結構化視角下數學深度復習的實踐思考
——以“多邊形的面積整理與練習”為例

江蘇省無錫市梅村實驗小學 許茜倩

所謂結構化，是指在教學中要抓住知識之間的內在聯系，引導學生以整體、關聯、開放的視角探究和理解問題，促進學生的學習從碎片化走向整體化、從離散走向聚合、從淺層走向深度。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出了課程內容的結構化整合，結構化有助于學生理解和掌握學科基本原理，實現知識與方法的遷移，把握核心概念的進階。

“多邊形的面積整理與練習”是蘇教版數學五年級上冊第二單元的復習課?！岸噙呅蔚拿娣e”單元共包含六項內容（見圖1），前三項屬于“公式探究”，后三項屬于“拓展應用”。通過本單元的學習，多數學生已經能夠用拼接、平移、旋轉等方法探索和掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；能夠正確計算基本圖形的面積；能利用基本圖形的面積探究的經驗和方法解決土地相關的實際問題，以及組合圖形的面積問題。但依然存在以下問題：一是學生頭腦中仍存在“碎片化”的知識，缺少整合融通，難以形成知識網絡；二是“機械式”練習，缺少思維的拓展，學生解決問題的能力在低水平徘徊；三是缺少數學思想方法的提煉，學生的數學學科素養難以落地。

圖1 “ 多邊形的面積”單元主要內容

一節完整的復習課，一般包括三個方面：梳理知識、形成能力、發展思維，最終指向的是結構化的深度理解和數學素養的提升。下面，筆者將結合自身的教學實踐，談一談在多邊形的面積計算整理與練習中如何實現結構化的深度復習。

一、知識整理——溯本求源，重建知識體系

數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。美國認知心理學家布魯納的認知結構理論認為：掌握事物的結構，就是用許多其他事物與它有意義地聯系起來的方式去理解它。簡言之，知識的學習就是在學生的頭腦中形成一定的知識結構。在多邊形的面積計算中，各個圖形面積公式之間是有聯系的，可以相互轉化的。回顧的重點不僅是計算公式，更是讓學生厘清多邊形面積計算公式之間的聯系，使學生腦中零散的知識具有連續性、關聯性和生長性，幫助他們重建知識體系。

（一）橫向聯系，將知識點串聯起來

以橫向聯系的方式將知識點串聯成知識鏈，不僅可以幫助學生理解和記憶公式，還有助于引領學生對原有知識的理解走向更深層，并能在此過程中積累寶貴的整理知識的經驗。

在課前引導學生整理時，教師可以讓學生回憶本單元所學習的平面圖形公式，設置探究性問題：“如果讓你選一個圖形的面積公式為基礎，推導出其他圖形的面積公式，你會選哪一個？說一說推導過程。”部分學生會選擇由易到難地整理、推導面積公式，教師可根據學生的實際情況進行整理（見圖2），引導學生感悟從左往右能看到知識的生長和發展，而從右往左能看到知識的轉化和統一。

圖2 “ 多邊形的面積”橫向整理結構圖

（二）縱向類比，讓知識鏈活起來

在嘗試整理了常規的推導過程后，教師應尋找學生已有知識經驗的生長點，讓學生思考：如果換一個方向，從其他圖形出發，它們之間又有怎樣的聯系呢？

1.以梯形的面積公式為基礎

在教學時，教師可引導學生想象，如果將梯形的上底縮短，最終會變成什么圖形呢？此時，下底和高不變，上底會變為0（見圖3）。

圖3 由梯形推導三角形面積公式

如果將上底延長，此時上底和下底相等，高不變（見圖4）。

圖4 由梯形推導平行四邊形（長方形）面積公式

在這個過程中，教師可以引導學生發現：三角形、平行四邊形以及長方形的面積公式也可由梯形的面積公式推導而得。

2.以平行四邊形的面積公式為基礎

教師在引導學生以平行四邊形的面積公式為基礎推導時，可結合《九章算術》中的相關數學文化知識（見蘇教版數學教材第10 頁“你知道嗎”），用剪、拼的方法讓學生經歷全新的探究之路（見圖5）。

