習題設計：用“發展”代替“重復”

姜華

摘要：觀察《解決問題的策略——轉化》第2課時的教學，發現學生在變式練習中遭遇滑鐵盧。分析發現，鞏固應用環節的習題設計，存在簡單重復的問題。對此，提出用“發展”代替“重復”的改進思路。具體包括：以“熟”解“生”，夯實基礎；消除定式，深化理解；打通聯系，整體架構。

關鍵詞：小學數學；習題設計；解決問題的策略

一、緣起：學生在變式練習中遭遇滑鐵盧

蘇教版小學數學五年級下冊《解決問題的策略——轉化》單元，主要教學內容為用轉化的策略解決相關的問題。轉化是一種常見的、極其重要的策略。理解并掌握這一策略，對于學生形成分析問題、解決問題的能力以及發展數學思維能力，都具有非常重要的意義。轉化策略教學的難點在于引導學生針對具體問題尋找合適的轉化方法。

前段時間，學校舉行了青年教師賽課活動，其中一位教師執教的就是《解決問題的策略——轉化》第2課時，教學內容主要為例2（計算“1/2+1/4+1/8+1/16”）及相關習題。例2從數與運算的角度編排了連加式題的等值轉化，旨在先讓學生各自計算一組公比為12的等比數列的和，再引導他們借助直觀圖形將這組分數連加計算轉化為相對簡單的分數減法計算。該教師設計的教學流程是：先讓學生說說例題中的算式有什么特點，啟發學生從不同的角度表達發現；然后要求學生各自計算，再相機揭示數形結合的轉化方法，即把正方形看作單位“1”；在鞏固應用環節，選用了3道習題（見下頁圖1），學生基本能基于例題學習時獲得的經驗，繼續運用轉化策略，借助直觀圖形順利解決問題，甚至有學生能在看到題目后將答案脫口而出。學生似乎已經掌握了轉化策略的應用過程和特點，形成了運用轉化策略解決問題的能力。

但后續的當堂檢測環節，學生在解答變式練習“1/3+1/6+1/12+1/24+1/48”時卻遭遇了滑鐵盧。學生的解題過程主要有兩種（見圖2、圖3）。從圖2中的解題過程可以看出，從例題到鞏固練習再到這里的變式，學生出現了思維定式，直接套用了例題中的轉化結論。圖3中，學生采用了將“異分母分數通分成同分母分數”的一般分數計算方法，過程相對比較復雜。對此類學生進行訪談得知：他們通過對比發現，該題中的分數與之前多道練習中的分數都不一樣，不再是“1/2，1/4，1/8，…”，感覺之前的方法不再適用，所以采用了最穩妥的通分法。

全班37名學生中，能自覺將這個分數連加計算轉化為相對簡單的分數減法計算并計算正確的只有3人，約占總人數的8%，此前出現的令人欣喜的教學效果不復存在。這自然引起了我們的關注：問題到底出在哪里？

二、分析與改進：習題設計應該用“發展”代替“重復”

我們知道，習題是對例題的重要補充，能夠幫助學生鞏固基礎，助力學生將知識點串成線、織成面。而上述教師的習題設計，存在簡單重復的問題。

教材編排的例2中，4個分數的分母依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2，后一個分數的分母總是前一個分數分母的2倍，也就是說后一個分數的值總是前一個分數的一半，這是一組公比為1/2的等比數列。圖1中的三道鞏固習題看似分層有序，實則思維層次比較接近：雖然分數的個數在例2的基礎上有所增加，但分數的形式、結構都沿用了例2的。學生完全可以套用例2中獲得的方法解答三道題，這屬于機械模仿的重復訓練。學生的思維水平并沒有拾級而上，仍在淺層原地踏步。這使學生多次獲得了成功套用的體驗，例2中的轉化結論深入其心，導致思維定式。

