經歷“三重境”，抵達“結構化”

施婭林

摘要：《長方形和正方形的面積復習》一課，是長方形和正方形的面積學習的“收官之作”，承載著建構清晰、完整的知識結構的重要功能；又是其他圖形面積與體積學習的重要基礎。基于此，立足結構化進行教學設計，引導學生比較易混淆知識，明晰認知結構；整合碎片化知識，完善認知結構；立足轉化思想，生長認知結構，從而達到清晰、完整而開放的境界。

關鍵詞：小學數學；結構化;復習課；認知結構

*本文系江蘇省南京市教育科學規劃2021年度第十二期個人課題“結構化視角下第一學段數學復習課教學策略的研究”（編號：Ed4506）的階段性研究成果。

蘇教版小學數學教材三年級下冊“長方形和正方形的面積”復習課，是小學階段長方形和正方形知識學習的“收官之作”，又是其他平面圖形的面積與立體圖形的體積和表面積學習的重要基礎，尤為重要。教材在三年級上冊編排了周長的含義和長方形、正方形的周長計算等內容；在三年級下冊編排了面積的含義和長方形、正方形的面積計算等內容。由于周長和面積的測量對象都是圖形（長方形和正方形），兩者極易混淆。另外，面積指向“二維的面”，這對學生來說比較抽象，難以理解。而學生對這部分知識的內化程度會直接影響后續其他平面圖形面積計算以及“三維的體”知識的學習。于是，筆者嘗試帶領學生經歷清晰、完整、開放的“三重境”，抵達知識、思維、認知的“結構化”。

一、教學過程

（一）清晰：比較易混淆知識，明晰認知結構

師回想一下，這學期我們學習了長方形、正方形的什么知識？

生面積。

師對。說到面積，馬上想到和它最容易混淆的是什么？

生周長。

師既然容易混淆，在復習的時候應該怎樣做呢？

生找兩者之間有什么聯系和區別。

生可以把面積和以前學的周長進行比較。

師“比較”這個詞用得特別好！我們在復習的時候，可以把易混淆的知識進行比較。這是常用的一種復習方法，也叫對比。接下來，你們打算從哪幾個方面比較呢？

生（用手指比畫課桌面的邊線）周長是這個桌面一周邊線的長度，（用手掌摸課桌的面）面積是指課桌面的大小。

師很好！從周長與面積的含義這個方面來比較。

生計算長方形的周長是求四條邊的長度之和，而計算長方形的面積是用“長×寬”，計算方法不同。

生面積和周長的單位不同，周長的單位是厘米、分米或米，而面積的單位是平方厘米、平方分米或平方米。

……

師剛才你們說的都是面積和周長的不同之處。那既然它們很容易混淆，說明它們之間一定有著相似之處。想一想，有哪些相似之處？

生都跟長方形和正方形有關。

生我感覺學習的過程相似，都是先認識什么是周長、面積，再計算。

師確實，它們的學習過程很相似，它們是關于圖形的兩個量，不過周長是邊線的長度，而面積是面的大小。現在你能分清楚周長和面積了嗎？

生（齊聲）能！

師請判斷：“邊長是4厘米的正方形，周長和面積一樣”這句話是否正確？

生正確，都是4×4=16。

生不對。周長是16厘米，而面積是16平方厘米，單位不一樣，不能比較。

生不能比較，因為它們說的東西不一樣。

師是的。但是在剛才計算周長和面積時，列式都是4×4=16。那你知道算式4×4=16在計算周長和面積時，有什么不同之處嗎？算式中的4又分別表示什么？

生計算周長的算式中的4×4表示的是4個4厘米的邊長，計算面積的算式中的4×4表示的是邊長×邊長，含義是不一樣的。

師是的，周長和面積是描述一個圖形的不同的量。面積是對面的大小的度量，而周長是對線的長度的度量。因此，雖然都是4×4=16，但是表示的意義不同。

［說明：為幫助學生明晰周長和面積這兩個易混淆的概念，采用了比較辨析的策略。首先，學生用手比畫、摸，在概念上區分周長和面積；接著，學生比較周長與面積的相同與不同之處，知道周長和面積的度量對象都是圖形，但是度量的單位不同，計算方法也不同。在此基礎上，教師請學生辨析邊長是4厘米的正方形周長和面積是否相等。顯然，學生很容易被相同的數值所迷惑，進而再次引發對周長和面積的比較。這也為學生深入理解面積的本質創造了機會。經歷這三次比較，學生對周長和面積的認識從粗糙走向精細，認知結構逐漸清晰。］

