基于Monte Carlo 方法的磁驅動準等熵壓縮實驗不確定度量化評估*

潘忻彤，羅斌強，張旭平，彭 輝，陳學秒，王桂吉，譚福利，趙劍衡，孫承緯

（1.中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999；2.中國工程物理研究院應用電子研究所，四川 綿陽 621999）

磁驅動準等熵加載實驗，是研究材料偏離Hugoniot 狀態的重要實驗技術之一，目前已被廣泛應用于材料的高壓物性和動力學行為研究。磁驅動準等熵壓縮作為一種連接靜態壓縮和沖擊壓縮的重要橋梁，可對基于靜高壓和沖擊壓縮建立的材料高壓狀態方程的適用性做出關鍵性的鑒別。同時，不確定度評定是磁驅動準等熵壓縮實驗和Hugoniot 實驗的一項重要工作。因此，開展磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定量化評估，對改進實驗設計、獲取高精度實驗數據，驗證和校核材料物態方程、本構關系等物理模型和參數具有重要意義[1-3]。

針對磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度評價，早期國內外學者大多采用不確定度傳遞律方法(guide to the expression of uncertainty in measurement, GUM)。通過誤差傳遞公式，由不確定度源導出輸出量（聲速、應力、應變等）的不確定度評估結果。Davis 等[4-6]、Hall 等[7]、Seagle 等[8]、羅斌強等[9]和張紅平等[10]基于GUM 方法，由數學模型導出了聲速、應力、應變等輸出量的誤差傳遞公式，給出了不確定度的極大估計，相關工作對指導磁驅動準等熵壓縮實驗開展具有重要參考價值。然而，當輸入量的概率分布呈非對稱分布或測量模型為非線性模型時，用 GUM 不確定度框架得到輸出量在確定置信度條件下的包含區間可能失真；當無法明確不確定源與輸出量之間的誤差傳遞關系式時，GUM 方法的評估結果無法引入這部分不確定源。此外，由于磁驅動準等熵壓縮實驗中壓力、應變等物理量是由測量得到的粒子速度等過程量通過函數積分得到的，GUM 方法只能給出相關物理量不確定度的極大估計。

鑒于GUM 方法在評估磁驅動準等熵壓縮實驗不確定度方面的局限性，近些年來，涉及磁驅動準等熵壓縮實驗研究的學者開始探索其他方法進行不確定度量化評估。2013 年，美國Sandia 實驗室的Brown 等[11]將Monte Carlo 方法(MCM)應用于磁驅動準等熵壓縮實驗不確定度評估，避免了GUM方法的上述局限性，只給出了峰值處的不確定度評價結果，沒有給出相關物理量過程相關性的不確定度，且具體的算法及分析過程未見報道。國內學者關于基于MCM 評估準等熵壓縮實驗不確定度的工作未見報道。本文中，擬在分析磁驅動準等熵壓縮實驗、數據處理方法和物理模型相關的不確定度來源的基礎上，基于Monte Carlo 原理以及等熵壓縮實驗的Lagrange 正向數據處理方法和特征線直接計算方法，建立磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度量化評估的Monte Carlo 方法，用于Z 機器和CQ 系列裝置上開展的磁驅動準等熵實驗的不確定量化評估，驗證磁驅動準等熵壓縮實驗的精密性，同時探討不確定度源的誤差項的相關性和敏感性，用于指導今后磁驅動準等熵壓縮實驗設計和應用工作。

1 磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度來源

磁驅動準等熵壓縮實驗原理如圖1 所示，強電脈沖功率裝置放電產生的脈沖大電流流經平行導電電極（負載電極）構成的U 形回路，由于趨膚效應，電流集中在正、負電極板的內表面，并與其感生的強磁場相互作用產生洛倫茲力，等熵壓縮的磁壓力與流經極板的電流的關系為[12]：

圖1 磁驅動準等熵壓縮實驗原理圖Fig.1 A principle of magnetically-driven quasi-isentropic compression experiment

