火箭整流罩錐殼夾層結構不確定性輕量化設計

董欣心，岳振江，王志，劉莉

(北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

Abstract： In order to analyze the influence of uncertainty on the thermal stability of the launch vehicle fairing cone shell sandwich structure and to guide the lightweight design of the structure, a model of the fairing front cone section sandwich shell is established and a temperature field model is built, based on which the thermal stability analysis of the cone shell is carried out and the critical axial pressure under the combined force-thermal load is derived.For the primary uncertainty factors, interval uncertainty optimization models and sensitivity analyses are also produced.The interval probability approach is then used to convert these models into deterministic optimization problems, which are then resolved using the genetic algorithm-collocation interval analysis method (GA-CIAM)method.The calculation results show that considering the influence of aerodynamic/thermal load and material parameter uncertainty, the optimization design of the front cone section of the fairing can effectively realize the structural lightweight on the premise of meeting the design requirements.

Keywords： cone shell of fairing；sandwich structure；thermal stability analysis；interval uncertainty optimization；lightweight design

隨著航天技術不斷進步，火箭的飛行速度也在不斷提高，這對整流罩的綜合性能提出了更高要求。火箭高速飛行時，整流罩表面駐點溫度近似正比于飛行速度的平方[1]，摩擦帶來的氣動熱引起整流罩壁的快速升溫，由于外部環境對結構的約束及各部分之間的相互作用，結構不能完全自由的熱脹冷縮，引起很高的熱應力。

針對這一問題，國內外許多學者開展了圓柱殼及圓錐殼的熱穩定性分析相關研究。Meyers 等[2]分析了對稱鋪層復合材料平板的熱屈曲響應，并討論了不同方向鋪層及不同邊界條件下的熱屈曲情況。此后，許多國外學者基于一階剪應變理論對功能分級材料(functionally gradient materials, FGM)開展了一系列研究[3-6]，對不同防熱材料、不同加筋形式的圓柱殼、圓錐殼結構在力載荷作用下的屈曲臨界載荷及在溫度載荷作用下的屈曲臨界溫度進行分析，推導得到了其理論解。

在國內，也有許多學者針對薄殼的熱穩定性問題開展研究。張東等[7]對軸壓和溫度載荷作用下圓柱加筋殼的熱屈曲問題進行分析，通過推導給出了臨界屈曲載荷和臨界溫度載荷的解析表達。整流罩多采用復合材料，復合材料能夠有效提升結構的隔熱性能及熱載荷承受能力，針對復合材料的熱穩定性問題，唐統帥[8]分析了復合材料格柵加筋結構的熱應力分布規律，并對加筋板結構尺寸開展設計以提升其散熱性能和承載性能。徐騰飛等[9]基于經典薄板理論，利用分離變量法對柔性支撐FGM矩形薄板的熱屈曲進行分析，推導得到了其閉式解。

整流罩錐段需要同時承受軸壓載荷和氣動熱引起的熱載荷，對于圓錐殼在力熱聯合載荷作用下的屈曲分析，相關研究依然較少。并且，飛行過程中所受載荷及結構材料的力學性能參數、熱物性參數均存在一定的不確定性。現有的分析及基于此開展的結構設計并未充分考慮參數不確定引起的結構承載能力不確定性，給定的安全系數通常存在較大冗余。近年來，不確定性優化設計[10-11]的概念逐漸在設計領域受到重視，其前提是不確定性量化(uncertainty quantification, UQ)，主要思想是在設計過程中通過對模型輸出響應的不確定性定量描述提升模型的可信度。不確定性優化設計可以通過定量分析承載能力波動范圍，使設計結果更加精確，在降低結構質量的同時保證可靠性。

不確定性優化設計方法旨在通過穩健性設計獲取可行域內對于設計變量變化不敏感的最優值，按處理方法可以分為概率方法、非概率方法和概率-非概率混合方法。通常，如果不確定性因素的概率分布已知可以采用概率方法，若分布未知而變化范圍已知可以采用區間方法，若部分參數分布已知而部分只能確定變化區間則可以采用混合方法。其中區間方法對于數據的要求較低，設計簡單，因此在工程上使用更加廣泛。

本文考慮整流罩部分承受較強的氣動加熱，存在熱應力，建立整流罩錐段的夾層結構模型，分析軸壓載荷和氣動熱載荷聯合作用下錐殼的載荷承受能力。建立區間不確定性優化模型，采用遺傳算法嵌套區間分析方法求解，對整流罩前錐段夾層結構開展結構輕量化設計，并對優化結果進行對比分析。

