面向基準約束與余量約束的配準算法

朱燏，肖世宏，陳志同

(1.中國航空制造技術研究院，北京 100024；2.復雜構件數控加工工藝及裝備北京市重點實驗室，北京 100024；3.數字化制造技術航空科技重點實驗室，北京 100024；4.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

飛機的襟翼滑軌是一類重要零件，其加工工序繁雜、具有較大的尺寸與質量，其導軌面與基準之間必須保持相應的位置關系。精加工前零件的基準面已加工到位、導軌面已完成粗加工，因此，該零件在數控精加工前必須經過反復地找正，并根據零件的狀態進行加工坐標系的調整[1]。

通過配準的方式來提高零件的找正效率、分配合適的加工余量是幾何自適應加工技術的一個重要研究內容。在配準算法方面，主要算法有迭代最近點(iterative closest point, ICP)算法、魯棒點匹配(robust point matching, RPM)算法、核相關(kernel correlation, KC)算法、混合高斯模型(Gaussian mixture models, GMM)算法等[2]，用于解決點集之間的配準問題。其中ICP 算法是一種較為有效且快速的算法，在ICP 算法的基礎上，Zhu 等[3]、Béarée 等[4]、Shi等[5]、Bergstr?m 等[6]分別提出不同的方法對ICP 算法的計算效率進行提升，Zhou 等[7]、Du 等[8]針對ICP 算法進行了改善，可解決帶有噪聲的數據點的匹配問題。傳統的ICP 算法是一類在全局坐標系下計算旋轉矩陣與平移矢量的配準算法。

在應用相關配準算法時，需要根據工程背景增加相應的約束[9-10]。為了將配準算法與數控加工的應用相結合，馮亞洲等[11]提出基于公差約束的配準優化算法，Chen 等[12]提出測量點向偏置面的配準算法。此外，相關的配準算法還可以用于機器人加工[13]、航空零部件的檢測[14]、零件修復[15]、整體葉盤的自適應銑削[16]、整體葉盤的自適應磨削[17]等多個與數字化制造相關的方向。

配準技術通常用在零件的精加工工序中。在絕大多數的航空零部件的實際加工過程中，精加工前的零件并不是毛坯狀態。在絕大多數情況下，零件待加工面的配準結果必須保證待加工面與基準面或基準孔的相對位置關系，從而確保某些關鍵的形位尺寸。這種情況下的配準就需要保證幾何體的變換方式是沿某個特定方向的平移或繞某個特定軸的旋轉，并且配準后的結果需要保證待加工面余量的波動較小。這就需要根據特定的矢量或平面建立局部坐標系進行旋轉平移變換，并將結果反算至全局坐標系中。本文即針對復雜零件的數控精加工過程，提出面向基準約束與余量約束的配準算法，開發相應的軟件模塊，用于實現零件精加工中的自適應調整。

1 余量約束配準與運動變換關系

1.1 面向余量約束的配準算法

為了建立數學模型描述帶余量約束的配準問題，首先定義2 種距離，絕對距離與有向距離。檢測點pi到理論點qi之間的絕對距離di如式(1)所示，該距離為絕對坐標系下2 點之間的范數：

1.2 局部坐標系與全局坐標系下的旋轉、平移變換之間的數學關系

本文所提基于基準約束的配準算法最大的特點是不在全局坐標系（OWCSxyz）內進行配準，而是通過坐標系的轉換，將點轉換至局部坐標系（Oe1e2e3）下，再進行配準，最后，根據局部坐標系與全局坐標系之間的關系計算出對應的全局坐標系下的旋轉矩陣R 與平移矢量T。因此，必須建立全局坐標系下的旋轉矩陣 RWCS、平移矢量 TWCS與局部坐標系下的旋轉矩陣 RLCS、平移矢量 TLCS之間的關系。

