算法與數(shù)學(xué)

人類發(fā)明計算機，最初就是用來計算的，代替人來進(jìn)行復(fù)雜煩瑣和耗時的運算。

為了讓計算機能夠明白人想要什么、具備什么條件，就需要按照一定的規(guī)則為計算機提供計算的參數(shù)。漸漸地，人們發(fā)現(xiàn)很多問題都能抽象為數(shù)學(xué)問題讓計算機通過運算來解決。例如，人們需要計算機在屏幕上顯示出文字，就需要計算出這些文字的點陣信息；需要在屏幕上顯示一幅畫，就需要計算每個像素點的顏色信息，以及如何用三原色來組合得到；需要在屏幕上顯示動態(tài)變化的畫面，就需要計算每個像素點的顏色變化，以及如何更節(jié)省地處理沒有變化的像素；需要顯示三維圖形，就需要計算和生成用來構(gòu)成曲面的三角形……

可以說，所有的信息處理，對計算機而言都是運算，無論是文字處理還是圖像處理，無論是視頻動畫還是交互操作，無論是視聽娛樂還是數(shù)據(jù)分析，一切的一切，所有的人機交互過程，都是計算。

在信息世界中，一切皆是計算。所以，計算機的算力尤其重要，它從根本上決定了信息處理的速度和效率，因而人們對計算能力和速度的追求也就永無止境，計算機的運算能力在摩爾定律的推動下不斷迭代更新。然而，解決問題的最終效率，還取決于解決問題的方法，也就是算法。算法是解決某類問題的統(tǒng)一范式，代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機制。算法的好壞，無疑會影響計算的結(jié)果，尤其是在大量數(shù)據(jù)的處理方面，先進(jìn)的算法可以節(jié)省大量的資源，這是一個不斷優(yōu)化的過程。而有沒有相關(guān)的算法實現(xiàn)，更是決定了有沒有可能解決某一個問題。

于是，用計算機解決現(xiàn)實問題，就成為算法的本質(zhì)任務(wù)。而算法是基于數(shù)學(xué)和邏輯的，沒有數(shù)學(xué)，也就沒有算法。邏輯也可看作是哲學(xué)層面的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和突破，常常能直接應(yīng)用在最新的算法之中。

我們從最簡單的排序問題開始，實現(xiàn)排序的算法很多，如選擇排序、冒泡排序等；然后再看查找問題，相應(yīng)的算法有順序查找、折半查找等；接下來再看動態(tài)規(guī)劃和線性回歸，算法正漸漸成為為程序而生的算法，需要依賴程序結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)了。回到當(dāng)前計算機發(fā)展的巔峰——人工智能，其涉及的算法已經(jīng)非常復(fù)雜，隨機森林、蒙特卡洛等眾多的算法來自概率論、統(tǒng)計學(xué)、逼近論、凸分析等各方面的研究成果，并且圍繞人工智能的核心機器學(xué)習(xí)來推進(jìn)。這時候的算法，幾乎就是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是算法賴以形成的基礎(chǔ)。

以當(dāng)前熱議中的ChatGPT為例，作為基于Transformer架構(gòu)的生成式預(yù)訓(xùn)練語言模型，ChatGTP可以生成高質(zhì)量的自然語言文本。ChatGTP主要是針對生成任務(wù)進(jìn)行了優(yōu)化，它似乎能“聽懂”自然語言中對數(shù)學(xué)函數(shù)的描述，不僅能生成一般的知識性回答，還能生成專業(yè)論文甚至程序代碼。谷歌工程主管Matt Welsh表示，ChatGPT和GitHub Copilot預(yù)示著編程終結(jié)的開始，生成式AI將在3年內(nèi)終結(jié)編程。而ChatGPT驚艷表現(xiàn)背后的數(shù)學(xué)原理，正是基于“逆向概率”的貝葉斯公式。表面上看來，貝葉斯方法建立在主觀經(jīng)驗判斷基礎(chǔ)上，根據(jù)客觀事實不斷修正來分析事物本質(zhì)，似乎與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)相悖，但是其算法威力卻是驚人的。在我們認(rèn)識事物不全面的情況下，貝葉斯方法是一種非常理性且科學(xué)的方法，而這正好適合聊天機器人的進(jìn)化過程，也使得它超凡脫俗般地快速成長。

在信息世界中，算法決定著命運。而數(shù)學(xué)，則決定并引導(dǎo)了算法。