基于向量式有限元的岸邊集裝箱起重機地震響應分析

鮑帥函 林偉華 劉 龍 王嘉誠

1上海海事大學物流工程學院 上海 201306 2上海振華重工（團）股份有限公司 上海 200125

0 引言

岸邊集裝箱起重機（以下簡稱岸橋）是專門用于集裝箱碼頭對集裝箱船進行裝卸作業的專業設備，一般安裝在港口碼頭岸邊。隨著港口物流行業的發展，為滿足大型化的集裝箱船舶的裝卸作業，岸橋也在向大型化發展，但大型岸橋結構重心高、側向剛度不均，在地震作用下也更容易不穩定。此外，岸橋結構生產周期長且成本高，若在地震中遭到嚴重破壞，對其進行維修的花費時間和經濟成本都將非常高。我國是一個地震多發的國家，所以對地震激勵下的岸橋進行分析十分很有必要。

在目前的研究中針對地震作用下的起重機響應研究方面，周鵬等[1]將功率譜作為地震輸入，分析了岸橋在不同工況下受到地震激勵時的結構響應；Sun Y G等[2]基于 ADAMS 建立岸橋模型，計算了起重機在地震波激勵下的動力響應；Feau C等[3]通過比例為 1/5 的起重機橋架模型進行地震試驗；Azeloglu C O等[4]建立了地震荷載作用下的起重機動力學模型，用振動臺試驗結果對模型進行驗證；路世青[5]進行了地震下結構彈塑性分析，采用多種地震波分別激勵得到地震過程中的結構響應結果；Yao G等[6]分析了懸臂塔式起重機的地震反應和動力特性，說明在地震激勵下的起重重物在一定程度上可視為慣性阻尼，為了模擬起重機的跳軌現象，使用摩擦接觸模型來模擬起重機車輪與軌道之間的作用；Jacobs L D等[7]建立了二維和三維岸橋模型，通過試驗和仿真分析說明二維岸橋模型即可表現出三維模型在地震作用下的結構跳軌現象，大車運行方向的結構扭轉對結果的影響很小，可以忽略；Nguyen V B等[8]建立了1/20的岸橋縮尺模型進行振動臺試驗，試驗證明摩擦接觸模型可以較準確地模擬車輪與軌道的接觸作用；李哲等[9]進行了振動臺試驗，驗證了岸橋跳軌臨界加速度計算的準確性，說明只對結構施加小車方向地震波便可模擬地震激勵下的結構運動結果。

在現有研究基礎上，本文用向量式有限元的方法分析岸橋在地震下的動力學響應。首先對岸橋的鉸接節點和耦合單元進行分析，定義了節點和單元的受力公式，提出改進的輪軌接觸模型并驗證。對整個岸橋建立向量式有限元模型，而后又對地震下的岸橋跳軌行為進行分析。

1 向量式有限元理論

1.1 基本理論

向量式有限元由3個基本理論組成，分別為點值描述、途徑單元和虛擬的逆向運動[10，11]。點值描述指在空間上將結構描述為一群質點的集合，質點間采用單元連接，單元沒有質量，只承受內力。質點的運動滿足牛頓第二定律，每個質點的質量按照質點的位置賦予其對應結構的質量。

在時間上將運動歷程劃分為一組時間點，時間點之間的過程用一組控制方程計算，這組方程被稱為途徑單元。使用一組相互連接的途徑單元來描述構件隨時間運動的目的是為了簡化內力計算和處理不連續行為。控制方程是一組點的運動與位移公式，在計算質點間內力的同時亦描述出內力與質點的位置之間的關系。為了用質點的運動來描述構件的運動過程，需要計算空間點之間相互作用的內力。桿單元的內力計算公式與位移迭代公式為

梁單元的內力計算公式與位移迭代公式為

1.2 鉸接節點

為使岸橋前大梁在非工作狀態下抬起，前大梁與后大梁通過鉸接方式連接。為了模擬出鉸接2單元的相對轉動，需要對單元的內力計算公式進行修改。假設單元1-2為梁單元，常見的剛接節點單元兩端的節點內力計算公式為