如圖1 所示，全局坐標系下局部坐標系的3 個方向矢量為e1、e2、e3，坐標系原點為O，令矩陣M=[e1e2e3]，任意一點P 在局部坐標系內為 PLCS，在全局坐標系內為 PWCS。在局部坐標系內經過運動的點在全局坐標系內的位置如式(5)所示，而在全局坐標系內經過運動的點的位置如式(6)所示。

若已知局部坐標系下的運動 RLCS、TLCS，則全局坐標系下的運動 RWCS、TWCS如式(7)所示，式(7)將用于算法中將局部坐標系下的運動關系轉換至全局坐標系。

2 面向基準與余量約束的配準算法

在實際加工過程中，精加工前的零件毛坯上通常已具有1 個或2 個基準，在零件的自適應加工中，必須保證待加工面與基準面的相對位置關系，在此約束下的配準稱為面向基準約束的配準。常用的基準為平面基準或圓柱面基準，因此，本節將結合式（4）的余量約束條件，分別針對這2 種基準約束建立相應的配準模型。

2.1 面向基準平面約束的配準算法

平面基準是最常見的一類基準，在滑軌精加工之前，其導軌面的下側面即為基準平面。該基準面在粗加工階段已完成加工，且與零件內型面的位置直接相關。所提算法的基本思路是：首先，配準基準平面；其次，將所有點按平面配準后得到的旋轉矩陣與平移矢量進行變換；然后，在基準平面上建立局部坐標系（局部坐標系的x 軸與y 軸平行于基準平面）；再次，將待加工面上的檢測點在局部坐標系下進行配準，配準過程中檢測點僅能夠沿局部坐標系的x 軸與y 軸平移與繞局部坐標系的z 軸旋轉；最后，將局部坐標系下的配準結果轉換至全局坐標系中。

式(8)為任意平面的數學表達，參數A、B、C 構成垂直于該平面的單位法矢：

對于式(8)所示的平面，若基準平面的檢測點為pDi(pDi1, pDi2, pDi3)，待加工面的檢測點為pi(pi1, pi2,pi3)。空間上的點pDi可向空間內的任意平面求絕對距離如式(9)所示。通過式(10)求解點pDi到平面的最近距離的最小二乘解，可解得檢測點pDi對應的平面為ΠDP: A1x+B1y+C1z+D1=0，相應的理論基準平面為Π: A0x+B0y+C0z+D0=0。

平面基準約束下的帶余量的配準優化模型如式(18)所示，式(18)表示在平面基準的約束下，經過第一次變換測量點的平移方向需平行于基準平面，測量點的旋轉軸平行于平面基準的法矢。

式(18)計算完成后，通過式(7)求解全局坐標系下對應的旋轉矩陣與平移矢量。

2.2 面向基準圓柱面約束的配準算法

基準圓柱面是指在實際零件的加工中存在著一個基準孔或基準軸的情況。為了保證加工后的曲面相對于基準孔或基準軸的位置，需要在檢測基準圓柱面的基礎上保證已加工的基準圓柱面與理論基準圓柱面同軸，在此基礎上再進行待加工區域的配準。空間內任意圓柱面為

同樣利用式(15)將待加工面的檢測點pi進行變換，并得到點，該變換在全局坐標系下進行。隨后，以圓柱基準中心軸矢量e0與pCOL點為基礎建立局部坐標系LCS，使用式(16)將全部第1 次變換后的檢測點 p1i及對應的理論點 qi變換至局部坐標系下。

式(18)可用于表示基準圓柱面約束下帶余量的配準優化模型。此時，式(18)中矩陣 RLCS對應的旋轉運動同樣僅具有一個自由度，通常情況下為繞局部坐標系的e3軸的旋轉運動（此時e3與圓柱基準中心軸矢量e0相同），矢量 TLCS對應的運動則改變為沿e3軸的平移運動。式(18)變換模型說明，在圓柱面基準的約束下，經過變換的測量點 pLiCS的平移方向與圓柱面中心軸平行，測量點可繞圓柱面中心軸進行轉動，配準后的毛坯姿態需滿足各測量點對應的加工余量大于限定值。求解式(18)后，通過式(7)求解對應的全局坐標系下的旋轉矩陣與平移矢量。