式中：p為磁壓力，k為電極構型系數，m0為真空磁導率，I為放電電流，w為電極板寬度。

將不同厚度的臺階樣品用環氧膠粘在電極板鏜孔的表面。從裝置放電開始，在正、負電極板內表面產生的平滑上升壓力波沿電極厚度方向傳播進入不同厚度的樣品。采用優化的電極結構和尺寸設計，可保證多個電極樣品區域加載的不均勻性控制在1%以內，且多個不同厚度樣品的組合，有利于減少實驗發次，以降低實驗的系統誤差[13]。采用激光多普勒干涉測速技術(photonic Doppler velocimetry, PDV)測量不同厚度樣品的自由面或界面粒子速度[14-15]，采用正向Lagrange 分析[16]、特征線計算[10,17]或力學運動方程組的反向積分[18-19]等方法計算材料在實驗壓力范圍內的聲速、等熵壓縮線，進而確定狀態方程、本構關系等物理模型的參數。根據磁驅動準等熵壓縮實驗過程，可以確定其不確定度來源主要有：

(1) 加載過程中洛倫茲力的分布不均勻性；

(2) 粘接膠層厚度差帶來的時間序列偏移；

(3) 速度的測量精度、測速設備不同通道之間的零點時間差；

(4) 臺階樣品材料的密度、初始聲速等性質參數的測量不確定度；

(5) 臺階樣品的加工與測量不確定度；

(6) 數據處理方法引入的不確定度。

2 基于Monte Carlo 方法的不確定度量化評估流程

Monte Carlo 方法的基本思想是當所求問題的解是與概率、數學期望相關的量時，通過某種試驗方法得出該事件的發生頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術平均值，由此得到問題的解[20]。因此，基于Monte Carlo 方法對實驗的不確定度進行評價的本質，即在外部實驗條件（實驗操作的隨機性、測量環境等條件）完全一致的情況下，結合已知信息構造各輸入量的偽隨機數組來模擬若干次(m＞105)的重復實驗及數據的測量，依次對每一組虛擬數據樣本（即一次完整的模擬實驗及數據測量）進行數據處理獲得對應的若干組輸出量，并對輸出量的整體樣本進行統計計算，以此得到僅考慮實驗過程中的誤差及測量不確定度情況下數據處理結果的不確定度評價。

本文中基于Lagrange 正向數據處理方法[16]和特征線直接計算方法[17]的數據處理模型，建立磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度量化評估方法。從基于Monte Carlo 原理評價不確定度的3 個主要階段，介紹適用于磁驅動準等熵壓縮實驗的Monte Carlo 不確定度量化評價方法，圖2 給出了主要階段的示意圖。

圖2 基于Monte Carlo 原理評價不確定度的主要階段Fig.2 The main stages of evaluation uncertainty based on the Monte Carlo method

基于數據處理方法的數學模型和實驗過程的不確定度來源，確定影響輸出量的輸入量，并建立關聯輸入量與輸出量的模型。通過測量數據的已知信息，基于貝葉斯定理或最大熵原理，為獨立輸入量設定概率密度函數；為非獨立的輸入量設定其聯合概率密度函數，基于輸入量的概率密度函數進行抽樣，獲得輸入量的偽隨機數組（虛擬測量樣本），一般的概率密度函數的設定原則和抽樣方法見文獻[21-22]。依次對每一組虛擬測量值進行數據處理，得到對應的數據處理結果—輸出量模型值，對其整體樣本進行統計計算即可得到實驗結果的不確定度評價信息。

為了適用于磁驅動準等熵壓縮實驗，采用嵌套循環的方式，基于加載均勻性、實驗過程相關量測量、數據處理以及模型參數的不確定度三部分，進行輸入量的偽隨機數組抽樣構造。基于Monte Carlo 方法評估準等熵壓縮實驗的不確定度基本流程見圖3。

圖3 磁驅動準等熵壓縮實驗的Monte Carlo 不確定度評價流程Fig.3 Monte Carlo uncertainty evaluation process for magnetically-driven quasi-isentropic compression experiments

加載均勻性引入的不確定度對整條曲線產生統一影響，因此采用以1 為估計值，其磁壓力分布不均勻性度量值為其標準差，構造兩組服從均勻分布的曲線修正系數，作為外部循環。對曲線的構造作為內循環，具體過程如下：自由面（界面）速度曲線測量不確定度由速度的測量精度及時間軸方向的不確定度兩部分組成，且這兩部分不確定度相互獨立，因此，需要對測量曲線上每一個點的橫、縱坐標分別構造其獨立的偽隨機數組。臺階樣品密度、厚度等單值數據的不確定度構造原則如下：通過已知的測量數據的信息，選擇合適的概率密度函數構造原則及抽樣方法，構造若干組虛擬輸入樣本；當輸入量不確定度由多部分因素決定或輸入量本身為合成量的情況時，均以梯形分布為該量的分布形式，但抽樣方法根據每一部分不確定度的特征及已知信息決定。例如：用 Lagrange 分析方法時，將厚度差作為獨立的輸入量，采用梯形分布，設定臺階樣品的厚度的抽樣方法與正態分布的一致。由上述方法得到若干組虛擬實驗數據，并對所有的獨立輸入量進行獨立性驗證，再進行下一步處理。