假設梁單元2-3中節點3為鉸接點，由鉸接結構的性質可得

將式（6）代入式（5）可得與鉸接點連接的單元2-3兩端節點的內力計算公式為

綜合以上為存在鉸接節點時的向量式有限元計算方法，在具體編程中需要先判斷節點為鉸接還是剛接，之后選擇各自對應的內力計算公式進行計算。

1.3 梁桿單元耦合

岸橋的主體使用梁單元來構建，但結構中的拉桿不承受彎矩作用，故需使用桿單元進行構建。對于同時連接桿單元與梁單元的節點，如何正確描述不同單元間的耦合作用是需要解決的問題。

假設單元1-2、單元2-3為梁單元，單元2-4為桿單元，即節點2與2個梁單元和1個桿單元相連接，對節點2所受的單元內力進行分析。由式(1)可得桿單元2-4傳遞給節點2的內力為

式中：Δ24為單元2-4的純變形，l24為單元2-4的長度，x2n、x4n和y2n、y4n為節點2和節點4在tn時刻的水平和豎直位置坐標。

由梁單元的內力計算公式可得，梁單元1-2和單元2-3傳遞給節點2的內力為

式中：Δ12和Δ23為單元1-2和單元2-3的純變形，l12和l23為2個單元的長度，φ12和φ21為單元1-2上節點1與節點2的轉角，φ23和φ32為單元2-3上節點2與節點3的轉角。

至此，得到各單元作用在節點2上的內力，由于內力均按照坐標軸進行分解，故可得節點2受到的總內力為

由此，在程序求解過程中先通過單元受力情況對單元的類型進行判斷，將處于耦合單元位置的節點的內力計算公式進行替換，至此便完成單元耦合問題的分析。

2 輪軌接觸的改進模型

對于結構與軌道的接觸行為模擬主要有接觸的識別和接觸的作用力加載2點，目的分別是確定目標是否發生接觸和確定接觸力的大小和方向。

岸橋輪軌邊界接觸模型如圖1a所示，車輪的兩側存在輪緣，輪緣與軌道之間存在間隙，若按照實際的輪軌接觸進行設置會導致計算困難且效率降低，以往學者將輪軌接觸簡化為如圖1b所示鉸接模型和如圖1c所示摩擦接觸模型。其中，鉸接模型的設置方法為釋放約束位置節點的旋轉自由度，由相關文獻可得鉸接約束設置可準確地模擬出地震作用下的結構運動，但鉸接模型無法模擬出結構的跳軌和脫軌行為。摩擦接觸模型的設置方法為根據結構的運動給予其水平方向上的摩擦力和垂直方向上的接觸力，可以模擬出結構與軌道的分離。

圖1 輪軌邊界約束模型

在實際跳軌后，結構會在自重的作用下回落并與軌道發生碰撞，此時若沒有對節點施加對應的約束會導致節點穿過接觸面，不符合實際的情況，故需考慮接觸的識別和并施加相應接觸力。

如圖2所示，假設δ為岸橋陸側門腿底端車輪（節點1）與軌道頂端的垂直距離，當車輪發生抬腿時δ＞0，車輪與軌道之間沒有力的作用。y1和yT分別為節點1和軌道T的垂直方向坐標，nT為軌道的法向向量，結構與軌道發生接觸的判定公式為

圖2 點與面的接觸示意圖

當δ≤0時說明結構與軌道發生接觸，此時需要對節點1施加對應的接觸力。岸橋與軌道發生接觸后，假設節點1沿水平方向（小車運行方向）的速度為vt，則岸橋在接觸位置受到的接觸力表達式為

式中：Fn為法向接觸力，Ft為摩擦力，k為豎向接觸彈簧剛度，μ為摩擦系數。

3 岸橋模型的建立

3.1 岸橋模型的點值描述

根據相關研究可得地震作用下的岸橋結構運動主要由小車運行方向的地震波導致，大車運行方向上的結構運動可以忽略，使用二維模型便可模擬出結構的運動，故建立二維的岸橋模型進行分析。在Ansys軟件中建立有限元模型，起重機的主體結構用23個Beam 188單元構建，拉桿結構用5個Link 180單元構建，質量點使用21個Mass 21單元施加在對應位置上。

如圖3所示，建立對應的基于向量式有限元理論的點值描述模型。基于向量式有限元的特性只選擇結構的關鍵位置設置節點，圖中表示出了節點的編號，y方向為垂直方向，x方向為小車運行方向。拉桿結構用桿單元構建，其他結構用梁單元構建，不同位置節點的慣性矩和截面面積等參數按照實際的截面尺寸進行計算獲得。不同位置單元的材料特性按照實際模型設置，將簡化后無法表示的部分結構通過增加單元密度的方式來模擬其對結構的作用，將機器房等結構視為質量點施加在對應位置上，質量點施加位置與質量大小如表1所示。

