線性代數(shù)的課程教學(xué)改革與實(shí)踐

王狄建

（浙江科技學(xué)院理學(xué)院，浙江 杭州 310023）

線性代數(shù)是高等本科院校理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，它也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中一門非常重要的理論基礎(chǔ)。線性代數(shù)的歷史非常久遠(yuǎn)，如著名的“雞兔同籠”實(shí)際上就是一個(gè)線性方程組求解問題，直到20世紀(jì)初，線性代數(shù)才作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支出現(xiàn)。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)等很多領(lǐng)域都有著各種重要應(yīng)用，從一開始研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，再到研究非線性問題的線性化，都是將一個(gè)數(shù)學(xué)中的問題或?qū)嶋H應(yīng)用中的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性問題去討論。

浙江科技學(xué)院的線性代數(shù)課程使用的教材是由薛有才教授主編[1]，該教材以高中知識(shí)點(diǎn)“解線性方程組的問題”為背景，進(jìn)而介紹了線性代數(shù)的傳統(tǒng)內(nèi)容，如行列式、矩陣、線性方程組的解、向量與向量空間、矩陣的相似對(duì)角化、二次型、線性變換以及線性空間等；同時(shí)，為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和結(jié)合本校應(yīng)用性高校的需要，增加了相關(guān)的計(jì)算方法、程序設(shè)計(jì)語言和實(shí)驗(yàn)。線性代數(shù)作為必修的公共基礎(chǔ)課之一，它的特點(diǎn)就是概念抽象、定理復(fù)雜、計(jì)算煩瑣，因此這門課程的學(xué)習(xí)難度較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也會(huì)感到乏力[4-5]。為了讓學(xué)生能更快速更高效地掌握線性代數(shù)這門課程，線性代數(shù)的課程教學(xué)改革已經(jīng)成為當(dāng)下的必要任務(wù)。

1 線性代數(shù)課程教學(xué)現(xiàn)狀

（1）線性代數(shù)主要為高校一、二年級(jí)學(xué)生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課，它主要講解代數(shù)學(xué)中一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如行列式、矩陣、線性方程組等。這些內(nèi)容往往注重于理論知識(shí)而忽略了與實(shí)際應(yīng)用方面的聯(lián)系。特別是計(jì)算機(jī)類、機(jī)械類等專業(yè)的學(xué)生更關(guān)注的是線性代數(shù)的理論知識(shí)在他們各自專業(yè)中有什么應(yīng)用？或者說，如何應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)來解決他們未來可能遇到的專業(yè)問題？然而這點(diǎn)往往是教師在教學(xué)過程中容易忽略的，教材中也對(duì)這部分的交叉內(nèi)容涉及較少，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的預(yù)期值會(huì)降低，學(xué)習(xí)積極性較低，最終導(dǎo)致教師的教學(xué)效果不理想，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果較差，不及格率較高。

（2）目前線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀是老師單向灌輸知識(shí)，學(xué)生被動(dòng)接受的局面。雖然學(xué)生是整個(gè)教學(xué)過程中的主體，但是始終處于一個(gè)被動(dòng)接受知識(shí)的狀態(tài)。不少學(xué)生普遍缺乏學(xué)習(xí)的興趣和熱情，課堂上玩手機(jī)、睡覺等現(xiàn)象時(shí)常發(fā)生。

（3）目前，線性代數(shù)的課堂是大班教學(xué)，基本上都是80人左右，某些班甚至超過百人。研究表明，若要保證教學(xué)質(zhì)量，則課堂上師生互動(dòng)比率的時(shí)間不應(yīng)少于四分之一[10]。但對(duì)大班授課而言，做到這點(diǎn)非常困難。另外，每個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)領(lǐng)悟能力和興趣都有差異，按照大班開課的進(jìn)度并非個(gè)個(gè)同學(xué)都能接受。有些覺得慢，感到沉悶；有些覺得快，未能跟上。因此教師對(duì)課堂的秩序維護(hù)比較困難，學(xué)生上課開小差玩手機(jī)，交頭接耳，甚至?xí)缯n、逃課等情況屢見不鮮。

2 教學(xué)改革實(shí)踐

2.1 構(gòu)建資源平臺(tái)

浙江科技學(xué)院《線性代數(shù)》課程教育改革的實(shí)施依托于《浙江省高等學(xué)校在線開放課程共享平臺(tái)》，該平臺(tái)向高校學(xué)生提供了非常優(yōu)質(zhì)的課程資源服務(wù)。同時(shí)，浙江科技學(xué)院《線性代數(shù)》教學(xué)團(tuán)隊(duì)錄制了全課時(shí)的教學(xué)視頻，并在平臺(tái)上傳了電子教材，電子習(xí)題，每章節(jié)的測(cè)驗(yàn)題等一系列資源。老師可以隨時(shí)從平臺(tái)上觀察學(xué)生們的學(xué)習(xí)進(jìn)度與學(xué)習(xí)效果，從而進(jìn)行有效的監(jiān)督和管理。此外，課程的最終成績(jī)也采取線上線下結(jié)合的方式，即總評(píng)成績(jī)=期末成績(jī)×60%+平時(shí)成績(jī)×30%+線上成績(jī)×10%。

2.2 引入式教學(xué)法

在線性代數(shù)的教學(xué)中，引入式教學(xué)法是比較直觀且有效的方法之一。通過案例的分析，能最大限度地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力，更注重學(xué)生的主觀能動(dòng)性。此外，將線性代數(shù)中抽象的概念與實(shí)際問題相結(jié)合，能夠加深對(duì)概念的理解，提高學(xué)生對(duì)線性代數(shù)這門課程的好感。