當數據處理模型涉及的參數具有不確定度時，由于此類參數與材料本身的性質相關，即引入模型的不確定度。因此，從MCM 方法的本質出發，每一組參數對應m組偽實驗測量樣本，即共計m×m組偽輸入量樣本，依次對每一組數據進行處理分析，進行統計。（橫向比較）每一組參數樣本對應的不確定度評價結果為實驗測量引入的不確定度；（縱向比較）基于真實實驗數據結合模型參數的偽隨機樣本處理得到的評價結果為模型引入的不確定度，結合所有的數據處理樣本 (m×m) 得到的不確定度評價結果，才是基于此模型的實驗不確定度評價結果。

磁驅動準等熵壓縮實驗處理得到的等熵壓縮線是一條過程曲線，因此基于Monte Carlo 方法得到的輸出量不確定度評價結果也為過程量，以過程曲線的形式呈現，即得到了整個實驗過程中聲速、應力、應變和比容等輸出量的不確定度評價結果。此外，可以進一步基于數據處理得到的若干組樣本值分析輸出量與輸入量的誤差相關性與敏感性。誤差相關性分析流程如圖4 所示。

圖4 誤差相關性分析流程圖Fig.4 Error correlation analysis process

采用相關系數[23]分析輸出量和輸入量誤差的線性相關性，計算公式如下：

式中：X、Y為輸出量誤差與其對應的輸入量誤差樣本，R為變量的相關系數，cov(X,Y) 為變量X、Y的協方差，SX、SY為對應的標準差。

除考慮輸出量與作為不確定度源的輸入量誤差外，由數學模型可知，應力、應變等輸出量由聲速進行積分計算得到。因此，將計算得到的聲速也看作中間輸入量，討論應力、應變與聲速的誤差相關性，可以進一步分析積分計算是否會導致誤差的累計。靈敏系數可由輸出量的標準差與相應輸入量的標準不確定度作商得到[22]，在分析誤差的敏感系數時，由于輸入量與輸出量的量綱不統一，因此以輸出量與對應輸入量相對誤差的標準差的比值作為其誤差的敏感系數。綜上，得到了考慮誤差相關性與敏感性分析的磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度量化評價方法。

3 典型磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度量化評估

利用上述建立的MCM 不確定度量化評估方法，開展了鉭、銅和NiTi 合金的磁驅動準等熵壓縮實驗的不確定度評估。鉭和銅的實驗數據源于文獻[24，26]中Z 機器上的實驗結果，NiTi 合金的實驗數據為文獻[27]中CQ-4 裝置的實驗結果。

3.1 鉭

鉭樣品的準等熵加載實驗數據來源于文獻[24]中的Z-2516 實驗，實驗中樣品和極板厚度的測量不確定度均為1.5 μm；密度的測量不確定度為0.4%；利用任意反射面速度干涉儀(velocity interferometer system for any reflector, VISAR)測量界面速度剖面，測速精度為0.2%，時間抖動誤差為1 ns。文獻[24]中還給出了強度本構模型參數的估計值與標準差。文獻[24]中利用縱向應力和屈服強度計算靜水壓力，具體計算模型為：

式中：σx為縱向應力，ρ0為初始密度、u為原位粒子速度，cL為對應原位粒子速度的縱波聲速，ε 為應變，η 為壓縮度，T為溫度，εi、β、N、A、B、Q均為本構參數，σy為屈服強度，p0為靜水壓力，τ 為von Mises 剪切應力。式(4)所示的SG 強度模型[11]用于計算屈服強度。

依據文獻[24]中提供的實驗測量不確定度與強度本構模型參數的不確定度，采取標準正態分布作為所有輸入量的概率密度函數，按第3 節中的流程構造所有不確定源的虛擬樣本，界面速度曲線構造樣本的包絡區間如圖5(a)。模型參數的分布見圖5(b)，其中σy0的單位為GPa，A的單位為GPa-1，B的單位為s-1，其余參數均為無量綱參數。