（二）完整：整合碎片化知識，完善認知結構

師請用12個邊長是1厘米的小正方形拼長方形，并說說這些長方形的面積各是多少？

（學生操作。教師巡視，發現大多數學生都拼出了如圖1所示的三種長方形。）

生面積都是12平方厘米。

師為什么都是 12 平方厘米？

生因為每個小正方形的面積都是1平方厘米，這些長方形都是用12個這樣的小正方形拼出來的，所以面積當然都是12平方厘米。

師除了可以用數小正方形個數的方法來計算面積，還有別的方法嗎？

生用長方形的面積計算公式，即“長×寬”。

師（指圖1）結合圖形想一想：我們是怎樣得到長方形的面積計算公式的？又是怎樣推導出長方形的面積計算公式的？

生就是數邊長為1厘米的小正方形的個數，直接數有幾行幾列就可以了，幾行就是長方形的長，幾列就是長方形的寬。

師沒錯，這就是長方形面積計算公式的推導過程。那這種學習的方式，你感覺它熟悉嗎？

生以前數過方格數，就是用行數乘列數的。

師跟著教材回憶：（出示圖2）二年級上冊，我們學習過數方格數；（出示圖3）三年級上冊，先學習了用數來表示圖形的大小；（出示圖4）接著，在方格中研究了周長一定時，圖形的形狀不同，導致圖形的面積不同；（出示圖5）此外，還學習了用“行數×列數”計算地磚的塊數。

生原來那就是面積！原來面積的求法和數方格數是相通的！

生但是，用“長×寬”求長方形的面積更方便！

師是啊！回憶數學書，我們才發現原來之前就已經接觸過面積了。不過，通過這學期的學習，我們可以更簡便地計算長方形和正方形的面積了。

……

［說明：在三年級下冊正式學習面積前，學生具有一定的生活經驗和逐漸發展的空間認知能力，能夠直觀地感受物體的表面所占的區域是具有一定大小的。教材也從二年級開始就逐漸滲透面的“大小”這一概念。而為了描述面的大小，需要用一個有著“大小”意義的“數”來表達，這個數就是小方塊數，這與三年級下冊教材中用數方格法推導出長方形、正方形面積計算公式的方法相一致。當學生從現在的角度去看原來的知識時，會產生“原來那就是面積”“原來面積的求法就是數方格數”的感悟。如果說在之前的學習中，學生對面大小的理解還停留在經驗層面，那么經過本環節的學習，學生對面的大小的認知更加理性和抽象，也更加結構化。］

（三）開放：立足轉化思想，生長認知結構

師剛才我們解決了一些有關長方形、正方形的實際問題。到目前為止，我們認識了很多平面圖形，想一想：教材為什么最先編排長方形和正方形的面積？

生長方形和正方形的面積比較好算。

生長方形和正方形是比較規則的圖形。

師“規則”這個詞用得特別好！生活中可不只有像長方形和正方形這樣的規則圖形，要求其他圖形的面積可以怎么辦呢？

生得想辦法轉化成長方形或者正方形。

師轉化是一個很好的方法。那其他平面圖形的面積與長方形、正方形的面積會有怎樣的關系？請你選擇一個平面圖形，比如，平行四邊形、三角形、梯形等，嘗試求它的面積。

（學生活動。教師巡視，發現大部分學生都能通過移動或者割補的方法將圖形轉化成長方形或正方形。）

師剛才我們是從平面圖形的角度思考的，現在把思路再打開一些，你覺得長方形、正方形的面積和立體圖形，如長方體、正方體、圓柱等有關嗎？如果有關系，有什么關系？

生正方體的面都是正方形，把這6個正方形的面積加起來就是正方體的“面積”。

生長方形的紙能卷成圓柱，所以應該和圓柱也有關系。

師很有道理！這就是以后我們將要學習的立體圖形的表面積和體積。雖然今天我們不能解決這些問題，但是我們已經掌握了研究這些問題的方法，這些方法可以幫助我們繼續研究其他問題。