2.3 面向基準平面約束與基準圓柱面約束的配準算法

在某些零件的配準過程中存在著同時使用基準面與基準孔進行定位的情況，這種情況必須保證基準平面與基準孔互相垂直。基于基準平面約束與基準圓柱面約束的旋轉矩陣RG與平移矢量TG的求解流程如圖2 所示。

圖2 基于基準約束下的變換矩陣與平移矢量求解流程Fig.2 Process of solving transformation matrix and translation vector based on datum constraints

首先，輸入基準平面與基準圓柱面的測量點與理論曲面；隨后，根據基準平面的測量點擬合基準平面，并根據式(13)與式(14)求解將擬合基準平面變換至理論基準平面的旋轉矩陣RG1與平移矢量TG1；根據式(15)將基準圓柱面的測量點進行變換，并擬合基準圓柱面；根據擬合基準圓柱面的中心軸方向與擬合基準平面的法矢方向，判斷基準平面與基準圓柱面是否滿足垂直度要求，若不滿足則判斷此基準圓柱面需要在加工后進行修整，若垂直度滿足要求則根據基準圓柱面的底面圓心的理論值與實測值求解平移矢量TG2及其投影矢量TG3；隨后輸出旋轉矩陣RG與平移矢量TG用于變換待加工面上的檢測點pi。本過程始終在全局坐標系下進行數據處理，處理過程中可對零件的狀態進行過程檢測，避免關鍵尺寸在終檢中出現不合格再返修的情況。

同樣利用式(15)將待加工面的檢測點pi進行變換，得到點 p1i。以理論圓柱基準中心軸與理論平面基準Π 建立局部坐標系LCS，使用式(16)將全部的檢測點 p1i及對應的理論點 qi變換至局部坐標系下。

在平面基準與圓柱面基準的雙重約束下帶余量的配準模型如式(22)所示，矩陣 RLCS對應的旋轉運動僅具有一個自由度，通常情況下為繞局部坐標系e3軸的旋轉運動，無平移運動。

式(22)計算完成后，通過式(7)求解全局坐標系下的旋轉矩陣與平移矢量。

2.4 面向基準約束的配準模型求解算法

通過在機測量技術得到基準面上的檢測點與待加工面上的檢測點后，進行面向基準約束配準模型的求解流程如圖3 所示。首先，將基準面上的檢測點向基準面進行配準，得到矩陣RG與矢量TG，并建立相應的局部坐標系；然后，對待加工面上的點進行處理，將實測點與理論點變換至局部坐標系下；根據零件的余量情況進行帶余量、少自由度的配準；最后，將局部坐標系下計算得到的旋轉矩陣與平移矢量進行處理，得到全局坐標系下的旋轉矩陣R2與平移矢量T2，輸出使用的旋轉矩陣（R2R1）與平移矢量（R2T1+T2）。通過基準約束降低了求解配準模型過程中變量的數量，可以保證配準后的零件基準面滿足工藝需求。

圖3 面向基準約束的配準模型求解流程Fig.3 Process of solving registration model based on datum constraints

3 算例分析

通過vs2010 對本文所提算法進行開發，并在此基礎上針對某典型零件“襟翼滑軌”的簡化模型進行計算仿真，該簡化模型如圖4 所示。

圖4 具有典型特征的零件模型Fig.4 Design model with typical features

該零件在精加工階段最重要的加工工序是加工襟翼滑軌的導軌面，即圖4 中標識的待加工面。待加工面在精加工前具有一定的加工余量，在完成加工后必須與圖4 中的基準平面、基準孔（即基準圓柱面）之間保持較高的位置精度，且精加工前基準平面已完成加工。