圖5 鉭實驗輸入量的構造樣本Fig.5 Samples construction of input quantities for Ta experiment

縱向應力的相對標準不確定度評價結果如圖6 所示，其相對不確定度μr(σx)在峰值為0.45%。依據強度本構模型及其參數的不確定度計算得到的屈服強度σy的相對標準不確定度為15.0%～15.1%（對應于溫度區間：300～1 750 K）。將實驗Z-2516 的測量不確定度與模型不確定度結合，在95%置信度條件下，利用式(6)結合峰值的應力和屈服強度的置信區間計算得到的靜水壓力p0的置信區間為(101.9 GPa, 111.9 GPa) ，對應的相對不確定度約為 4.7%。Brown 等[24]采用Vale 等[25]提出的方法構造了修正后的非標準正態分布的輸入量的虛擬樣本，通過對虛擬樣本進行數據處理，給出靜水壓力在峰值處的不確定度評價結果，95%置信度條件下靜水壓p0的不確定度約為5%。本文中的相對不確定度評價結果與Brown 等[24]的結果相比略小，可能是由虛擬輸入量構造方法不同導致的。

圖6 縱向應力的相對不確定度Fig.6 Relative uncertainty of longitudinal stress

3.2 銅

以在Z 機器上對初始密度為8.939 g/cm3的銅樣品進行準等熵加載實驗Z-2791[26]為例，采用特征線方法[17]進行數據處理。文獻[26]中給出速度測量的不確定度為0.01 km/s，測試通道的時間不確定度為均為0.2 ns，以及由臺階靶的膠層厚度差導致的0.4 ns 的時序抖動，樣品厚度的測量精度為3 μm；材料密度的測量精度為0.4%，選擇以正態分布構造所有輸入量的虛擬樣本，得到的臺階靶自由面速度曲線、厚度樣本分布見圖7。

圖7 銅實驗輸入量的構造樣本Fig.7 Sample construction of input quantities for Cu experiment

圖8 給出了整個過程的不確定度評價結果，聲速cL與應力-密度(σ-ρ) 的95% 置信帶分別見圖8(a)～(b)，由包絡帶的范圍看出其不確定度在實驗過程中不斷變化。同時，圖8(a)～(b)中還標注了輸出量的誤差棒—標準不確定度（68%置信度條件下的不確定度），其對應的相對標準不確定度的具體變化趨勢見圖8(c)。

圖8 Z-2791 實驗的不確定度評價結果Fig.8 Uncertainty evaluation of Z-2791 shot

圖8 的量化評估結果為僅考慮測量不確定度的分析結果，得到的聲速的相對標準不確定度約為1.07%，與文獻[27]中利用不確定度傳遞律方法評價的結果1%一致。密度的相對標準不確定度μr(ρ)隨自由面速度的增加而增加，其相對標準不確定度范圍為0.39%～0.97%。

應力、應變等為由積分得到的輸出量，其隨機誤差會在計算過程中累計，因此對若干條聲速-原位粒子速度曲線的計算結果進行統計得到的不確定度評價結果也體現了隨機誤差累計的影響，其相對標準確定度隨界面速度的增加而增加，并逐漸趨于穩定。如圖8(c)，應力σ 的不確定度約在3 GPa 的范圍內（對應自由面速度為0～0.2 km/s），由0.4%陡增至1.0%，在約50 GPa 時逐步增加到1.13%之后趨于穩定；應變的相對標準不確定度，在自由面粒子速度大于2 km/s 后趨于穩定，約為1.01%。

以上不確定度評價的前提是基于足夠多的測量樣本，考慮到速度剖面曲線上各點誤差的獨立性與誤差分布的隨機性，基于對積分計算過程量的不確定度評價結果，給出了極端條件下（速度測量曲線每個點的誤差均為對應置信度條件下誤差的最大值）不確定度的極大估計以更好地預測這一發實驗的應力、應變等輸出量的范圍。68%置信條件下：應力的相對不確定度極大估計值隨界面粒子速度的增加由0.73%增加到1.1%，應變的相對不確定度的極大估計由0.52%增加到1.01%。

3.3 NiTi 合金

NiTi 合金的磁驅動準等熵壓縮實驗在CQ-4 裝置上進行，此處對文獻[27]中的Shot525 實驗進行不確定度量化評估，該實驗采用Lagrange 分析方法進行數據處理。