［說明：長方形和正方形的面積是學習平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形面積的基礎，也是后續學習長方體、正方體、圓柱與圓錐的體積和表面積的基礎，基本思想都是轉化。因此，在復習課的最后，讓學生思考“要求其他圖形的面積可以怎么辦”和“長方形、正方形的面積和立體圖形有關嗎？如果有關系，有什么關系”等拓展性問題，就是要讓學生感悟“變未知為已知，用舊知獲新知”的轉化數學思想，發展學生的空間觀念和推理意識。由此，學生感受到知識與方法的開放性，主動聯結未知與已知，形成科學的思維習慣，實現認知結構的主動生長。］

二、教學思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。”［1］數學學科的概念、原理和規律間的本質聯系構成了數學的知識結構。學生頭腦里的知識結構就是認知結構。將知識按照邏輯關系進行聯結、整合，使各部分之間的聯系條理化、清晰化的過程就是結構化。縱觀蘇教版小學數學教材的編排，在內容的呈現方式、順序上都十分注重結構化。但是，由于課時和學生接受能力等限制，教材編寫時會將一些知識進行分割和細化。因此，復習課自然而然地承載著建構清晰、完整的知識結構，促進學生認知結構化的重要功能。

“長方形和正方形的面積”復習課，是在學生學完周長與面積的含義，以及長方形、正方形周長與面積的計算之后進行教學的，也是為學生學習其他平面圖形的面積以及立體圖形的體積和表面積做鋪墊。因此，本節課的教學至關重要。

在教學中，教師首先引導學生運用比較策略，對周長和面積這兩個易混淆的概念進行辨析。第一次比較是直觀感受兩個概念的區別。第二次比較是異中求同、同中求異，在求同、求異的過程中，學生既理清了周長和面積的知識關聯，又明確了異在何處，對周長和面積的認知逐漸結構化。第三次比較是基于邊長為4厘米的正方形周長和面積的計算過程和結果（不帶單位）相同，引發學生對周長和面積本質的深刻辨析，從而使學生形成清晰的認知結構。

然后，教師帶領學生“盤點過去”，對教材中有關面積的內容進行梳理，將碎片化的知識結構化。在梳理的過程中，引導學生整合知識，將舊的知識融入新的知識結構中。這樣，學生才能從一個整體的視角“俯瞰”原來的知識，看見知識之間的聯結，進而豐富知識理解的維度與深度，領悟其中蘊含的數學思想方法，完善認知結構。

最后，教師通過兩個拓展性問題引導學生“面向未來”，主動生長認知結構。第一個問題，請學生思考長方形和正方形面積與其他圖形面積之間的關系。這個問題旨在引導學生用已有的知識與思想方法去思考未知的問題。第二個問題，請學生借助想象，思考長方形和正方形的面積與立體圖形的關系，啟發學生的思維從二維（面）延伸到三維（體），發展空間觀念。兩個問題的提出都是為了讓學生從已知中尋找新方向，發現新問題，誘發新思考，使得思維在不斷的碰撞中產生更多的聯想，形成生長的認知結構。最后的總結環節，讓學生感受到“課雖止，但思未盡”，培養學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題的能力，形成科學的思維習慣。

復習課，不是反復的練習，而是一種喚醒、一種整合、一種生長。本節課引導學生比較易混淆知識，明晰認知結構；整合碎片化知識，完善認知結構；立足轉化思想，拓展認知結構，從而達到清晰、完整而又開放的認知境界。經歷“三重境”，學生向下扎根，建構清晰而完整的知識結構；又向上生長，完善思維結構，最終獲得知識結構、思維結構和認知結構三個層面的良好發展。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：3.