大行程柔性微定位平臺的伴生轉動分析

孟剛，黃河，吳偉官，居勇健，曹毅，2，*

(1.江南大學 機械工程學院，無錫 214122；2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫 214122)

柔性機構是一類依靠材料彈性形變實現力和運動傳遞的新型機構[1-2]，具有無間隙、無摩擦磨損、定位精度高、可靠性強、適應性廣等優點[3]。柔性微定位平臺[4-5]是一類典型的能實現穩定、精確定位的柔性機構，是實現精密定位的主要載體。因此，被廣泛應用于航空航天[6-7]、微機電系統[8]、生物醫藥[9]及精密工程[10]等領域。

隨著精密定位技術的迅速發展，對柔性微定位平臺的性能提出了更高的要求，兼具大行程、高定位精度及良好動態特性已成為微定位平臺設計的基本準則[11]。目前，對具有大行程的柔性微定位平臺研究雖已取得一定成果，但運動過程中產生的伴生轉動對平臺定位精度造成的不利影響，導致其難以滿足較高水平的定位需求，因此，對大行程柔性微定位平臺伴生轉動的研究是實現其精密定位的關鍵所在。牟新明等[12]提出了對平行簧片機構伴生轉動的理論建模方法，有效降低了機構的導向誤差；Luo 和Liu[13]結合偽剛體模型對大行程分布柔度式導向機構的伴生轉角進行了理論分析，并基于此進一步提高了其伴生位移的理論精度；Hao 等[14-15]采用分布柔度式柔性桿設計了一種空間平動柔性微定位平臺，并對其伴生轉角、耦合位移進行分析，并基于剛度中心重合的結構優化方法提出了一種伴生轉動最小化的柔性微定位平臺；Su 等[16]通過對柔性機構寄生運動的研究，提出了基于瞬心的伴生轉動分析方法；此外，Awtar 等[17]基于約束設計法，提出了一種大行程柔性微定位平臺，并對其伴生轉動進行了有限元仿真分析；Lin 等[18]基于對稱結構提出了一種低伴生轉動的微定位平臺，并完成了相關實驗測定。

綜合文獻[12-18]不難發現，目前對伴生轉動的研究多集中于對基本運動副的理論建模、對平臺伴生轉動的定性分析及仿真實驗測定，而對微定位平臺整體伴生轉動的系統性理論分析相對欠缺。基于此，本文針對大行程柔性微定位平臺伴生轉動問題進行深入研究。首先，提出一種基于柔性桿的大行程柔性微定位平臺結構；其次，基于線彈性梁理論模型建立了柔性運動副伴生轉角的理論模型；然后，分別對所提平臺在單軸、雙軸及三軸驅動條件下伴生轉動進行理論分析，并基于有限元仿真驗證了理論模型的正確性；最后，探究了柔性桿結構參數與平臺伴生轉動之間的靈敏度關系，并據此提出了改善所提平臺運動性能的優化方案。

1 微定位平臺的結構設計

柔性微定位平臺與剛性并聯機構類似，為保證其具有良好動態特性，常采用并聯式結構[19]，同時采用分布柔度式[20]柔性單元滿足平臺大行程的需求。為便于實現高精度定位，平臺應具有良好的解耦特性[21]及較低的伴生轉動。

圖1 為具有兩移一轉（PPR）自由度的柔性運動副，其中P（prismaticjoint）代表移動副，R（revolutejoint）代表轉動副，其結構為2 組四桿結構通過反向串聯連接組成，該連接方式在增加運動行程的同時，抵消了2 組四桿結構運動時產生的寄生運動，提高了平臺運動的解耦特性。圖中：L 為連接模塊十字型桿長度，D 為剛性連接模塊高度，s 為外四桿結構自由端剛性塊高度，l 為柔性桿長度，t 為柔性桿厚度，d 為外四桿結構柔性桿桿間距。基于自由度與約束空間拓撲法[22-23]及螺旋理論[24]，其運動自由度可表示為

圖1 PPR 型柔性運動副Fig.1 PPR compliant kinematic joint

式中：x、y 為運動副沿x、y 軸的移動自由度；θz為運動副繞z 軸的轉動自由度。

基于圖1 的PPR 型柔性運動副所提的三移一轉（3-PPPR）型柔性支鏈結構如圖2 所示，4 個相同的兩移一轉型柔性運動副并聯連接組成其驅動副，并在正交方向通過與被動副串聯連接，組成支鏈整體。支鏈驅動副及其整體運動自由度可分別表示為