圖3 岸橋點值描述示意圖

表1 施加質量點的節點編號與質量大小

3.2 接觸模型驗證

如圖4所示，使用接觸識別和施加接觸力的方法模擬軌道與岸橋的接觸。參照相關文獻取彈簧剛度為4.375×109N/m，取節點1的位置為坐標原點，岸橋結構重心G的水平坐標為24.424，即重心與陸側門腿的水平距離l1為24.424 m，與海側門腿的水平距離l2＝30.48-24.424＝5.939 m，L為岸橋的基距，R1與R4為節點1和節點4所受的支反力。只考慮結構自重的作用，根據重心的位置和整機質量可得R1約為1 355 508.34 N，R4約為5 466 799.17 N。將支反力的值代入式(13)中的法向接觸力計算公式中可得陸側與海側門腿底部與軌道接觸導致的垂直位移δ1和δ4分別為-3.098×10-4m和-1.250×10-3m。

圖4 岸橋與結構重心示意圖

使用向量式有限元編程進行計算，圖5所示曲線穩定后垂直方向上節點1的位移為-3.090×10-4m，節點4的位移為-1.250×10-3m。與理論計算得到的數值相比，位移誤差分別為0.26%和0.00%。由此可知，通過施加接觸力的方法可有效模擬接觸導致的位移。

圖5 自重作用下的節點位移

4 地震下的跳軌行為分析

假設小車在后大梁上的節點12位置處靜止，選取地震波對結構進行加載，所選地震波為EI Centro地震波（美國），地震波的相關參數如表2所示。將所有地震波都進行相同的線性插值處理，從起始位置時間開始將選取的各個地震波沿小車運行方向和垂直方向加載在結構上。

表2 地震波參數

岸橋大車的車輪輪緣與軌道之間存在卡夾作用，且在強地震激勵下岸橋會發生抬腿和脫軌現象，所以在目前相關研究中會設定摩擦系數取一個較大值來模擬輪緣與軌道之間的接觸作用，取值范圍為0.7～0.9，取摩擦系數為0.9，不對節點的水平方向位移進行約束。

選EI Centro地震波作用下的結構運動進行分析，選取2.753 s、5.604 s、7.71 s和18.28 s這4個時刻的整機位移，將位移放大40倍得到的結果如圖6所示。由結果可知，在地震波的作用下結構在水平方向上出現位移，陸側門腿在抬腿的同時也發生了脫軌現象。海側門腿雖未發生抬腿但發生了脫軌，這與結構的重心位置相關，由于海側門腿與重心的水平距離較近，與陸側門腿相比難以發生抬腿現象。

圖6 不同時刻對應的整機位移示意圖

選取后大梁最遠端（節點10）與前大梁最遠端（節點21）的節點進行分析，位移結果如圖7所示。由圖7可知，大梁上的位置在水平方向上的位移結果差距不大，而垂直方向上的位移差距較明顯，這與結構特征與陸側門腿的抬升有關。

圖7 大梁上不同位置的節點位移

選取海側門腿與下連接梁的連接位置（節點5）、海側門腿與大梁的連接位置（節點16）與結構最高位置（節點9）進行分析，位移結果如圖8所示。由圖8可知，不同高度的位置在水平方向上的位移結果差距不大，高度越高的位置在垂直方向上的位移幅度越大。

圖8 不同高度位置的節點位移

5 結語

本文首先基于向量式有限元理論建立了岸橋模型，說明對結構中的耦合單元、鉸接點等特征的表示方法。使用向量式有限元理論設置小車與岸橋的輪軌摩擦接觸模型，提出一種地震激勵下的接觸約束方法并驗證，在驗證后對地震激勵下的結構抬腿和脫軌進行了分析，發現海側門腿與陸側門腿相比更難以發生抬腿現象。對結構中不同位置的位移結果進行比較，發現大梁上的位置在水平方向上的位移差距不大，而垂直方向上的位移差距較明顯。本研究在分析的過程中未考慮塑性變形帶來的影響，對于結構的約束方法尚有可繼續探索的空間。