鄭毓信教授指出：對同一類型的問題，教學中我們也應很好地體現這樣一個重要原則——“用發展代替重復”，也即應當特別重視認識的必要深化，而不應簡單地進行重復。［1］

筆者以為，這三道習題可以這樣改進：

1.請根據下頁圖4—圖6的涂色部分，分別列出三道分數加法算式，并計算結果。對比三個算式，你有什么新的發現？（正方形表示“1”）

2.計算1/3+1/9+1/27+1/81。

3.我們通過畫圖研究了“1/2問題”“1/3問題”，你還想研究“1/（）問題”？通過研究，你發現了什么？

第1題，以“熟”解“生”。

本節課中，例題的教學讓學生初步感知可以借助直觀圖形將復雜的加法算式轉化為簡單的減法算式，這屬于對策略的淺層感知。于是，在此基礎上逆向設計三道“由圖到式”的形似習題。說其形似，是因為三幅圖的涂色部分所對應的加法算式，都是公比為12的等比數列的和（簡稱“1/2問題”），而且圖形的整體結構相似，但與例題圖相比，同中有異，異中有深化。

圖4與例題的圖最為相似，只是分數個數的差別，旨在引導學生鞏固例題中初步獲得的轉化經驗：首項為1/2的這一列等比分數的和，都等于1減去加數中的最后一個單位分數；隨著分數的增多，結果越來越接近1。圖5與圖4及例題圖相比，首項不再從1/2出發，打破了之前的認知平衡，給了學生一個全新而有力的沖擊，使他們意識到這樣的轉化策略不是只能運用于求首項為1/2的一列等比分數的和，還可以做進一步拓展。轉化的策略是相通的，但是轉化后的算法是有變化的，不再用1來減，而是用2/3減去加數中的最后一個單位分數。圖6的出現是為了引導學生進一步提煉“1/2問題”的轉化規律。

三張圖、三個算式，依托同一情境，有層次地呈現有變化的問題，旨在引導學生在例題學習的基礎上拾級而上。前一算式的熟悉、熟練為后一算式的解答儲備知識和經驗，后一算式又會在前一算式的基礎上生長出新的變化，引發新的思考，從而幫助學生提升轉化策略的認知層次。

第2題，消除定式。

學生在第1題的解決中，已經建立了“1/2問題”的解答模型，“1/3+1/9+1/27+1/81”的出現，旨在消除“1/2問題”的思維定式，向更廣、更深處延伸。由于“1/2問題”的解答模型的影響，多數學生看到第2題的第一反應就是轉化成“2/3－1/81”。在用常見的通分方法驗證后，發現這樣轉化的結果并不正確。此時，學生自然會產生疑惑，想到用畫圖來驗證。在初次畫圖時，幾乎所有的學生都沿用了“1/2問題”中的圖形結構（見圖7），發現1/3+1/9+1/27+1/81應轉化成2/3－2/81－1/27－1/9，所以2/3－1/81的轉化結果是錯誤的。此時依圖而來的轉化，并沒有讓問題的解決得到簡化。不成功的轉化經歷，迫使學生回到起點重新去觀察這一組分數的特點，從而發現這是一類新的問題（簡稱“1/3問題”），需要進一步探究適用于其的畫圖方法（見圖8），并在此基礎上探尋有別于“1/2問題”的轉化過程。

由基礎的“1/2問題”延伸到變式的“1/3問題”，學生把畫圖這一方法用到了深處、實處。他們在畫圖中對比，在畫圖中突破，在一次次看似失敗的經歷中，數學思維卻在向縱深拓展。學生通過類比、探究，不僅明晰了不能機械模仿的道理，也在多變的現象中完善了認知結構，達成了對策略的深度理解。

第3題，打通聯系。

從形似習題到變式習題，學生打開了思維的閘門，跳出了教材的局限，不僅畫圖研究了“1/2問題”，還拓展研究了“1/3問題”，學生的視野更廣闊了。此時，大部分學生對“1/（? ）問題”的研究印象是“各有各的轉化策略”，彼此之間是割裂的。第3題，意在給學生一個更廣闊的研究空間，從一道題的研究走向一系列問題的研究，打通學生對“1/（? ）問題”初步形成的轉化策略的“隔斷墻”。通過研究，學生自然會發現：當a為大于等于2的自然數時，求關于幾分之一的等比數列的和是有通法的，也就是有相通的轉化策略的，即1a+1a2+1a3+…+1an=1-1an÷（a-1）。當然，實際教學中有時不會這么深入，不需要學生得到這一公式。

這凸顯了知識的結構化與一致性，也讓轉化的策略得到了充分的延展。

參考文獻：

［1］ 鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：120.