圖2 PPPR 支鏈結構Fig.2 Structure of PPPR branch chain

支鏈驅動副的單移動自由度滿足驅動器不可承受橫向載荷的特點，支鏈整體自由度數不少于微定位平臺預期可實現的自由度數，滿足空間平動柔性微定位平臺支鏈的自由度要求。

基于圖2 的柔性支鏈，所提的3-PPPR 型大行程柔性微定位平臺結構如圖3 所示，3 條相同的PPPR 型柔性支鏈相對動平臺呈空間正交分布，其結構的完全各向同性保證了平臺各方向具有相同的靜、動態特性，且無冗余驅動現象，便于對其進行分析。平臺運動自由度可表示為

圖3 3-PPPR 平臺結構示意圖Fig.3 Structure of 3-PPPR micro-positioning platform

2 微定位平臺伴生轉動分析

空間平動柔性微定位平臺在理想狀態下，運動副內部結構受力變形完全相等，輸出動平臺只有平動沒有轉動。但實際工作過程中，運動副內部柔性桿受驅動力作用產生的彈性變形并不完全相等，進而導致輸出動平臺在平動的同時，產生微小轉動，稱之為伴生轉動[25]，其轉角為伴生轉角。伴生轉動的存在將影響平臺的定位精度，因此，有必要對平臺伴生轉動進行理論分析。

2.1 PPR 運動副伴生轉動分析

圖4 為一端固定的柔性導向梁，基于梁的彎曲變形理論，柔性梁撓度曲線近似的微分方程為

圖4 柔性固定導向梁受力分析Fig.4 Force analysis of compliant fixed guide beam

式中：E 為材料彈性模量；I 為柔性桿截面慣性矩；l 為桿長度；ω 為其彎曲變形量；F 和M 分別為其末端所受力與力矩；FN為其軸向拉/壓力。

考慮到PPR 柔性運動副反向串聯結構，柔性桿不會產生軸向形變及拉/壓力，則有FN=0。

其撓度及端截面轉角方程分別表示為

式中：ω′′為 柔性桿撓度；ω′為柔性桿端截面轉角。

如圖5 所示，基于柔性固定導向梁組成的PPR柔性運動副在承受水平力F 時產生伴生轉動，其轉動效果等效于外四桿結構分別受力Fa、力偶Ma及內四桿結構受力Fb、力偶Mb作用的累加，其中：Fa=Fb=F、Ma=F(s+0.5D)、Mb=F(s+l+0.5D)，s、l 和D 均為柔性運動副結構參數（見圖1）。

圖5 PPR 運動副伴生轉動示意圖Fig.5 Schematic diagram of parasitic rotation of PPR joint

假設運動副中剛性部件具有絕對剛度，運動過程中不產生自身形變，則4 種載荷情況下的形變示意圖分別如圖6～圖9 所示，其伴生轉動將在本節進行逐一分析。

圖6 為外四桿結構受力形變示意圖，在水平力Fa作用下，兩側柔性桿產生不同形變狀態。左側柔性桿受拉力FN1，產生軸向拉伸形變量為Δl1，右側柔性桿受壓力FN2，其壓縮量為Δl2，二者導致平臺產生偏轉角 θFa，基于幾何關系，則有

圖6 外四桿結構受力形變示意圖Fig.6 Deformation of external beams subjected to horizontal force

考慮其對稱結構，兩側柔性桿末端受力、力偶關系及整體平衡方程可表示為

式中：F1和F2為柔性桿所受橫向力；A 為柔性桿截面積。

基于式(7)端截面轉角方程，柔性桿末端轉角可表示為

圖7 為外四桿結構受力矩形變簡化示意圖，在附加力矩Ma作用下，左、右兩側柔性桿分別承受拉力FN1、壓力FN2，并產生軸向形變Δl1、Δl2，設平臺產生偏轉角為 θMa，根據幾何關系有

圖7 外四桿結構受力矩形變示意圖Fig.7 Deformation of external beams subjected to moment

附加力偶Mb1、Mb2大小相等，方向相反，二者共同作用引起的結構繞z 軸方向扭轉角互相抵消，故在此不予考慮。

圖8 內四桿結構受力形變示意圖Fig.8 Deformation of internal beams subjected to horizontal force

圖9 為內四桿結構受力矩Mb作用下產生的伴生轉動示意圖，左、右兩側柔性桿受力分別產生軸向形變，中間柔性桿不產生形變，設其偏轉角為 θMb，則其形變及力偶平衡關系為