2.3 教學(xué)設(shè)計(jì)與組織

在教學(xué)過程中，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行模塊化，在每個(gè)模塊中融入相關(guān)的實(shí)際背景或者具體的案例；在講授理論知識(shí)的同時(shí)，重點(diǎn)介紹其背景和應(yīng)用，突出工程數(shù)學(xué)中科學(xué)領(lǐng)域中的作用。線性代數(shù)中最核心的研究?jī)?nèi)容就是多元未知量的方程組及其解。本文以“線性方程組的解”為例，采用線上線下結(jié)合式的教學(xué)方案，具體教學(xué)過程如下：

2.3.1 課前布置

將“線性方程組的解”的課件，經(jīng)典的例題，本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)等教學(xué)材料發(fā)布到線上平臺(tái)，學(xué)生按照要求有計(jì)劃的完成課前預(yù)習(xí)。教師在線上平臺(tái)發(fā)布討論幾個(gè)話題：方程組是否一定有解？方程組的解是否唯一？若方程組的解不唯一，則如何獲得全部的解？學(xué)生可通過查閱資料，或者協(xié)同討論來解決這三個(gè)問題，并舉例論證自己的觀點(diǎn)。

2.3.2 課堂教學(xué)

第一步，抽查學(xué)生回答課前的三個(gè)問題，這一步是檢查同學(xué)是否課前認(rèn)真預(yù)習(xí)。在黑板上給出三個(gè)分別是無解、唯一解和無窮多解的非齊次線性方程組，學(xué)生求三個(gè)線性方程組的解，這一步是回答課前布置的三個(gè)問題。

第二步，教師給出三個(gè)非齊次線性方程組的答案，再次提問：如果對(duì)上述三個(gè)例題分別做一次線性變換，線性方程組的解是否發(fā)生改變？學(xué)生進(jìn)行討論回答。

第三步，教師給出答案：線性方程組的解不會(huì)發(fā)生變化，并得到重要結(jié)論：對(duì)線性方程組施行初等變換，不會(huì)改變方程組的解。現(xiàn)在可以得到解線性方程組的主要方法：將方程組的增廣矩陣做初等行變換化簡(jiǎn)為行最簡(jiǎn)形矩陣，得到較為簡(jiǎn)單的同解方程組，借此判斷原方程組解的情況。以上述三個(gè)非齊次線性方程組為例，將各自的增廣矩陣通過初等行變換化簡(jiǎn)為行最簡(jiǎn)形矩陣的形式，再次得到方程組的解。

第四步，回顧上節(jié)的一個(gè)重要定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。最終得到非齊次線性方程組無解、有唯一解和有無窮多解的充分必要條件。

第五步，講解線性方程組的歷史背景和應(yīng)用前景。早在東漢初年的《九章算術(shù)》，第八章“方程”中列出了從二元到六元線性方程組對(duì)應(yīng)的18個(gè)實(shí)際問題及其解答[2-3]。在方程組的表示中沒有未知數(shù)，而是把系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都放在固定位置上構(gòu)成籌算圖，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣表示；求解使用籌算的遍乘和直除，對(duì)應(yīng)現(xiàn)在的初等行變換。而西方直到17世紀(jì)才由萊布尼茨對(duì)線性方程組的研究，盡管國(guó)際上習(xí)慣把求解線性方程組的方法稱為高斯消元法，但從歷史來看，我國(guó)的線性方程組的求解法式領(lǐng)先于歐洲1000多年[6]。這也有利于弘揚(yáng)中國(guó)文化，提高學(xué)生的文化自信和民族自豪感。同時(shí)，在科學(xué)、物理、航空航天領(lǐng)域中，許多大型問題都會(huì)簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)模型又可以轉(zhuǎn)換為線性方程組，如隱形飛機(jī)設(shè)計(jì)、手機(jī)電磁輻射評(píng)估等相關(guān)運(yùn)算，其核心都是麥克斯韋方程，都可歸結(jié)為高維的線性方程組的求解[7，9]。因此，線性方程組的求解是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要內(nèi)容，借此增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第六步，教師將知識(shí)點(diǎn)串講，以流程圖的形式著重講解非齊次線性方程組的求解步驟：

第七步，學(xué)生自由提問，老師現(xiàn)場(chǎng)答疑。最后進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)，檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

2.3.3 課后答疑

本節(jié)課結(jié)束后留相關(guān)習(xí)題，但需加大難度與計(jì)算量。課后學(xué)生也可以通過線上教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行提問，學(xué)生和老師都可以進(jìn)行答疑，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)，學(xué)生能對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行再一次的消化。

3 結(jié)論

該文以線性代數(shù)課程中“線性方程組的解”為例，展示了混合式教學(xué)模式的教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂設(shè)計(jì)，打破了傳統(tǒng)教學(xué)模式在時(shí)間與空間上的局限性，學(xué)生在課前、課后都可靈活地進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，大大地延長(zhǎng)了教學(xué)時(shí)間，課堂上師生之間的交流時(shí)間與機(jī)會(huì)明顯增加，提升課中的學(xué)習(xí)效率和教學(xué)效率。同時(shí)，這種教學(xué)模式也是順應(yīng)時(shí)代的潮流，充分利用豐富的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，將網(wǎng)絡(luò)、現(xiàn)代化信息技術(shù)帶入到課堂上，采用學(xué)生能接受、喜歡接受的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，成為學(xué)習(xí)的主人。