1 圓錐殼熱穩定性分析方法

1.1 整流罩前錐段圓錐殼模型建立

整流罩前錐段常采用復合材料結構，由上下2 層面板及中間的夾心芯子組成，還包括一些加強框、加強板及支撐桁、爆炸螺栓等連接和加強結構。為對其進行參數化表征，作出一定假設，認為前錐段為完整的復合材料結構，不考慮局部連接和加強結構，建立參數化模型如圖1 所示。沿殼長度方向為x 方向，x 方向的位移為u，垂直于x 方向為殼的厚度方向z 方向，z 方向的位移為 w。

圖1 前錐段夾層結構參數化模型Fig.1 Parameterized model of sandwich structure of the front cone section

為計算熱穩定性，需對面板及芯子的材料性能參數進行定義。性能參數主要包括材料的彈性模量、泊松比，以及描述物體在溫度改變時膨脹收縮能力的熱膨脹系數。熱膨脹系數的定義為在等壓條件下，單位溫度變化所導致的體積變化。本文為簡化計算，設面板和芯子泊松比相等。

錐殼所受熱應力與結構內部溫度分布相關，因此，需要建立溫度場模型，分析在熱流作用下結構內部溫度分布情況。壁面厚度方向的尺寸遠小于另外2 個方向，此時可以把箭體壁面近似視為平板進行考慮。在壁面內，可以假設熱傳導只沿壁厚方向進行，將原本的三維傳熱問題簡化為一維傳熱問題[12]。

傳熱邊界條件為：結構層外表面凈吸收熱流密度為常值 q0，內壁為絕熱條件。初始時刻，結構層沿厚度方向不存在溫差，即 t =0時 刻有T0=Tn=Tinit。由此初始條件計算一段時間后結構層沿厚度方向的溫度分布，采用有限差分法，將結構層分為 N層，以每層中點處的溫度代表該層溫度，如圖2 所示，通過熱傳導傅里葉方程描述溫度空間分布隨時間變化。

圖2 沿壁厚方向溫度分布Fig.2 Temperature distribution along thickness direction

1.2 溫度場模型建立

1.3 圓錐殼熱穩定性分析

依據文獻[5]，將應力-應變方程進行整合并在殼體厚度方向積分取矩，可以得到錐殼的力、力矩合力及橫向力合力表達式為

由此，屈曲狀態下的力和力矩的合力也可表示為平衡狀態量加擾動量：

圖3 圓錐殼邊界條件Fig.3 Boundary conditions of conical shell

2 區間不確定性優化方法

2.1 區間不確定性優化模型

在處理不確定性約束時，引入區間可能度方法[14]，定量比較區間兩區間大小關系。認為區間數A 和B 在區間內均勻分布，區間A 和B 所有可能的相對關系可分為以下6 種，如圖4 所示。

圖4 區間A 與區間B 可能的相對關系Fig.4 Possible relationship between interval A and B

對應不同相對關系，基于概率方法給出區間可能度模型：

2.2 區間分析方法

傳統的區間不確定性優化常采用遺傳算法等智能優化算法確定目標及約束函數的上下界，結合外層的設計變量尋優，雙層嵌套優化導致計算量巨大。采用區間分析方法取代內層優化可以有效提升計算效率，常用的區間分析方法包括基于Taylor展開的區間分析方法(Taylor interval analysis method, TIAM)和由此發展出來的配點型區間分析方法(collocation interval analysis method, CIAM)[15]。配點型區間分析方法由基于Taylor 展開的區間分析方法發展而來，具有更高的計算精度，其思想為采用第1 類Chebyshev 多項式逼近響應函數，獲得響應函數的區間上下界。項式：

當優化模型中有多個約束時，對每個約束依次計算上下界，然后采用區間可能度方法計算。

2.3 不確定性優化流程

采用遺傳算法-區間分析方法(GA-CIAM)求解不確定性優化問題。優化流程如圖5 所示。

圖5 不確定性優化流程Fig.5 Flow diagram of uncertainty optimization

3 優化模型建立及結果分析

3.1 優化模型建立

由于在結構設計階段，整體外形尺寸往往已經由總體設計確定，因此，給定其整體外形參數，僅對夾層結構厚度展開不確定性優化設計。錐殼錐角為17°，殼長4.2 m，小端半徑為0.63 m，大端半徑為1.85 m。面板、芯子泊松比均為0.3，玻璃板熱膨脹系數為7.1×10-6(1/℃)，泡沫芯子熱膨脹系數為8×10-5(1/℃)，結構初始溫度為均勻分布的20 ℃，凈吸收熱流密度為20 kW/m2，作用時間150 s。為計算結構質量，需給定材料密度，玻璃板密度為1.8×10-6kg/mm3，泡沫夾層密度為3×10-7kg/mm3。設計變量為面板及芯子厚度，設計空間上下界和初始值如表1 所示。不確定性變量為需用軸壓、熱流參數及材料的力熱性能參數。不確定性變量上下界如表2 所示。