圖9 內四桿結構受力偶形變示意圖Fig.9 Deformation of internal beams subjected to moment

2.2 PPPR 支鏈伴生轉動分析

圖10(a)為基于PPR 型柔性運動副組成的平臺支鏈伴生轉動示意圖，在水平力F 作用下，支鏈產生的伴生轉角由兩部分組成：① 被動PPR 副受力F 產生的伴生轉角θPPR，已在2.1 節分析；② 驅動P 副受力矩M 產生的伴生扭轉角α、偏轉角β，示意如圖10(b)所示。

支鏈受水平力F 作用時，在驅動副中心產生附加力矩M=F(s+2l+L+D)，如圖10(b)所示。在力矩M 作用下，x 軸方向運動副發生繞y 軸方向偏轉，偏轉角為α，y 軸方向運動副發生繞y 軸方向扭轉，其扭轉角為β，且α=β。假設Md、Mt分別為使運動副發生偏轉、扭轉的力矩分量，則

圖10 PPPR 型柔性支鏈伴生轉動示意圖Fig.10 Schematic diagram of parasitic rotation of PPPR limb

式中：Kd和Kt分別為運動副偏轉及扭轉剛度，Kt的具體分析可參閱文獻[26-28]。

基于式（21），支鏈驅動副產生的伴生扭轉角和偏轉角為

則支鏈整體受x 方向水平力F 作用產生繞y 軸方向的伴生轉角為

2.3 3-PPPR 平臺伴生轉動分析

微定位平臺運動包括單軸、雙軸及三軸驅動，分別對應不同的運動狀態，故其伴生轉動也不盡相同，因此，有必要分別對3 種運動狀態下伴生轉動進行分析。本文考慮x 單軸驅動，x、y 雙軸驅動及x、y、z 三軸同時驅動情況下平臺的伴生轉動。

2.3.1 單軸驅動平臺伴生轉動分析

以x 軸方向單軸驅動為例，其伴生轉動示意如圖11 所示，平臺y、z 方向支鏈均會產生伴生轉動，其中y 方向支鏈產生繞z 軸的伴生轉角 θzx，z 方向支鏈產生繞y 軸的伴生轉角 θyx。

圖11 單軸驅動平臺伴生轉動示意圖Fig.11 Parasitic rotations of uni-axis driven platform

圖12 為xz 平面支鏈伴生轉動原理圖，平臺沿x 軸方向單軸驅動時，z 方向支鏈及動平臺受力產生繞y 軸轉角 θyx，由于結構的整體性，繼而導致x 支鏈產生同樣伴生轉角，則有

圖12 平臺伴生轉動原理圖Fig.12 Schematic diagram of parasitic rotation of platform

式中：Fz為z 方向支鏈的有效水平力；kPPR為PPR 柔性運動副的平移剛度；δinx為x 方向驅動力作用下產生的驅動位移；Kx和Kz為輸入力條件下平臺支鏈的廣義伴生轉動剛度。

同理，微定位平臺沿x、z 方向及y、z 方向雙軸驅動時，輸出動平臺各方向產生的伴生轉角分別為

圖13 雙軸驅動平臺伴生轉動示意圖Fig.13 Parasitic rotations of bi-axis driven platform

式(30)表明該微定位平臺三軸同時驅動時，動平臺在各方向均不會產生伴生轉動，其定位精度不受伴生轉動影響。

通過對柔性運動副、支鏈及微定位平臺3 種驅動狀態下伴生轉動的分析，明確了其變形機理，為微定位平臺伴生轉動的靈敏度分析及優化奠定了理論基礎。

3 仿真驗證

為驗證第2 節伴生轉動理論模型的正確性，基于ABAQUS 對平臺進行有限元仿真驗證，平臺選用材料7075 鋁合金及材料特性、尺寸數值如表1所示，為盡可能提高仿真精度，設定柔性單元部分網格為1 mm，其他部分為4 mm，選用四面體單元進行網格劃分以提高分析速度，經檢測其整體網格化誤差為1.30%，符合仿真要求，在各支鏈被動副連接模塊處施加固定約束。為分析平臺不同驅動條件下的伴生轉動，對平臺分別施加單軸、雙軸及三軸驅動力，如圖15 所示。

圖15 不同驅動條件下平臺的仿真分析Fig.15 Simulation analysis of platform under different driving conditions