圖5 以平行四邊形為基礎推導三角形和梯形的面積公式

3.以三角形的面積公式為基礎

同樣，以三角形為基礎公式也能推導出長方形、平行四邊形和梯形的面積公式（見圖6）。

圖6 以三角形為基礎推導平行四邊形和梯形的面積公式

這樣的復習探究對五年級學生來說可能并不容易，但因為方法的拓展、思路的拓寬，不但使學生將這些面積公式更自然而緊密地聯結在一起，更使學生明白，知識之間是可以相互轉化的，使學生突破思維定式，在知識融通的過程中能夠構建良好的知識結構。

二、技能鞏固——融會貫通，多層次設計練習

教師在結構化深度復習的理念下設計練習，要先關注練習設計的關聯性，安排有聯系、有延續的練習；接著要關注練習設計的層次性，查漏補缺和拓展提升都應是練習的重要目標。除此之外，教師在設計作業練習時，除了要利用基本圖形的面積探究的經驗和方法解決土地相關的實際問題以及組合圖形的面積問題，還可以編制如下題組：

（1）一個梯形上下底之和為10 厘米、高是6 厘米，面積是多少平方厘米？

（2）正方形的周長是32 厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米(見圖7)？

圖7

（3）S甲與S乙誰的面積大？

圖8

學生在第（1）題中可直接應用梯形的面積公式求得答案，接著教師可引導學生列舉可能的梯形（見圖9）。

圖9 符合練習（1）的條件可能存在的梯形圖

學生發現這樣的梯形例子不能完全列舉完，并在列舉后發現等底等高的梯形面積是相等的。另外，在整理知識時學生已經經歷過由梯形面積公式推導平行四邊形、長方形，以及三角形的面積公式的過程，對于練習（2）和（3），學生可以進一步運用平行四邊形和三角形等積變形的結論解決問題。

這個題組再一次將多邊形的面積公式進行溝通與整合，在練習的過程中二次開發，不僅使學生的知識體系更為完善，將知識融會貫通；還能引發學生更深入地思辨，在拓展深化中引發更多的思考，讓復習課走向更高效。

三、思想貫穿——一以貫之，實現學科育人

數學思想是人們對數學理論和內容的本質認識，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括。數學思想作為《義務教育數學課程標準（2011 年版）》涉及的“四基”之一，在《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中仍處于重要的位置，已是數學學科教育目標的重要組成部分。除了顯性的知識和方法外，數學思想則是潛默和間接的，常常隱藏在知識背后，但它能使學生獲得價值、動機等情感態度與價值觀方面的成長。數學思想的學習過程需要經歷操作體驗、明朗化、自覺運用和聯系發展4 個階段。指向結構化的深度復習，要一以貫之地發揮數學思想的作用。

（一）在知識結構的整理中貫穿

數學思想蘊含在數學實踐活動中，但形成的關鍵在于對數學實踐活動經驗的總結和概括，也就是將實踐經驗一般化、模式化的過程。在嘗試從不同角度推導多邊形面積公式時，教師應適時滲透，引導學生抽象和提煉出“轉化”這一數學思想。新授課時，教師可以初步引導學生感悟體驗“轉化”的思想，復習課中繼續滲透這一數學思想，使之發展到明朗化階段。

（二）在能力提升的練習中貫穿

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，其形成的過程需要充分的樣例積累。在解決組合圖形的面積和與土地相關的實際問題的練習中已明確：未知圖形的面積可以通過割補、拼接或者平移和旋轉等操作轉化成已知圖形的面積。用相同的思想方法解決不同形式問題的經歷，能提高歸納的信度，把數學思想推進到自覺應用和聯系發展的階段。在數學活動經驗的積累、數學思想方法的感悟，以及數學情感態度的涵養過程中，真正實現數學課堂從“知識為本”向“素養為本”的轉變，從“數學教學”向“數學育人”的轉變。

數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一書中指出，數學思想方法會影響人的一生。不管學生今后從事什么工作，即使把所教的知識、概念、定理、法則和公式全忘了，但銘刻在他們心中的數學精神、思想和方法能隨時隨地地發生作用，使他們終身受益。教師需進一步更新觀念，充分認識到數學思想方法在培養學生數學素養方面的作用和在數學教育中的價值。教師要通過自己的教學，讓學生能夠運用數學思想方法去解決實際問題，實現數學學科的育人價值。

綜上所述，指向結構化的深度復習，要一以貫之地融入數學思想進行知識統整，重建知識體系；進行技能統整，上串下聯地多層次設計練習題組，在整體的視野下，既關注知識的梳理和歸納，又關注技能的習得，以及思維習慣、學科素養的同步發展。