研究生“最優控制”課程教學案例建設研究

梁衛征 張瑞成 王曉爽 李鵬飛 孫偉良

華北理工大學電氣工程學院 河北唐山 063210

最優控制理論主要研究使控制系統的性能指標實現最優化的基本條件和綜合方法。其基本原理主要是貝爾曼(R.Richard Bellman)提出的動態規劃和龐特里亞金等人提出的極小值原理，它是現代控制理論的重要組成部分，也是控制科學與工程學科碩士研究生的一門必修課程，該課程理論性強、綜合程度較高，學生學習的難度較大。目前，在大多數的高校中，對這門課程的講授仍以課堂教學為主和課下作業為輔的教學方式，學生學習興趣差，學習效果不好。因此，選擇合適的教學方法和手段是教師面臨的主要任務。

楊自軍指出高質量的教學案例建設是案例教學質量的保障，科學運用教學案例是提升案例教學效果的關鍵[1]。張西文等針對“巖土工程數值分析”課程精選了10個巖土工程典型工程問題，并進行教學案例庫建設[2]。譚中標等針對“現代生物技術”課程，建設了包括理論綜合、思維訓練、實踐操作等類型的教學案例，激發了學生的學習興趣[3]。劉同海等圍繞“農業物聯網技術”課程教學目標和內容，開發了課堂理論教學+網絡在線演示+現場操作等分階段、多層次、重應用、動手操作的教學新模式[4]。高斌等為提高食品專業碩士學位研究生的食品安全事件的分析回應能力，以食品安全經典案例為切點，將案例教學法融入“食品安全案例”課程中[5]。

綜上可知，為了激發學生的學習興趣，提升教學效果，很多研究生課程都開發了教學案例，而最優控制的教學案例還比較少見。為此，根據課程教學目標與工程應用，開發了基于Matlab/Simulink的仿真教學案例。從控制原理、對象模型、仿真程序和仿真結果幾方面入手，重點針對經典變分法、極小值原理、線性二次型控制等開發教學案例，構建了理論教學、仿真演示、實踐操作的教學模式。

一、“最優控制”課程的體系結構

“最優控制”是控制科學與工程相關學科碩士研究生的一門學位課程。課程內容主要包含最優控制的變分法、極小值原理及其應用、動態規劃、二次型目標函數的最優控制問題等。其中經典變分法、極小值原理和動態規劃是“最優控制”課程的三大基石[6]。

經典變分法是研究對泛函求極值的一種數學方法，僅適用于控制變量的取值范圍不受限制的情況。

極小值原理是基于分析力學中哈密頓方法的推廣，它可用于控制變量受限制的情況，能給出所求問題中最優控制所滿足的條件。它既適用于連續系統，也適用于離散系統求解。

動態規劃是數學規劃方法之一，同樣適用于控制變量受限制的情況。它既適用于連續系統，也適用于離散系統求解，而且是非常適合于在計算機上進行計算的有效方法之一。

二、“最優控制”課程教學案例構建

(一)基本思路

根據“最優控制”課程的體系結構，結合科學研究將工程應用引入進來，重點開發經典變分法、極小值原理、狀態調節器和跟蹤問題幾個典型的教學案例。下面對幾個典型案例所研究的對象數學模型進行簡單概述，其控制的基本原理參見文獻[6]，仿真程序和結果將在下一小節論述。

(二)教學案例構建

1.經典變分法教學案例

設一艘輪船駛經一水流區域。水流方向為已知的位置函數：

(1)

式中x和y為直角坐標；p和q分別是水流在x和y方向的速度分量；V是輪船相對水的速度，為一常數。試問怎樣駕駛輪船，使船以最短時間從起點(0，0)駛至終點(10，20)？

輪船運動微分方程可寫為

(2)

式中u為輪機駕駛方向與x軸之間的航向角，為控制變量，其值不受約束。

性能指標取為：

(3)

輪船相對水的速度V取為3m/s。

2.極小值原理教學案例

以集裝箱起重機的水平行走軌道為橫坐標，與軌道垂直的方向為縱坐標。設初始位置為(9.5，0)，終點為(0，0)，動力加速度|u(t)|≤0.75，阻力加速為0.1，若運行速度達到最大限制速度2m/s時，貨物以最大運行速度進行勻速運動，然后再進行減速。

則起升機構的運動微分方程為[7]：

(4)

性能指標為：

(5)

3.狀態調節器教學案例

二階倒立擺結構如圖1所示，s為小車偏離平衡位置的位移，l1為下擺質心到軸心的距離，l2為上擺質心到軸心的距離，θ1為下擺角，θ2為上擺角。

圖1 二階倒立擺系統

令:

x=[x1x2x3x4x5x6]T

則系統的狀態方程為:

(6)

(7)

4.跟蹤問題教學案例

軋機主傳動系統力學模型可以等效為圖2所示的兩慣性質量—彈簧系統：其中Jm、JL分別為電機和負載端的轉動慣量，Tm、TL、Tsh分別為電機力矩、負載阻力矩和彈性軸扭轉力矩，Ksh為彈性軸剛度系數，ωm、ωL為電機和負載的角速度。

圖2 軋機主傳動系統模型圖

(8)

(9)

性能指標取為：

(10)

其中:

Jm=1552kg·m2，JL=1542kg·m2，

Ksh=5.93×106N·m·rad-1，Q=1，R=1

三、“最優控制”課程教學案例開發與實例

基于Matlab軟件平臺，將上述工程應用開發為“最優控制”課程典型教學案例，主界面如圖3所示，點擊啟動按鈕進入教學案例仿真界面。每個案例包括模型建立、控制原理展示、程序編制和仿真結果展示幾部分。下面以軋機主傳動速度跟蹤系統為例，介紹其基本運行過程。

圖3 系統運行主界面

圖4為跟蹤問題控制的基本原理，圖5為跟蹤控制問題的Matlab仿真程序，圖6為給定跟蹤速度為27.3rad/s控制效果。

圖4 跟蹤問題控制原理

圖5 Matlab仿真程序

圖6 系統運行仿真曲線

結語

針對經典變分法、極小值原理、狀態調節器和跟蹤問題，結合工程實際并利用Matlab開發了“最優控制”課程教學案例，使學生對最優控制的幾種典型方法從控制原理、對象模型、仿真程序和仿真結果等幾方面都能夠進行深入了解，將理論與實際更好地進行了結合，提高了學生的學習興趣、分析問題和解決問題的能力，增加了教學過程的交互性、啟發性與創新性。