為了測試本文所提算法，可如圖5 所示規劃測量點，測量點分布在基準平面、基準圓柱面與待加工面上。使用基準平面作為約束，進行基于平面基準約束與余量約束的配準，解得旋轉矩陣與平移矢量后將實測點向理論點進行變換，得到變換后的結果如圖6 所示。對應點之間的誤差如圖7 所示，由圖7 可知，在平面基準的約束下，可保證平面基準上測量點誤差較小且平均，并保持待加工面具有較為平均的余量，但基準孔存在較大的偏差，具體數據如表1 所示。其中，方法1 為基準平面約束與余量約束下的配準結果，方法2 為基準平面、基準孔與余量約束下的配準結果，方法3 為僅余量約束下的配準結果。所提算法適用于基準面加工合格、基準孔留有足夠余量的毛坯精加工，可在加工完待加工面后重制基準孔，從而保證曲面相對于基準的位置度。

圖5 零件表面檢測點分布Fig.5 Measuring points on surfaces of part

圖7 在基準平面約束下配準后偏差曲線Fig.7 Deviations of different points after applying registration method based on constraint of a plane

使用基準平面與基準圓柱面作為約束，并在余量約束下進行加工面的配準，得到變換后的結果如圖8 所示，相關點之間的誤差如圖9 所示。由圖9可知，在基準平面與基準孔的雙重約束下，可保證基準平面與基準孔上的測量點誤差較小且平均，并保持待加工面具有較為平均的余量，待加工面上余量的波動小于0.03 mm，具體數據如表1 所示。所提算法適用于基準面與基準孔加工精度都合格的毛坯精加工，保證了滑軌面加工后相對于2 個基準的位置度。

圖8 在基準平面與基準圓柱面約束下的配準結果Fig.8 Registration result of method based on constraint of a plane and a cylinder

圖9 在基準平面約束與基準孔約束配準后偏差曲線Fig.9 Deviations of different points after applying registration method based on constraint of a plane and a cylinder

表1 不同方法配準結果比較Table 1 Comparison of different registration method

在無基準約束的情況下，僅通過余量約束進行加工面的配準，得到變換后的結果如圖10 所示，相關點之間的誤差如圖11 所示。由圖10 可知，在無基準約束的情況下，待加工面雖可以保持較為平均的余量分布，但基準位置已出現偏差較大或偏差波動較大的情況，具體數據如表1 所示。無基準約束的情況下，為了保證滑軌面加工后相對于基準的位置度，需在待加工面加工完成后重制基準面與基準孔。

圖10 余量約束下配準結果Fig.10 Registration result of method based on allowance constraints

圖11 僅余量約束下配準后偏差曲線Fig.11 Deviations of different points after applying registration method based on allowance constraints

由表1可知本文所提算法對保證零件待加工面的余量分布及加工后待加工面的位置精度有重要的意義。3 種方法的計算時間說明選用帶基準約束的配準算法計算時間要短于無基準約束條件下的計算時間，方法1 的計算時間是方法3 計算時間的33.6%，偏差值波動量也更小。

4 結 論

1) 本文提出一種基于基準約束與余量約束的幾何自適應配準算法，進行了相應的軟件開發，并通過某滑軌零件的簡化模型進行驗證。

2) 本文所提算法分別在全局坐標系和局部坐標系內配準基準面和待加工面，可有效地保證待加工面相對于已加工基準的位置精度，提高產品加工的合格率。

3) 對于該襟翼滑軌零件來說，當同時使用基準平面約束與余量約束的配準方法時，得到的待加工面的余量最大、余量波動最小。因此，對于襟翼滑軌零件來說，基準平面加工完成、基準孔留有余量的毛坯最適合用于精加工。

4) 使用基準平面約束與余量約束的配準方法時，程序的計算時間最短，其計算時間是僅基于余量約束配準方法計算時間的33.6%。