結合壓縮感知和新混沌映射的圖像加密方案

周明偉，闞忠良*，蔣東華

(1.黑龍江大學 計算機科學與技術學院，黑龍江 哈爾濱 150080；2.長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

隨著數字多媒體技術和網絡技術的革命性發展，作為信息的一種具體表現形式，數字圖像被海量制造、傳輸與存儲。而在信息交換便捷化的當下，數字圖像在開放共享的平臺上進行傳輸時容易遭到基于深度神經網絡模型的攻擊[1]，造成隱私泄露，進而引起越來越多的個人用戶、企業乃至政府部門對于數據隱私安全的擔憂。在此社會背景下，圖像密碼系統應運而生，以解決在國防軍事、醫學、工業等諸多領域中的隱私保護問題。

如文獻[2]中所述，隱私圖像保密技術一般可以分為兩大類，一類是圖像加密，而另一類則是圖像隱寫(圖像隱藏)。因此可以根據密文圖像的視覺紋理是否具有意義來區分它們。圖像加密技術指的是在密碼流的控制下按照加密規則將具有視覺意義的明文圖像轉換成類噪聲密文圖像，與此同時，黑客在沒有得到正確密鑰的情況下將無法獲取密文圖像中所攜帶的敏感信息。

截止到目前，研究人員基于混沌理論[3-4]、DNA編碼技術[5]、細胞自動機[6]、壓縮感知[7-8]以及馬爾可夫模型[9]等提出了許多有效的加密方案。然而，此類圖像加密方案均存在一個弊病，即缺乏隱蔽性。當生成的具有統計偽隨機特性的密文圖像在公用信道中傳輸或本地化存儲時極易被黑客或基于神經網絡的各種攻擊模型所偵測到，進而遭到諸多類型的攻擊。

圖像隱寫則指的是以一種不可檢測的方式將敏感明文圖像隱藏到可公開獲取的載體圖像中，以創建具有視覺安全性的密文圖像。也就是說，通過隱藏通信行為的方式來達到傳遞敏感信息的目的。近些年來，結合傳統加密技術與圖像隱寫技術，如矩陣編碼嵌入[10]、離散提升小波變換嵌入[11]、斜變換嵌入[12]和奇異值分解嵌入[13-14]等，以設計出能夠實現對明文圖像的同步加密和隱寫的視覺有意義圖像加密算法被相繼提出。然而就現有的視覺安全圖像加密算法而言，雖然采用基于頻域變換的分塊嵌入方式來提升算法的魯棒性，但卻以犧牲其不可感知性和壓縮性能為代價，進而導致攜帶秘密數據的數字載密圖像容易被基于統計模型或是深度神經網絡模型的隱寫分析器所發現。

針對上述圖像加密算法中所存在的問題，該文利用新設計的離散分數階Chebyshev混沌映射、二維壓縮感知模型以及空域最低有效位嵌入設計出一種高安全性的視覺有意義圖像加密算法。首先，在文獻[15]的啟發下，對經典一維Chebyshev混沌映射進行改進得到其離散分數階形式的混沌映射。并通過分析其分岔圖和李雅普諾夫指數譜驗證了該改進型映射具有良好的混沌動力學特性。其次，在明文信息熵的控制下，利用該混沌映射構建出密碼流和受控測量矩陣，并用以對明文圖像執行二維壓縮和加密。最后，再通過無損的空域嵌入方式將秘密圖像隱藏到某一可公開獲取的載體圖像中。實驗結果表明：所設計的基于壓縮-加密-嵌入框架的圖像加密算法不僅能降低密文圖像被偵測到和被攻擊的概率，同時憑借著明文信息熵和混合擴散策略提升其明文敏感性和密文擴散能力，增強了所提算法在抵御基于明文分析安全攻擊模型方面的能力。

1 理論知識

1.1 二維壓縮感知模型

在采用傳統壓縮感知模型處理二維數字圖像時，常見做法是先將二維圖像堆疊成一維度很大的列向量，然后再對其進行線性測量。但這種處理方式需要占用大量的存儲空間和計算資源，因此一些研究者們提出將其擴展到二維正交平面中[16]。