實驗樣品表面精細加工，其平面度優于2 μm，厚度測量儀的測量精度為1 μm，設定樣品靶厚度的概率密度函數為梯形分布和正態分布的結合。材料的密度測量標準不確定度為0.5%，該實驗的加載不均勻性為1%。采用PDV 進行速度剖面的測量，速度測量的相對標準不確定度優于1%。自由面（界面）速度剖面在時間軸方向的不確定度由不同測試通道的同步性以及測試過程中的隨機時間漂移兩部分組成：采用皮秒激光器對不同探頭的測試通道同步性進行定標，定標精度優于0.1 ns；測量儀器的時序抖動Δte的標準不確定度為0.2 ns。臺階樣品速度曲線在時間軸上的偏差還受到樣品粘接膠層厚度差異的影響，其值Δtg在0.4 ns 誤差范圍內服從正態分布。基于前述的概率密度函數設定原則及抽樣方法，結合輸入量的不確定度量化結果，構造輸入量的虛擬樣本，臺階靶自由面速度剖面結合膠層厚度差導致的時序抖動Δtg的虛擬樣本構造結果見圖9。

圖9 自由面速度歷史曲線的虛擬樣本構造結果Fig.9 Band construction results of virtual samples for free surface velocity profiles

NiTi 合金的聲速計算結果及其對應的不確定度評價結果見圖10。依據聲速cL的95%置信度對應的置信區間得到置信帶，如圖10(a)所示，圖中誤差棒對應于變量的標準不確定度（68%置信度條件）。由置信帶包絡范圍的變化可以看出，聲速的不確定度隨原位粒子速度up的增加呈明顯的增加趨勢。當粒子速度up在0.15～0.6 km/s 的范圍內時，文獻[27]中利用Hugoniot 參數得到的擬合曲線：cL=4.35+3.2up，（其中Hugoniot 參數c0=4.35 km/s、λ=1.6）完全處于95%置信帶包絡范圍內。由圖10(b)～(c)可以更直觀地看出其標準不確定度μ(cL) 和相對標準不確定度μr(cL) 的變化過程：up＜0.3 km/s 時，μr(cL) 基本在0.5%～3.0%范圍內呈無規律的振蕩形式，在0.05～0.10 km/s 的區間內出現1 個約3%的峰值；up＞0.3 km/s時，μr(cL)在1%～7.5%的范圍內隨up的增加而增加。

圖10 聲速的不確定度評價結果Fig.10 Uncertainty evaluation of sound speed

結合x軸和y軸物理量的不確定度評價結果，給出應力-應變曲線的95%置信帶，結果見圖11。應變ε、應力σ 的標準不確定度μ(Y) 和相對標準不確定度μr(Y) 的評價結果及變化過程分別見圖12(a)～(d)，不同于標準不確定度逐漸增加的趨勢，其相對不確定同聲速的相對不確定度類似，在原位粒子速度約為0.3 km/s 時，變化趨勢出現轉折，當原位粒子速度up＞0.3 km/s，相對不確定度隨up的增加而增加。基于積分計算中間量不確定度評價結果，給出的應力、應變的相對不確定度（68%置信度條件下）極大估計見圖12(e)，應力的相對不確定度極大估計范圍為1.15%～2.15%；應變的相對不確定度極大估計變化范圍為1.05%～1.83%，應力、應變的相對不確定度的極大估計變化趨勢基本相同。

圖11 95%置信區間下的應力-應變曲線Fig.11 Stress-strain curves under 95% confidence bands

圖12 應力應變的不確定度評價結果及其極大估計Fig.12 Uncertainty evaluations and their great estimates of stress and strain

圖13 給出了某一原位粒子速度對應的聲速、應力和應變的概率分布形式，上述數據處理過程中的輸入量偽隨機樣本的概率分布形式均設定為正態分布，且計算過程為線性計算，因此輸出量的概率密度分布也服從正態分布形式。

圖13 輸出量的概率密度分布Fig.13 Probability density distribution of output quantities

4 分析與討論

以CQ-4 裝置上NiTi 合金準等熵壓縮實驗Shot525[27]為例，分析數據處理方法和輸入量的概率分布形式對輸出量的不確定度評價結果的影響。此外，基于數據處理過程中得到的若干具體樣本值，分析輸入量與輸出量的誤差相關性，比較了采用Lagrange 數據處理方法時各不確定度來源對不確定度評價結果影響的權重。