表1 設計變量設計空間及初值Table 1 Design space and initial value of design variables

表2 不確定性變量上下界Table 2 upper and lower bounds of uncertainty variables

為描述不同因素對響應不確定性的影響程度，通常進行靈敏度分析，方差靈敏度分析法又稱為Sobol 方法，通過輸入變量的方差在系統響應中的貢獻度來衡量該變量的重要程度，能充分表征變量對響應的影響程度，因此，采用Sobol 法分析靈敏度，Sobol 指數的取值在 [0,1]之間，取值越大說明響應對輸入的變化更加靈敏。本文對熱流參數，分別是凈吸收熱流 q0和 熱流作用時間t，以及材料熱物性參數，分別是玻璃板比熱容、泡沫夾層比熱容、玻璃板導熱率、泡沫夾層導熱率進行靈敏度分析。結果如圖6 和圖7 所示。

圖6 熱流不確定性因素Sobol 靈敏度指數Fig.6 Sobol sensitivity index of heat flux uncertainties

圖7 材料不確定性因素Sobol 靈敏度指數Fig.7 Sobol sensitivity index of material uncertainties

從靈敏度分析結果圖6、圖7 可知，熱流不確定性對溫度分布影響較大，其中凈吸收熱流密度主要影響外壁及近外壁界面溫度，內壁及近內壁界面溫度對熱流作用時間更敏感。材料不確定性因素對響應影響差別較大，泡沫層比熱容和玻璃板導熱率對響應靈敏度很小，玻璃板比熱容對各層的影響相似，泡沫夾層導熱率對外壁溫度基本無影響，對內壁溫度起主要主用。

以結構質量作為目標函數，約束為結構不失穩且內壁溫度滿足溫度限制。結構質量為結構尺寸參數的函數，表示為

約束條件首先考慮結構在力熱聯合條件下的穩定性問題，要求結構在軸壓和熱應力作用下失穩臨界軸壓不大于需用軸壓載荷，同時，要求結構內壁溫度低于臨界溫度，本算例設定為 Tcr= 40 ℃。計算過程中，對某一設計點，需首先由熱傳導求得帶有不確定性的結構內外溫度上下邊界，再將溫度及材料參數的不確定性共同作為穩定性分析的輸入，求得結構臨界軸壓載荷的上下邊界。由此可以得到前錐段夾層結構優化問題的不確定性優化模型為

3.2 優化結果及分析

優化方法選用GA-CIAM 方法，外層采用GA對設計變量尋優，內層通過CIAM 方法確定約束上下界。本問題僅有2 個設計變量，故將遺傳算法的種群規模設為25，最大代數100，交叉概率0.8，變異概率0.1，罰函數法的初始罰函數為10，罰因子為100。CIAM 方法多項式階數為5 階，高斯積分點數為10，將不同約束的區間可能度都選為0.8 進行優化。得到設計結果為面板厚度 ts=1.600 mm，芯子厚度 tc=16.500 mm，最終結構質量為352.674 kg。

將所得優化結果的目標函數及約束的性能參數與優化前進行對比，結果如表3 所示。

表3 優化結果對比Table 3 Comparison of optimization results

從結果表3 可以看出，優化后相比優化前失穩臨界軸壓有一定下降，滿足穩定性約束，優化后面板及芯子厚度變薄，內外壁溫差增大，結構質量減輕了14.86%。本算例中，優化前后結果均滿足內壁溫度約束，如果作用在結構上的熱流增大或加熱時間變長，該約束可能會變為起作用約束，因此，需要對其進行限制。

保持其余參數不變，分別將區間可能度水平改變為0.2、0.5、1.0 重新進行優化，將所得結果進行對比，結果如表4 所示。

表4 不同可能度水平下不確定性優化結果Table 4 Uncertainty optimization results under different possibility levels

當可能度水平取為0.2 時，結構質量相比優化前減重19.05%；當可能度水平取為1.0 時，結構質量相比優化前減重12.04%。可能度水平由1.0 減小至0.2，質量下降約7.97%，可以看出對本問題而言，在需用載荷變化范圍內結構重量變化不大，可以通過適當的質量代價追求更高的設計可靠性。

4 結 論

1）建立了火箭整流罩圓錐殼夾層結構參數化模型，建立一維熱傳導模型獲取熱流作用下結構溫度場，推導了考慮熱應力情況下圓錐殼的穩定性平衡方程，采用伽遼金法求解方程，給出了失穩臨界軸壓的表達式。

2）建立了區間不確定性優化模型，采用區間可能度方法將不確定性優化模型轉換為確定性優化模型，采用GA-CIAM 方法代替原本的GA 嵌套尋優方法，降低了計算量。

3）對整流罩前錐段夾層結構圓錐殼開展了考慮氣動力/熱載荷及材料參數不確定性的結構優化設計，獲得了滿足設計要求且質量更輕的設計結果，研究了改變可能度水平對設計結果的影響，為不同可靠性要求的設計過程提供指導。

附錄A: