一種帶有反饋濾波器的自整定Smith預估器設(shè)計及其在紙張橫幅定量控制中的應用

湯 偉 張 旭 劉文波 徐大海 王 杰

（陜西科技大學電氣與控制工程學院，陜西西安，710021）

紙張定量控制技術(shù)包含縱向定量控制技術(shù)和橫幅定量控制技術(shù)，其中縱向是指紙機運行方向，橫幅即為垂直紙機運行方向[1-2]。縱向定量控制技術(shù)已逐漸成熟，但是不能保證紙張定量的均勻分布，而實施橫幅定量控制技術(shù)可以使紙張的勻度更高。但由于稀釋水閥執(zhí)行器之間存在強耦合、系統(tǒng)存在大時滯等特性使得橫幅定量控制變的更加困難。工程實踐中傳統(tǒng)的比例積分微分（PID）控制器參數(shù)一般是人為設(shè)定，但在面對這種具有不確定性的復雜對象時，難以獲得理想的控制效果。有學者采用模糊控制器整定PID參數(shù)，雖然提高了系統(tǒng)的抗擾能力，但在面對這種強耦合、大時滯控制對象時，系統(tǒng)動態(tài)性能依然不佳[3]。鑒于Smith預估器具有較好的控制效果，同時受模糊控制不需要對控制對象進行精確建模的啟發(fā)，本課題提出將Smith預估器與模糊自整定PID相結(jié)合的控制方案來解決紙張橫幅定量控制所存在的控制難題。

本課題首先對帶有稀釋水水力式流漿箱的長網(wǎng)造紙工藝流程進行闡述，分析紙張橫幅定量控制所存在的控制難點。其次建立橫幅定量控制過程的數(shù)學模型，針對其關(guān)聯(lián)矩陣為非方高維矩陣的特點，使用“區(qū)域化點”的方法對系統(tǒng)進行降維，并設(shè)計解耦逆矩陣以將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為與稀釋水閥數(shù)量一致的n個單回路。最后針對解耦后的多個單回路存在大時滯的特性，設(shè)計帶有反饋濾波器的Smith預估器加模糊自整定PID復合控制方案，并取得良好的控制效果。

1 帶有稀釋水水力式流漿箱的長網(wǎng)造紙工藝流程

圖1為稀釋水流漿箱定量控制工藝圖。如圖1所示，在一般的橫幅定量控制工藝中，稀釋水閥位于紙機頭部，沿流漿箱橫幅等距安裝，定量檢測裝置（掃描架）則安裝在紙機尾部，掃描架上的掃描探頭沿紙機橫幅往復運動，所采集到的瞬時采樣值便是橫幅定量數(shù)據(jù)。稀釋水流漿箱的定量調(diào)節(jié)過程為：當尾部的掃描架檢測到某處定量與設(shè)定的定量值出現(xiàn)差距時，改變紙機頭部的稀釋水閥開度，從而相對應的階梯擴散管的稀釋水注入量得到改變，最終產(chǎn)生的效果即為該處的漿料流量與稀釋水流量的比率產(chǎn)生變化，即通過調(diào)節(jié)漿料濃度來達到使該處定量達到設(shè)定值的目的。因此采用稀釋水流漿箱的橫幅定量控制系統(tǒng)存在以下控制難點。

圖1 稀釋水流漿箱定量控制工藝圖[4]Fig.1 Basis weight control process diagram of headbox with dilution water[4]

1.1 非方高維耦合特性

在橫幅定量控制系統(tǒng)中，一般沿流漿箱橫幅每60 mm安裝一支稀釋水閥，水閥數(shù)量隨著紙幅寬度增大而增多，一般在幾十到幾百只，而紙機尾部的橫幅定量數(shù)據(jù)一般在幾百個，甚至數(shù)千個，這樣就構(gòu)成了一個非方的高維系統(tǒng)，對非方高維系統(tǒng)進行求解計算量巨大。當改變稀釋水閥開度使稀釋水閥動作時，由于流體在流動時具有沖擊特性，會對該稀釋水閥兩側(cè)的鄰近區(qū)域產(chǎn)生影響，即影響鄰近區(qū)域的定量值，在控制上表現(xiàn)為耦合特性[4]。

1.2 時滯特性

定量檢測點位于紙機尾部，稀釋水閥位于紙機頭部的流漿箱上，數(shù)據(jù)傳輸與稀釋水閥動作輸出之間橫跨整個紙機，系統(tǒng)存在較大滯后時間，而滯后時間與紙機長度和定量數(shù)值成正比，與紙機車速成反比，在控制上表現(xiàn)出大時滯特性。

傳統(tǒng)的控制方式難以解決上述提及的控制難點，因此本課題提出設(shè)計一種帶有反饋濾波器的Smith預估器的模糊自整定PID控制方案來解決上述存在的控制難題。

2 橫幅定量控制過程數(shù)學模型

對于一套含有m個測量點和n個稀釋水閥的橫幅定量控制系統(tǒng)，其數(shù)學模型如式(1)所示[5]。

式中，Ycd(s)為橫幅檢測點的輸出值；yi(s)為沿紙機橫幅第i（i=1，2，…，n）個檢測點的測量定量值；U(s)為稀釋水閥執(zhí)行輸出的控制量；uj(s)為第j（j=1，2，…，m）個稀釋水閥的輸出控制量；Gt(s)為橫幅定量控制系統(tǒng)中的關(guān)聯(lián)耦合矩陣；gij為第j個稀釋水閥動作時對下游第i個測量點的影響系數(shù)；g0(s)為稀釋水閥輸出到紙機尾部檢測點之間的傳遞函數(shù)；T為系統(tǒng)慣性時間常數(shù)；l為系統(tǒng)的滯后時間。

橫幅定量系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣是一個m×n的非方矩陣，若想對其求解則需要進行降維化方，才能降低解耦運算量。采用“區(qū)域化點”的思想來對系統(tǒng)進行降維，即1只稀釋水閥控制1個測量點區(qū)域，假設(shè)1只稀釋水閥影響相鄰兩側(cè)各d個測量點，則系統(tǒng)的耦合寬度為p=2d+1。若通過引入1個前置矩陣對系統(tǒng)進行降維，降維計算過程如式(2)所示。

式中，gp+1+n/m,i為第i個稀釋水閥對應的正下游測量點的位置。則降維后的關(guān)聯(lián)矩陣形式即為式(3)所示。

根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，某個稀釋水閥執(zhí)行器動作，其對紙機尾部的測量點產(chǎn)生的影響是中心對稱的，則有g(shù)'ij=g'ji，因此關(guān)聯(lián)矩陣可進一步簡化為式(4)。

式中，g'0代表該稀釋水閥動作對正下游測量區(qū)域的影響系數(shù)；g'q代表該稀釋水閥動作對鄰側(cè)第q個稀釋水閥對應的測量區(qū)域的影響系數(shù)。

這樣，新的關(guān)聯(lián)矩陣維數(shù)就變成了與稀釋水閥數(shù)量一致的方形矩陣，降維后的系統(tǒng)數(shù)學模型如式(5)所示。

而降維后的關(guān)聯(lián)矩陣需要對其設(shè)計解耦補償矩陣，將降維后的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成對角系統(tǒng)，這樣便可分解成與稀釋水閥數(shù)量一致的n個單回路，然后對n個單回路分別設(shè)置控制器進行控制，使得控制難度大大降低。

設(shè)解耦器為N(s)，則解耦后系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣形式如式(6)所示。

根據(jù)式(6)計算可得N(s)G'(s)=G0(s)。若G'(s)為非奇異矩陣，則解耦器可設(shè)置為N(s)=G'-1(s)，將其設(shè)置在被控對象與控制器之間，通過解耦器作用于被控對象，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂衝個單回路的主對角系統(tǒng)，然后通過控制器完成對n個單回路的單獨控制。解耦器的解耦結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 橫幅定量系統(tǒng)解耦框圖Fig.2 Block diagram of decoupling structure of the cross direction basis weight system

3 模糊自整定PID-Smith控制器設(shè)計

解耦后的系統(tǒng)為與稀釋水閥數(shù)量一致的n個單回路，由于稀釋水閥之間具有相同的物理特性，因此只需完成1個回路的設(shè)計，同理便可完成其余回路的設(shè)計。

本研究將模糊控制與PID控制相結(jié)合，同時對Smith預估器進行改進，即采用改進后的Smith預估器與模糊自整定PID相結(jié)合來加強對橫幅定量控制系統(tǒng)的大時滯過程的控制效果。圖3為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。

圖3 系統(tǒng)控制框圖Fig.3 Block diagram of system control

3.1 帶有反饋濾波器的Smith預估器

常規(guī)Smith預估器在理想情況下（即Gm(s)e-lms=Gp(s)e-ls）可以完全消除時滯帶來的不利影響，但Smith預估器存在的缺點是要求精確建立控制對象的預估數(shù)學模型，否則控制效果會大打折扣[6-8]。而在實際應用時，大多控制對象都難以進行精確建模，因此本研究采用帶有反饋濾波器的Smith預估器（FuzzyPID-FSmith），其結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 帶有反饋濾波器的Smith預估器結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of Smith predictor with feedback filter

由結(jié)構(gòu)框圖可以推導出輸出y(s)到輸入r(s)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)如式(7)所示。

式中，Gc(s)代表控制器；e-ls代表被控對象的時滯環(huán)節(jié)；Gm(s)代表對象模型不含時滯環(huán)節(jié)的模型；Gm(s)e-lms表示預估模型，在理想狀況下，它等同于實際過程Gp(s)e-ls。

根據(jù)傳遞函數(shù)可以看出，當模型精確時，帶有反饋濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)相比傳統(tǒng)Smith預估器并無區(qū)別[9]；而當模型失配時，相當于在主反饋通道引入一階濾波器，使得模型失配的誤差信號pm(s)經(jīng)過一階濾波器的濾波處理后才能反饋到控制器Gc(s)，從而削弱了模型失配產(chǎn)生的模型誤差帶來對系統(tǒng)的影響。根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，當模型失配時，若Tm取值過小，雖然調(diào)節(jié)時間會變快，但同時也產(chǎn)生了一定的超調(diào)，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差；若Tm取值過大，雖然會減小系統(tǒng)的超調(diào)量，但反應速度也會變慢。根據(jù)多次實驗發(fā)現(xiàn)，當Tm≥lm時，濾波器才會起到較好的調(diào)節(jié)效果。因此為了兼顧快速性和穩(wěn)定性，本研究濾波時間常數(shù)取值與滯后時間常數(shù)相同，即Tm=lm。

3.2 模糊自整定PID橫幅定量控制器設(shè)計

本課題所設(shè)計模糊控制器的2個輸入分別為經(jīng)過量化因子量化后的橫幅定量偏差e(t)=r(t)-y(t)和偏差變化率ec=de(t)dt，輸出分別為kP、kI、kD3個參數(shù)的調(diào)整值，記作ΔkP、ΔkI、ΔkD，紙機尾部所檢測到的橫幅定量值經(jīng)過與設(shè)定的定量值比較，若存在誤差，則計算出該時刻的定量誤差以及其變化率，然后輸送到模糊控制器中并根據(jù)所設(shè)計的模糊規(guī)則來計算出PID參數(shù)的修正量，從而在線調(diào)整PID參數(shù)來滿足系統(tǒng)不同時刻的需求[10-11]。

3.2.1 模糊集、模糊論域及量化因子選取

橫幅定量偏差e和ec的基本論域為[-0.5，0.5]，模糊論域可選取為[-3，3]，通過設(shè)定量化因子可將基本論域映射到模糊論域范圍內(nèi)，量化因子為：3/0.5=6。

圖5為e和ec隸屬度函數(shù)。由圖5可知，e和ec的模糊集分為7個等級，其中NB、NM、NS的含義為負向大、負向中和負向小，分別表示實際定量測量值相比設(shè)定的定量值高得多、較高和高一點，ZE表示實際定量測量值與設(shè)定的定量值相等，PS、PM、PB的含義為正向大、正向中和正向小，分別表示實際定量測量值相比設(shè)定值低一點、較低和低的多。

圖5 e和ec隸屬度函數(shù)Fig.5 Degree of membership function for e and ec

圖6為ΔkP、ΔkI、ΔkD的隸屬度函數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗輸出變量 ΔkP、ΔkI、ΔkD的基本論域選取為[-0.5，0.5]，其模糊論域可取為[-1，1]，那么量化因子均為：0.5/1=0.5。輸出變量模糊集同樣分為7個等級，其中NB代表參數(shù)調(diào)整為負向極大，NM代表參數(shù)調(diào)整為負向適中，NS代表參數(shù)調(diào)整為負向極小，ZE則代表參數(shù)調(diào)整為零，PS代表參數(shù)調(diào)整為正向極小，PM代表參數(shù)調(diào)整為正向適中，PB代表參數(shù)調(diào)整為正向極大。

圖6 ΔkP、ΔkI、ΔkD隸屬度函數(shù)Fig.6 Degree of membership function for ΔkP, ΔkI, ΔkD

3.2.2 隸屬函數(shù)選取

考慮到三角隸屬度函數(shù)運算簡單、內(nèi)存空間占用小的特點，以及三角函數(shù)對系統(tǒng)誤差變化反應靈敏、分布均勻[12]，因此本研究的輸入輸出變量均選取論域均勻劃分的三角函數(shù)作為隸屬函數(shù)。

3.2.3 紙張橫幅定量控制器模糊規(guī)則選取

結(jié)合現(xiàn)場參數(shù)整定經(jīng)驗以及前人研究，橫幅定量系統(tǒng)模糊規(guī)則的設(shè)定遵循原則如下。

當定量誤差較大時，此時以盡快消除定量偏差為主要目標，應該選取較大的ΔkP來盡快到達設(shè)定的定量值，為防止出現(xiàn)超調(diào)，ΔkI一般取零即可。

當定量誤差適中時，此時系統(tǒng)到達響應中期，定量偏差變化率ec為中等大小，為了保證系統(tǒng)的響應速度同時也要減小超調(diào)，應該選用較小的ΔkP、ΔkI，而ΔkD適中即可。

當系統(tǒng)到達響應后期時，定量偏差|e|較小，實際定量值已經(jīng)非常接近設(shè)定值，為降低穩(wěn)態(tài)誤差，應選取較大的ΔkP以及較小的ΔkI，同時為防止在穩(wěn)態(tài)值附近震蕩，ΔkD適中即可[13-14]。

綜上所述整定原則，可列模糊規(guī)則表，具體如表1所示。

表1 ΔkP、ΔkI、ΔkD模糊規(guī)則表Table 1 Table of fuzzy rules for ΔkP, ΔkI, and ΔkD

根據(jù)所設(shè)計的模糊規(guī)則，模糊控制器進行推理運算，實時輸出PID控制器的校正參數(shù)，最終得到PID的3個參數(shù)的改變量分別為ΔkP、ΔkI和ΔkD，參數(shù)整定公式如式(8)所示。

式中，kP0、kI0和kD0為PID參數(shù)的初始值。

4 仿真研究

采用Simulink搭建仿真模型，被控對象數(shù)學模型采用關(guān)聯(lián)矩陣為10×10的托普利茲矩陣形式[15]，如式(9)所示。

對所建立的定量系統(tǒng)模型加單位階躍信號，定量系統(tǒng)的開環(huán)響應結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，橫幅各稀釋水閥之間存在較強耦合關(guān)系，使得橫幅定量嚴重不均勻，與設(shè)定的定量值之間存在較大誤差。

圖7 橫幅定量系統(tǒng)開環(huán)響應平面圖Fig.7 Open-loop response of cross direction basis weight system

為驗證本研究所設(shè)計的控制算法的控制效果，分別采用PID控制器、傳統(tǒng)的Smith預估器（PID-Smith）以及本研究的控制算法（FuzzyPID-FSmith）對定量系統(tǒng)進行仿真。用Z-N法得到PID控制器的參數(shù)值kP=2.14、kI=0.06、kD=0.25，采用大林算法得到PIDSmith控制器的參數(shù)值kP=2.14、kI=0.41、kD=0，并將其作為FuzzyPID-FSmith的初始值，即kP0=2.14、kI0=0.41、kD0=0，Smith預估器的反饋濾波時間常數(shù)一般取值與預估模型的滯后時間常數(shù)一致tm=8。同時為驗證抗擾動能力分別在t=0 s和t=100 s對系統(tǒng)加入單位階躍信號和幅值為-0.3的階躍負載擾動。

4.1 標稱情況下系統(tǒng)性能測試

圖8為系統(tǒng)加入解耦矩陣后，并使用PID控制器的仿真結(jié)果。由圖8可以看出，系統(tǒng)的耦合已經(jīng)被抵消，但由于時滯的存在，導致系統(tǒng)響應速度遲鈍，存在著32%的超調(diào)量和長達50 s的調(diào)節(jié)時間，且在受到擾動后需要較長時間才能恢復到穩(wěn)態(tài)值，抗擾性能不佳，不適用于橫幅定量的大時滯控制。

圖8 PID控制器下紙張橫幅平面圖Fig.8 Plan view of cross direction of paper with PID controller

圖9和圖10分別為在PID-Smith控制器和本研究所設(shè)計的FuzzyPID-FSmith控制器下的仿真結(jié)果。由圖9和圖10可以看出，系統(tǒng)在FuzzyPID-FSmith控制器和傳統(tǒng)的PID-Smith控制器都具有較好的動態(tài)性能，本研究所設(shè)計的控制算法無論是在追蹤設(shè)定定量值方面還是抗擾動方面都略勝一籌，各控制方案的系統(tǒng)動態(tài)性能對比結(jié)果見表2。

圖9 PID-Smith控制器下紙張橫幅平面圖Fig.9 Plan view of cross direction for paper with PID-Smith controller

圖10 FuzzyPID-FSmith控制器下紙張橫幅平面圖Fig.10 Plan view of cross direction for paper with FuzzyPIDFSmith controller

表2 標稱情況下性能指標Table 2 Performance indicators at nominal conditions

4.2 模型失配情況下系統(tǒng)性能測試

為檢驗在模型失配下各控制算法的有效性，將系統(tǒng)模型的增益K、時間常數(shù)L均增大20%，時間常數(shù)T減小20%，然后進行仿真。圖11為在傳統(tǒng)的PID控制器下系統(tǒng)的仿真結(jié)果圖。由圖11可知，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間變得更長，抗擾性能更差，系統(tǒng)動態(tài)性能全面下降。圖12為在PID-Smith控制器控制下系統(tǒng)仿真結(jié)果。由于模型失配原因系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)散，紙張的橫幅平面起伏嚴重，控制效果大大降低。在本研究所設(shè)計的FuzzyPID-FSmith控制器下，紙幅平面圖的結(jié)果如圖13所示。由圖13可知，系統(tǒng)雖然產(chǎn)生了超調(diào)，但是依然能快速達到設(shè)定值并進入穩(wěn)態(tài)，受到干擾后也能在較短時間內(nèi)恢復到穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)的魯棒性得到較大的提升。模型失配下各個控制方案系統(tǒng)的動態(tài)性能指標具體如表3所示。

圖11 PID控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.11 Plan view of cross direction of paper with PID controller(model mismatch)

圖12 PID-Smith控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.12 Plan view of cross direction of paper with PID-Smith controller (model mismatch)

圖13 FuzzyPID-FSmith控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.13 Plan view of cross direction of paper with FuzzyPID-Fsmith controller (model mismatch)

表3 模型失配情況下性能指標Table 3 Performance indicators in case of model mismatch

5 實際應用

以陜西某造紙廠為例，紙機車速600 m/min、幅寬3.5 m、涂布白紙板定量306 g/m2，并由55個稀釋水閥共同控制。圖14為系統(tǒng)運行穩(wěn)定后某個時間段的橫幅定量偏差監(jiān)控曲線。由圖14可知，橫軸坐標為55個稀釋水閥的編號，縱軸坐標由上到下分別表示橫幅定量差和相對應稀釋水閥開度。最大正偏為該處橫幅定量值偏離平均值的正向最大值，最大負偏為該處橫幅定量值偏離平均值的負向最大值，2σ的含義為橫幅定量的均方差指標，其值越小，定量越均勻。

圖14 現(xiàn)場實際應用橫幅定量差曲線Fig.14 Deviation curves of cross direction basis weight for practical application on site

從圖14可以看出，在應用本課題的研究算法后，系統(tǒng)的定量偏差整體波動較小，其橫幅定量差指標為6.6/306.1=2%（一般采用2σ/定量平均值的方式來作為橫幅定量差的評價指標，并要求在5%以內(nèi)，同時其指標在3%以內(nèi)的為優(yōu)等品），滿足造紙企業(yè)對橫向定量控制的需求，取得了較好的控制效果。

6 結(jié)論

本課題通過建立紙張橫幅定量系統(tǒng)數(shù)學模型，采用“區(qū)域化點”法對紙張橫幅定量系統(tǒng)進行降維，并對降維后的系統(tǒng)設(shè)計解耦逆矩陣作為解耦器。設(shè)計了一種帶有反饋濾波器的自整定Smith預估器（FuzzyPID-FSmith）。仿真結(jié)果表明，本課題所設(shè)計的控制算法調(diào)節(jié)時間快、超調(diào)量小、系統(tǒng)魯棒性強。將本課題所設(shè)計算法投入現(xiàn)場應用，將橫幅定量差指標控制在2%以內(nèi)，取得了較好的控制效果，能夠滿足造紙企業(yè)的需求。