4.1 數據處理方法對不確定度評價結果的影響

Lagrange 正向數據處理方法和特征線直接計算方法是磁驅動準等熵壓縮實驗數據處理常用的兩種方法，數據處理方法本身也會給相關量的計算帶來一定的不確定度，因此需要結合數據處理方法進行量化評估。在實際應用中，簡單波情形的數據分析處理通常選擇Lagrange 正向數據處理方法；當樣品加載面磁擴散、相變等物理現象的影響不能忽略時，必須考慮一般的非簡單波情形，選擇特征線直接計算方法進行數據處理。利用兩種方法處理得到的應力、應變和聲速的相對標準不確定度見圖14。

圖14 兩種數據處理方法的不確定度評價結果比較Fig.14 Comparison of uncertainty evaluation results by two kinds of data processing methods

圖14 中給出了上述兩種方法處理得到的相對標準不確定度評價結果。由圖14(a)～(b)可知：在加載初期，兩種數據處理方法獲得的應力的相對標準不確定度μr(σ)均小于1.2%；應變的相對標準不確定度μr(ε)小于1.0%；在加載末期，應力、應變的相對標準不確定度逐漸增加，μr(σ)增加至1.45%，μr(ε)增加至1.25%，相對不確定度均小于1.5%。綜上，可知兩種數據方法處理的結果都驗證了磁驅動準等熵加載實驗是一種精密的物理實驗。從圖14(c)可以發現，在原位粒子速度up在0.1～0.3 km/s，利用兩種數據處理方法得到的μr(cL)約為1.0%，與應力、應變的相對不確定度變化趨勢相似，當up＞0.3 km/s，其相對不確定度μr(cL)逐漸增加。造成應力、應變、聲速在加載后期不確定度變大的主要原因是：加載后期，測量速度接近加載速度的峰值，應力波在臺階靶樣品中傳播、追趕，導致速度峰值存在差異，不確定度增加。

4.2 輸入量概率密度分布函數對輸出量的影響

采用伽馬分布和正態分布作為自由面歷史速度的概率密度分布函數，對時序抖動（包括膠層厚度差帶來的抖動及測速儀器帶來的抖動兩部分）的概率分布形式分別設置為正態分布和均勻分布兩種形式，表1 給出了對應的設定情形。其他輸入量的分布均統一采用正態分布，自由面速度、時序抖動以及耦合得到的輸出量概率分布形式見圖15，圖15(b)～(c)、(e)～(f)對應輸入量的分布形式設置見表1。

表1 分布形式設置Table 1 Settings of distribution form

圖15 變量的概率分布形式Fig.15 Probability distribution of variables

服從伽馬分布的自由面速度的構造方法如下：通過生成n組（對應n個速度剖面曲線的測量點）m個以1 為估計值，且滿足測量相對不確定度的修正系數，構造自由面速度的偽隨機數組。

從圖15(b)～(c)、(e)～(f)中可以看出，從A、B 之間或C、D 之間的比較可以看出，自由面速度的分布對稱性對輸出量分布的對稱性有顯著影響。通過A、C 之間的比較和B、D 之間的比較發現，時序抖動的分布形式改變會對輸出量分布的集中性產生影響，當其他輸入量的分布形式存在非對稱形式時，影響較為顯著；當其他輸入量的分布形式均為正態分布時，影響較小。

4.3 誤差相關性與敏感性分析

結合第3 節中提到的誤差分析方法，將輸入量的偽隨機樣本與其最佳估計值的差作為誤差分析的變量樣本X，對其對應的輸出量和計算得到的中間量均開展不確定度評價，得到各變量的期望值，輸出量及中間量的具體樣本值與其期望值作差得到誤差分析的變量樣本Y，利用式(2)，計算各變量誤差的相關系數R。

通過第2 節中的不確定度來源分析可知時間軸方向的誤差由時序誤差和自由面速度測量誤差兩部分組成，且這兩部分輸入不確定度互相獨立。圖16(a)通過自由面速度歷史曲線的時序測量值tf-average和時序偏差得到了模擬預測范圍(tf-min,tf-max)，分別以tf-min和tf-max基準線，結合速度測量誤差得到了自由面速度歷史曲線的整體虛擬樣本包絡帶；圖16(b)在其考慮整體誤差的包絡帶中標注了僅考慮時序偏差的包絡區域，速度誤差在時間軸上的映射導致了整體虛擬包絡區間與時序誤差區間的不同。式(7)～(10)給出了此映射的計算方法為：