首先，假設一維度為N×N的明文圖像P在Ψ域中是稀疏的。則其可以被稀疏表示為：

D=ΨPΨT

(1)

式中，變量Ψ∈RN×N和D∈RN×N分別表示為稀疏表示基矩陣和明文圖像P在Ψ域中的系數矩陣，而符號T記為轉置操作。

其次，在二維壓縮感知模型中，可以通過將圖像P的稀疏系數矩陣D線性投影到兩個相互正交的測量矩陣Φ1∈RM×N和Φ2∈RM×N上來實現對明文圖像的二維壓縮，其中符號M與N表示矩陣的行數與列數。此過程的數學表述為：

(2)

式中，Ζ是一個M×M維的測量值矩陣。事實上，矩陣Φ1對明文圖像P的行進行操作，而矩陣Φ2則是對其列進行操作。另外，為了能夠從矩陣Ζ中精準重構出圖像P，需要解決以下優化問題。

(3)

1.2 測量矩陣的構建

在對圖像進行二維壓縮時，測量矩陣的性能對于解密過程中重建圖像的視覺質量有所影響。隨機型測量矩陣雖然具有普適性，但其性能難以控制。因此，該文依據混沌映射所具有的偽隨機性和統計獨立性來構建兩個確定型混沌測量矩陣。

具體的構建步驟如下：

步驟1：在給定初始狀態和控制參數的情況下，迭代某一維性能優良的混沌映射?d·CR·N2」次，生成序列Q。其中變量d和CR表示抽樣距離和預設的壓縮率，而符號?～」表示向負無窮方向取整。

步驟2：對上一步迭代得到的混沌序列Q進行如下處理。

W=1-2·mod(Q(1:d:d·CR·N2),1)

(4)

步驟3：將新生成的偽隨機序列W按列重排成二維矩陣，并執行歸一化操作，從而得到測量矩陣Φ1。此過程可以由式(5)表述，其中行數M=?CR·N」。

(5)

步驟4：根據不同的初始狀態重新執行步驟1至步驟3,得到另一個測量矩陣Φ2。

2 所設計的新混沌映射

2.1 新映射的數學定義

針對經典一維Chebyshev混沌映射的分岔圖存在空白窗口及穩定吸引子等缺陷，該文通過文獻[15]中介紹的方法對其進行改進，得到一維分數階Chebyshev混沌映射(Fractional-order Chebyshev Chaotic Map，FCCM)。該改進型混沌映射的數學模型如式(6)所示。

acos(x(n-1))),2)

(6)

2.2 性能分析與對比

在x0=0.234 5,v=0.15,h=0.45的情況下，圖1給出了所提一維分數階Chebyshev混沌映射隨控制參數μ變化的分岔圖。從圖中可以看出，相比于原始的一維Chebyshev混沌映射(其分岔圖如圖2所示)，其空白窗口得以消除、混沌空間范圍更大以及輸出的混沌序列的遍歷性更好。另外，由于向原始混沌映射中引入離散步長和分數階階數，因此將其應用于圖像保密領域可以顯著擴展加密算法的密鑰空間。

圖1 分數階Chebyshev混沌映射的分岔圖

圖2 經典Chebyshev混沌映射的分岔圖

如果在相空間中非線性系統的軌跡遠離其平衡點，則表明該系統不穩定。李雅普諾夫指數(Lyapunov Expone-nt，LE)是一種用于量化描述運動軌跡長期相互排斥和吸引的指標[17]。如果某一系統的LE值為正，則表明其相空間中會出現混沌現象。因此判斷一個非線性系統是否為混沌系統，僅需檢查其LE值是否大于0。對于一維映射f(x)而言，其李雅普諾夫指數可以通過式(7)計算得到。

(7)

所提一維分數階Chebyshev混沌映射隨控制參數μ變化的LE譜如圖3所示。從圖中可以看出，在整個取值區間范圍內，所設計的非線性映射的LE值均大于0，且隨著μ的變化逐漸增大，表明其在整個相空間中均存在混沌行為。除此之外，相比于其他新提出的先進混沌映射而言，其初值敏感性和偽隨機性更好。

