加香蕉有16 根，香蕉比黃瓜多8 根，黃瓜比香蕉少8 根，香蕉是黃瓜的3 倍”，算式分別為：4+12=16，12-4=8，12-8=4,12÷4=3。

師組織生交流。

師：你們都能列出算式表示它們之間的關系。誰來解釋3 倍這個問題？

生8：3×4=12。

師：誰來解釋這個算式中每個數表示什么意思？

生9：4 是香蕉的根數，3 是把香蕉平均分成了3 份，12 是香蕉的總數。

師：這里有一個解釋怪怪的，你們發現了嗎？

生10：4 是黃瓜的數量，3 是3 倍，12 是香蕉的總數。

生11：12 是香蕉的數量，4 是黃瓜的數量，12÷4 表示……（生一時語塞）

生12：12÷4 表示把香蕉平均分成3 份。

師：為什么除以4？為什么平均分3 份，每幾根一份？

一名學生上講臺指著圖片演示平均分3 份的等分過程。

……

【賞析】三個問題層次清晰、逐級遞進。首先通過問題“你看到了哪些數學信息？”引導學生對黃瓜和香蕉的數量進行感悟。其次，教師通過問題“它們的個數之間有什么關系？”引導學生尋找合適的路徑，表達數量之間的關系——求和關系、相差關系、倍數關系，并對不同關系用文字表達，完整建構出數量之間的關系。其間，教師還可以結合圖形直觀幫助學生思考，再通過追問幫助學生重點理解倍數關系。最后通過問題“你能用算式表示它們之間的關系嗎？”引導學生用算式表示倍數關系。引導學生用抽象的算式表達數量之間的關系，既為學生提供表達關系的工具，也是數學化的過程，學生感悟了關系，明白了本質，就能用算式抽象表達，真正理解算式的含義，加深對倍數關系本質的理解。這是關于倍的概念的核心問題，也是學生學習“倍的認識”的關鍵——先確定標準，然后比較，看另一個數量相當于有幾個這樣的標準，也就是這個標準的幾倍。這樣設計，循序漸進，從直觀到抽象，從文字語言到符號語言，最后緊扣數量關系中的倍數關系，師生、生生多邊互動，可有效實現對“倍”的概念的完整認知與深度理解，學生自主建構，初步識“倍”，一步步實現數學化。

片段2：結合算式表達“倍”

呈現第二張PPT（圖略），這是一道有思維含量的趣味練習，PPT 上呈現了無序排列、大小相同的藍色、綠色、黃色3 種不同顏色的圓。藍色有18 個，黃色有9 個，綠色有3 個。課件中呈現3 個學習提示：你能找到它們之間的倍數關系嗎？如果要找出倍數關系，需要找到哪些數學信息？用算式表達你找出的倍數關系。