表1 平臺材料及尺寸參數Table 1 Material and dimension parameters of platform

對平臺各方向分別施加20 N 驅動力，各驅動狀態下動平臺產生繞各方向伴生轉角的理論值、仿真值及其相對誤差如表2 所示。

以x 軸方向單軸驅動為例，在0～20 N 驅動力作用下，支鏈及平臺產生繞y 軸伴生轉角的理論、仿真值曲線如圖16 所示。

基于表2 及圖16 可以得出以下結論：

圖16 支鏈及平臺伴生轉角Fig.16 Parasitic rotational angles of limb and platform

表2 平臺伴生轉角理論、仿真值及其相對誤差Table 2 Theoretical values, simulation values and relative errors of parasitic rotational angles

1）在0～20 N 驅動力作用下，支鏈產生最大伴生轉角的理論及仿真值分別為8.96×10-4rad 和8.77×10-4rad，最大相對誤差不超過2.12%；平臺產生最大伴生轉角的理論及仿真值分別為4.48×10-4rad 和4.39×10-4rad，最大相對誤差不超過2.01%，二者結果的高度吻合，驗證了伴生轉動理論模型的正確性。

2）驅動條件相同的情況下，平臺單軸驅動產生的伴生轉角為支鏈伴生轉角的一半，這與2.3.1 節理論分析模型相吻合。

3）平臺在多軸驅動時，可利用結構特性抵消部分伴生轉動，提高了該方向定位精度；且平臺三軸同時驅動時，動平臺各方向均不存在伴生轉動，運動效果最佳。

4）平臺運動過程中，驅動力與伴生轉角之間呈現明顯的線性關系，表明該平臺具有良好的線性特性；同時，也有利于通過線性誤差補償的方式來進一步提高平臺定位精度，簡化了平臺的控制系統設計。

4 靈敏度分析

為保證大行程柔性微定位平臺具有較高的定位精度，需盡量減小平臺運動過程中產生的伴生轉角，因此，有必要對其進行靈敏度分析，進一步明確柔性桿結構參數與平臺伴生轉角之間的關系，以便設計滿足性能要求的微定位平臺。

基于第2 節理論模型及有限元仿真，分別對平臺伴生轉角進行靈敏度分析，得出平臺伴生轉角與柔性桿尺寸參數（桿長度l、桿厚度t、桿間距d）之間的關系如圖17 所示。

圖17 平臺伴生轉角與柔性桿尺寸參數之間的關系Fig.17 Relationship between beam parameters and parasitic rotation of platform

由圖17 可知伴生轉角理論模型與仿真結果具有較高的吻合度及相同的變化趨勢，表明了柔性桿尺寸參數在一定范圍內變化對理論模型具有良好的適應性。同時，靈敏度分析結果顯示，通過減小柔性桿的長度l、增大柔性桿的厚度t 及桿間距d均可有效減小平臺運動過程中產生的伴生轉角，且柔性桿厚度t 對伴生轉角的影響最為顯著，桿長度l 次之，桿間距d 影響最小。

值得指出的是，通過調節柔性桿長度l 來減小伴生轉角的同時，亦會限制微定位平臺的有效運動行程，難以同時滿足大行程、高定位精度的性能要求。

因此，在保證平臺運動性能的同時，可通過以下方面降低其伴生轉動的影響：

1）調節柔性桿尺寸參數，通過增大柔性桿厚度t 及桿間距d 減小伴生轉角。

2）改善驅動方式，采用多軸同時驅動的方式可有效減小或抵消部分方向伴生轉角。

3）優化結構布局，采用支鏈對稱分布的五、六支鏈結構，利用結構對稱性抵消平臺單軸驅動產生的部分伴生轉角。

5 結 論

1）提出一種基于柔性桿的3-PPPR 型大行程柔性微定位平臺。

2）基于線彈性梁變形理論，考慮柔性桿軸向微小形變，對柔性運動副及平臺在單軸、雙軸及三軸同時驅動條件下產生的伴生轉角進行系統性分析，并完成理論建模。

3）通過有限元仿真對柔性運動副及平臺在3 種驅動條件下產生的伴生轉角進行分析，其最大相對誤差不超過2.46%，驗證了理論模型的正確性。

4）基于理論模型，對平臺伴生轉角進行靈敏度分析，明確了各尺寸參數與伴生轉角之間的關系，為平臺性能進一步提升奠定了基礎。

后續將搭建微定位平臺的物理樣機及實驗系統，對平臺的相關性能及理論模型做進一步的測試與驗證。