圖3 若干個混沌映射的李雅普諾夫指數譜

3 視覺安全圖像加解密算法

所提出的視覺有意義圖像加密算法由四個主要步驟組成，即通過分數階Chebyshev混沌映射生成“一圖一密”的密碼流，采用壓縮感知模型在兩個正交方向上對明文圖像壓縮采樣，利用FAN變換置亂和混合擴散策略二次加密明文像素值以及使用LSB嵌入算法將具有統計偽隨機性的秘密數據隱藏到非涉密傳輸介質中。整套加密算法的框架如圖4所示。

圖4 所提圖像加密算法流程

3.1 密碼流的生成

鑒于信息熵對消息極度敏感[18]，該文采用明文圖像的信息熵來構建加密過程中各階段的密碼流以有效抵抗基于選擇明文分析的安全攻擊模型，其數學定義如式(8)所示。

(8)

式中，符號p(ρi)記為消息ρi的概率。

(9)

3.2 二維壓縮階段

在傳統壓縮感知模型中，從少量測量值中通過正交匹配追蹤、平滑l0范數以及貝葉斯框架等重構算法精準恢復出原始信號的前提是該信號具有可壓縮性或在某域中具有稀疏性。但在空域中自然圖像普遍不具備此特性，因此通常的做法是采用頻域變換將其轉換到其他域中進行稀疏表示，從而增加算法的計算和時間復雜度。針對這個問題，該文采用一種對信號稀疏性不敏感的重建算法(2DPG-ED)[19]來提升算法的時間效率。

首先，在二維壓縮階段，第3.1節中所構建的兩個受控的正交混沌測量矩陣被用于對明文圖像進行二維壓縮，并再對壓縮后的系數進行線性量化。此階段可以由式(10)表述。

(10)

式中，函數max和min分別表示取最大值和最小值操作。

3.3 加密階段

考慮到壓縮感知的本質是線性映射[20]，其難以抵抗選擇明文攻擊。因此，所設計的圖像加密算法除了采用“一圖一密”策略來提高算法的安全性外，還利用FAN變換置亂和混沌擴散策略來掩蓋明文圖像獨有的統計特性并使加密圖像具有雪崩效應。具有的操作步驟如下：

FAN變換置亂：FAN變換是Arnold變換的一般形式，其模型如式(11)所示。

(11)

式中，(in-1,jn-1)和(in,jn)表示變換前后的像素坐標，參數t00,t01,t10,t11為該變換的控制參數。根據式(11)，對壓縮圖像P2進行FAN變換置亂，得到矩陣P3。

混合擴散策略：為得到較好的擴散效果，該文結合加模操作和按位異或操作設計出混沌擴散策略，如式(12)所示。

(12)

式中，符號?記為按位異或操作，且擴散序列Dx在第3.1節中構建得到。

3.4 嵌入階段

隨著當下深度學習技術的快速發展，基于神經網絡的安全攻擊模型日益趨于成熟。針對其可以智能地對公用信道中具有類噪聲外形的密文圖像進行解密分析或惡意破壞等問題，該文利用最低有效位嵌入方式為具有統計偽隨機特性的加密數據提供一個非涉密的“視覺標簽”以實現對明文圖像內容和外形的雙重保護。

在嵌入階段，首先對載體圖像L∈N×N的像素值執行縮放操作以防止嵌入秘密圖像以后數據溢出，如式(13)所示。

(13)

式中，常數τ取為245。

另外，為了提高算法的實用性，最后將明文信息熵的小數位分別提取出來，并在密鑰和LSB嵌入算法的控制下，逐個隱藏到密文圖像的透明度通道中。

3.5 解密過程

由于所提出的視覺有意義圖像加密算法屬于對稱加密范疇，因此其相應的解密過程為各加密操作的逆過程的集合。另外，為了保證解密密鑰的安全性，建議加密方采用非對稱加密的方式通過公用信道將密鑰傳遞給授權的解密方。具體的解密步驟如下所示。

步驟1：根據協商一致的非對稱加密方式解密出共享密鑰并提取出密文圖像透明度通道中的明文信息熵，再根據密鑰生成規則構建得到受控密碼流，如第4.1節描述所示。

步驟2：根據索引序列Ty從隱寫圖像中逐個提取出秘密圖像的各比特部分，隨后再進行拼接操作。

步驟3：在逆混合擴散操作策略的控制下，如式(14)所示，從秘密圖像P4中重構出矩陣P3，緊接著再執行逆FAN置亂操作。

(14)

步驟4：在對矩陣P2進行逆量化操作之后，再根據文獻[19]中介紹的重構算法從測量值矩陣P1中恢復出明文圖像，至此，解密過程結束。

4 算法仿真與性能分析

4.1 仿真結果

圖5給出了提出的視覺有意義圖像加密算法的仿真結果。由此可以看出，明文圖像在經過二維壓縮加密以后所生成的秘密圖像的分辨率是原始的四分之一。同時，其直方圖的分布近似均勻分布，表明明文圖像所具有的獨特統計特性被有效掩蓋。其次從視覺上看，最終產生的密文圖像與對應的載體圖像近似，且重建得到的解密圖像與明文圖像相差不大。然后，通過峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)和平均結構相似度(Mean Structural Similarity，MSSIM)指標來量化兩幅圖像之間的視覺差異(它們的數學定義請參考文獻[12])。最后經過計算得出密文圖像與載體圖像之間的PSNR值和MSSIM值分別為39.985 7 dB和0.995 3，而解密圖像與明文圖像之間的PSNR值和MSSIM值分別為35.028 7 dB和0.910 6。從仿真實驗的數值結果可以看出，在不受外界或人為干擾的情況下，所提加密算法具有不錯的不可感知性和重建質量。

圖5 所提加密方案的仿真結果

4.2 密鑰分析

圖6 密鑰敏感性分析結果

在所設計的圖像加密算法中，最主要的密鑰是分數階Chebyshev混沌映射的四組初始控制參數和狀態。假設仿真平臺的數據精度為10-14，則本算法總的密鑰空間為10672，遠大于文獻[16]提出的最低密鑰空間2100。除此之外，構建混沌測量矩陣時的抽樣距離d，FAN置亂的參數(t00,t01,t10,t11)以及量化參數均可以作為密鑰。綜上可知，所提出的視覺有意圖像加密算法具有足夠的抵抗力以抵御暴力攻擊。

4.3 香農信息熵分析

信息熵是反映信息源隨機性的最重要指標。它的數學定義如式(8)所示。對具有256位灰度級的數字圖像而言，其理論值為8。當橫縱向壓縮率CR均為0.75時，且將嵌入層移除后，計算出分辨率為512×512的若干明文圖像和其相應秘密圖像的信息熵，數值結果如表1所示。從實驗結果可以看出，秘密圖像的信息熵均大于7.99。另外，表2列出不同算法加密Lena512圖像后生成的秘密圖像的信息熵對比結果。從表中可以得知，相比于文獻[13,21-23]，所設計的圖像加密算法具有更好的密文偽隨機性。

表1 明文圖像和秘密圖像的信息熵

表2 不同算法之間的信息熵對比

4.4 NPCR與UACI分析

像素變化率(Number of Pixels Change Rate，NPCR)和歸一化平均變化強度(Unified Average Change Intensity，UACI)[3]常被用來定量評估加密算法抵御差分攻擊的能力。它們的數學定義可由式(15)推導出。

(15)

式中，符號I1和I2記作分辨率為W×H的待測試圖像。

實驗選取四幅維度為512×512的明文圖像(Lena，Baboon，Boat和Peppers)進行分析，并且僅將它們的第一個像素點的值加一或減一以生成相應的測試用圖。最后在移除嵌入階段的情況下根據式(15)計算得到不同明文圖像所對應的NPCR和UACI值，如表3所示。

表3 不同算法之間的NPCR和UACI值對比 %

從實驗結果可以看出，明文圖像的微小變換必將導致其所對應秘密圖像發生巨大的改變，同時也說明所提算法具有足夠抵御差分攻擊的能力。另外，通過對比其他加密算法的實驗數據可以得知，該算法的抗差分性能可以與文獻[16]的媲美，且優于文獻[13]。

4.5 不可感知性分析

就具有視覺安全性的圖像加密算法而言，其密文圖像與相應載體圖像之間的視覺差異越小，則所提算法的不可感知性越強，則秘密圖像被偵測到的概率越小。接下來，采用不同的加密算法分別加密若干個分辨率為512×512的明文圖像并隨機地嵌入到非涉密信息傳輸介質(載體圖像)中。隨后計算出不同組實驗的PSNR值和MSSIM值，結果如表4所示。

表4 不可感知性分析的實驗結果

從得到的實驗數據來看，相比于文獻[13]所提出的基于變換域有損嵌入方法的視覺有意義圖像加密算法，該文所設計的加密算法能明顯得到9 dB左右的峰值信噪比提升。總的來說，采用最低有效位替換的嵌入方式可以有效提高所提加密算法的不可感知性。

4.6 魯棒性分析

由于目前幾乎所有的公用傳輸信道都是具有噪聲的信道，因此密文圖像須具有較強抗噪聲或數據丟失的能力。也就是說當密文圖像被噪聲弄模糊或存在數據丟失之后，通過解密算法仍然可以從中恢復出原始圖像的大部分紋理信息。另外，以分辨率為512×512的“Lena”圖像作為明文圖像，“Baboon”圖像用作載體圖像。首先，對明文圖像進行加密并隨機地嵌入到載體圖像中的各個區域。然后，對具有視覺安全性的密文圖像進行不同百分比強度的數據裁剪(Data Cropping，DC)、椒鹽噪聲(Salt & Pepper Noise，SPN)和斑點噪聲(Speckle Noise，SN)攻擊。最后，圖 7給出了使用正確密鑰解密受攻擊后的密文圖像的實驗結果。可以從圖中看到，重建后的圖像在視覺上仍然是有意義且可讀的。這表明即使密文圖像的數據發生一定程度的變化，所提出的解密算法仍然可以恢復出原始明文圖像中的大部分信息。因此，所提出的算法對噪聲污染和裁剪攻擊具有一定的魯棒性。

圖7 魯棒性分析的實驗結果

4.7 時間復雜度分析

表5列出不同算法加密分辨率為512×512的“Lena”明文圖像時各個階段所消耗的時間。從得到的實驗數值結果可以看出，所提加密算法的加密速度低于文獻[13]中所介紹的算法，但高于文獻[25]所提出的算法。因此，建議將大規模的明文圖像進行分塊處理之后再進行壓縮加密和LSB嵌入以提高該算法的加密效率。一方面，可以通過降低圖像塊的維度來減少分數階Chebyshev混沌映射的迭代次數。另一方面，圖像塊維度的降低可以大大節約重建過程中求解凸優化過程的耗時。

表5 不同算法的加密用時對比結果

5 結束語

首先提出一種新的分數階形式的Chebyshev混沌映射，并通過分岔圖和李雅普諾夫指數對其性能進行評估。實驗結果表明，與新提出的其他一維混沌映射相比，所設計的FCCM映射具有更大的混沌范圍和更復雜的混沌性能。另外，在此基礎上，結合二維壓縮感知模型和LSB嵌入提出了一種基于壓縮-加密-嵌入架構的視覺安全圖像加密算法。該方案中，在分數階混沌映射的控制下，通過測量矩陣、FAN變換置亂、混沌擴散策略以及最低有效位替換嵌入完成對明文圖像的雙重加密。最后通過從密鑰、抗差分攻擊、不可感知性和加密效率等方面進行實驗仿真和分析，證實所提算法在保證足夠安全之外，還降低了密文圖像遭到攻擊的可能性。在后續的研究中，將對多幅隱私圖像的安全通信進行研究以提升現有保密方案的傳輸效率。