師：數一數，從圖中你可以找到哪些倍數關系？要結合算式哦。

生先數再列出除法算式。

師：我建議你們數一個寫一個，因為這道題的倍數關系不止一種。

師板書：綠3 個、黃9 個、藍18 個。

小組討論發現的倍數關系。

師：請你來說一說。

生1：藍色圓的數量是黃色圓的數量的2 倍。

師：他是怎么知道的？算式應該怎樣列？

生2：18÷9=2。

師：為什么用18÷9=2 就能知道藍色圓的數量是黃色圓的數量的2 倍？誰再來說一說每幾個一份？

生3：把18 平均分成2 個9，每9 個一份，可以分成2 份。

師：誰再來說說誰是誰的幾倍？

生4：黃色圓的數量是綠色圓的數量的3 倍。

生5：9÷3=3，9 可以分成3 個3。

生6：藍色圓的數量是綠色圓的數量的6 倍，

18÷3=6。

師：也就是18 里面有6 個3。

【賞析】用大小相同、無序排列的3 種顏色的圓設計一組練習，特別有創意。這樣可以催生學生不同的想法：藍色圓的數量是黃色圓的數量的2 倍，藍色圓的數量是綠色圓的數量的6 倍，黃色圓的數量是綠色圓的數量的3 倍。因為教師提供的圖片中反映的數量關系比較豐富，所以學生找到的數量關系與表達的形式也較為豐富。學生能跳出圖形直觀，從圖形個數的角度思考，用除法算式表達它們之間的倍數關系，不受圖形無序排列的影響。這道練習通過“問題驅動—尋找信息—用算式表達”的遞進順序，讓學生體會倍數關系的內涵，并明白數量和算式之間的邏輯關系，從而更好地理解“倍”的概念本質，知其然并知其所以然。借助除法算式學習“倍”，有利于促進學生理解從算式的角度表達倍數關系，從而逐步實現數學化。

片段3：實踐感悟深入“倍”

呈現第三張PPT，圖上有3 種不同顏色的扣條和方塊（見圖2）。活動要求：用你手中的學具表示出4 倍的關系。

圖2

王老師為每一組學生準備了適量的兩種學具，即扣條和方塊，這兩種學具都可以拼接。學生分組合作操作，他們選用若干扣條或方塊，用合適的方式直觀表達4 倍關系。

分組操作前，王老師做適當引導。

師：操作前同學們首先要知道一個叫1 倍，一個叫4倍。4 倍關系不僅僅是數量上的，找找看，除了數量上有倍數關系，還能在其他地方找到倍數關系嗎？

學生分組操作2 分鐘。

師：我們來看一下有幾種表示方式。

展示第一種：4 個方塊（成田字格形狀）是1 個方塊的4 倍。

師：有沒有4 倍？除了數量是4 倍關系，還看到哪里有4 倍關系？

生：我看到大小有4 倍關系。

師：從哪里看出大小有4 倍關系？拿著1 倍來比，第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍、第4 倍呢？

學生逐一放上去比對。

展示第二種：4 條是1 條的4 倍。

師：有沒有4 倍？除了數量是4 倍關系以外，還有什么是4 倍關系？

生：我看出長度也是4 倍關系。

師：到前面來比對。

學生到前面一倍一倍地比對，發現長度是4 倍關系。

師：現在有個同學搭了這樣的1 倍，你覺得他的4倍應該有幾個？（師高舉著由4 個方塊拼成一排的組合體）

生：應該有16 個。

教師拿出4 個方塊的組合體和16 個方塊的組合體，然后一倍一倍地比對，從長度上比對出是4 倍關系。

師：如果這樣是1 倍，4 倍應該有幾個？（師高舉2個方塊的組合體）

師：如果是這樣呢？（師高舉由3 個方塊拼成一排的組合體）

……

【賞析】這個練習比較開放，能很好地幫助每個學生自主操作、深度參與，加深對“倍”數關系的理解。先放手讓學生利用學具扣條和方塊，自主創造倍數關系，使其在應用中深化對倍的理解；再通過豐富的直觀模型，從數量、大小、長度等不同維度表達倍數關系，凸顯倍數關系模型的本質。扣條可以表征個數、長度、面積的倍數關系，方塊可以表征個數、長度、面積、體積之間的倍數關系，多維度表示倍數關系促使學生的認知更豐富、更多元。

縱觀全課，教師僅用了3 張演示文稿，第一張建構概念，讓學生感受并表達數量關系，通過從圖形直觀到用算式表達的過程，促進每個學生建構對倍的認識；第二張鞏固理解，并適度抽象，加強數學化，引導學生繼續用算式表達倍數關系，借助精選的學習素材——3 種顏色的圓片，幫助學生概括一般化的模型，進一步數學化；第三張實踐深化，學生借助學具自主創造倍數關系，在豐富多樣的表達“倍”的方式中探尋共同的本質屬性，從而達成對概念本質的深度理解——倍數關系可以是個數之間的關系，可以是長度之間的關系，可以是面積大小之間的關系，還可以是體積大小之間的關系。教師充分利用學具即興變式，在與學生對話和互動中促進學生借助豐富的直觀模型深化認知，加深對倍數關系模型內涵實質的理解。