圖16 自由面速度歷史曲線基于時序誤差和速度誤差的模擬帶Fig.16 Simulation bands of free surface velocity histories based on time deviation and velocity deviation

圖17 明確了插值前后變量的映射關系，圖18給出了速度誤差在時間軸上映射關系的示意圖。由上述分析流程獲得的輸入量與輸出量的誤差相關性結果如圖19 所示，圖19(a)分別以聲速cL、應力σ、應變ε 為輸出量，以臺階靶厚度差Δh、同一原位粒子速度對應的時間差Δt、密度ρ 以及作為被積變量的聲速cL作為輸入量，依次計算變量誤差之間的相關系數，針對數據處理模型中的各變量的誤差開展相關性分析。圖19(b)以同一原位粒子速度對應的時間差Δt為輸出量，臺階靶自由面速度歷史曲線的速度和時序為輸入量，計算速度歷史曲線的各變量與時間差Δt的誤差相關性，進一步分析識別時間差Δt的誤差的主要貢獻量。圖19(c)以聲速cL為輸出量，自由面速度uf、時間tf、厚度差Δh為輸入量，分析原始輸入量與聲速的誤差相關性。

圖17 插值前后變量的映射關系Fig.17 Mapping relationships of variables before and after interpolation

圖18 速度誤差對時序誤差的貢獻Fig.18 Contribution of velocity deviation to time deviation

圖19(a)給出了實驗各計算變量之間的誤差相關系數R的變化趨勢，變量誤差的相關性直接用偏離0 的程度來衡量，可以很直觀地看出誤差之間的線性相關程度。厚度差Δh的誤差與應力σ、應變ε 的誤差線性相關程度較高，而時間差的誤差與應力σ、應變ε 的誤差相關程度則較小，小于0.15。由圖19(a)、(c) 可以看出，厚度差的誤差影響權重在不同階段，影響不同，當up＞0.3 km/s 時，自由面速度的誤差影響比厚度誤差影響更大。由應力與聲速的誤差相關性的分析結果得到，積分計算過程對應力的不確定度影響較小，也與前文所述相符。由于積分計算過程導致隨機誤差的累計，應力和應變的誤差不僅由對應的聲速誤差影響，還會受到此前的所有聲速誤差的影響，即受到聲速誤差的累計影響，對應的這一聲速的誤差僅為累計誤差中的一部分，因此，某一應力應變受到對應聲速的誤差影響較小。從圖19(b)可以看出，臺階靶樣品同一物理量對時間差誤差eΔt的影響趨勢變化基本一致，但是程度不同，即臺階靶自由面速度和對應時間的誤差對eΔt的影響可能與臺階靶的厚度相關。

圖19 變量誤差的相關系數Fig.19 Correlation coefficient of variable deviation

誤差的敏感系數的計算流程與誤差相關性系數計算流程相同，圖20 中給出了部分變量誤差的敏感系數K的變化，K的下標表示輸入量誤差所屬的臺階樣品序號。誤差敏感性分析與誤差相關性的分析結果一致，即同一物理量的影響效果相近，但權重不同。

圖20 輸出量誤差與輸入量誤差的敏感系數Fig.20 Sensitivity coefficients of the output deviation and input deviation

由上述分析認為對輸出量的誤差影響權重較大的物理量是臺階靶的厚度誤差及自由面速度誤差，且同一物理量的誤差對輸出量的影響效果接近但是影響權重不同。

5 總 結

在分析磁驅動準等熵壓縮實驗不確定度源的基礎上，基于Monte Carlo 原理，建立了適用于此類實驗的不確定度量化評估方法。通過對誤差相關性的分析明確了涉及不確定度源的輸入量的影響權重，驗證確定了此方法得到的評價結果可靠。該評估方法可以獲得整個實驗過程的不確定度評價結果，而無需明確不確定度的傳遞關系，可以處理非線性的計算過程及概率分布形式為非對稱的輸入量，并得到輸出量的對應概率分布。通過對誤差相關性與敏感性分析可以進一步明確影響實驗結果精確度的主要因素，作為之后實驗的指導信息。通過對鉭、銅和NiTi 合金3 種的磁驅動準等熵壓縮實驗的評估結果表明，本文中建立的基于Monte Carlo 原理的不確定度量化評估方法正確可靠。研究結果對開展和優化磁驅動準等熵壓縮實驗設計、分析材料的等熵高壓物態方程等工作具有一定參考價值。