海水壓力到深度近似計算方法與誤差分析

李超

中海輝固地學服務（深圳）有限公司 廣東 深圳 518067

引言

高精度絕對水深測量在地球物理與巖土工程的研究中越來越重要，其中尋求厘米深度變化的板塊構造運動和水庫沉陷監測就是其中的一些例子。

在海洋工程用中，海底結構物安裝和檢測作業，跟蹤潛水員、水下機器人（ROV）、水下自動潛水器（AUV）和結構物也需要絕對深度。取決于所進行的工作類型，跟蹤這些被測物所需的精度可能不太統一。國際海事承包商協會（IMCA）提供了有關測量指南和精度的標準。

相對深度調查（相當于海底高度測量）也需要準確的深度確定。例如，膨脹彎尺寸測量需要確定管接口之間的深度差，以精確定制彎曲的跨接管；或者需要進行路徑深度測量以確定長基線（LBL）聲學應答器陣列深度，預期精度通常就是測量傳感器精度。

測量精密準確的絕對深度是一項復雜的工作，壓力到深度轉換的基本概念是靜水壓力，其中在時間（t）與海洋某個位置（x，y，z）測得的壓力可以表示為方程：

其中：x和y表示水平坐標，z是表面上z=0的垂直坐標。靜水壓力 (p0) 是位置(x,y,z)上方靜止水團重量施加的壓力的函數，由水柱的高度(z)量化；p′是海洋不斷運動引起的壓力的動態分量，它捕捉了壓力從靜態狀態的所有偏離。最后，pa是作為空間和時間函數的大氣壓力。計算水的重量需要估計重力(g(x,y,z,t))和水密度(σ(x,y,z,t))這兩個復雜的函數。

為了簡化數學問題，靜水壓力方程忽略了動態分量，簡化了假設條件。

靜水壓力到深度的轉換正式表示為：

其中：（dz）表示深度變化，與由密度（ρ）和重力（g）定義的水柱重量引起的壓力（dp）變化直接相關。

水的密度被定義為其單位體積的重量，其特征是水的溶解礦物含量或鹽度（s）的函數，其溫度（t）和由水柱的重量所施加的壓力（p）。海洋中的海水密度在深度上、地理空間上和時間上差異很大。重力是距離地心的高度及其整體密度質量的函數，它隨地理位置而變化。在物理學中，它可以看成是距離地心的高度(z)和緯度（?）或g=f（z，?）的函數。

即使考慮了這些變量，方程（2）沒有常規解，必須采用數值積分方法。

計算深度需要測量靜水壓力、水密度剖面測定值和該位置的緯度。壓力是用應變計或石英壓電傳感器測量的，密度分布是通過電導率、溫度和深度（CTD）傳感器測定的。

隨著時間的推移，壓力傳感器也在不斷發展和改進。第一批型號不像現代傳感器那樣精確，而且要貴得多。海洋中使用的第一個應變計壓力傳感器的精度通常為總量程的0.1%左右，而現代石英傳感器的精度為0.01 %或更高[1]。近幾年在研究壓力傳感器漂移與實時去除技術方面的研究進展將為石英壓力傳感器的精度提高一個數量級[2]。

1 壓力深度計算的發展

公式（2）的大多數近似計算都是基于桑德斯和福夫諾夫在1976年的研究成果[3]，公式（2）的積分得到如下：

積分來自于假定靜水壓力為零的海面。在實際應用中，這是通過在海平面上去除壓力傳感器上的大氣壓力讀數來實現的。

假設重力模型弱且線性依賴于壓力：并進一步簡化以深度代替壓力（或z代替p），它可以在公式（3）中實現。跟據此近似值引入的深度計算的誤差估計在10000m水深中為5cm。上面的重力模型非常簡單，忽略了重力異常，這些異常估計會產生的影響為5000m水中高達0.5m的變化。

將上述重力模型代入方程（2），得到：

其中：g0（用m/s2表示）是該緯度的表面重力，?（單位°）和γ是壓力（p）的平均重力梯度，單位為kg/m2。α代表海水的比體積，只是其密度（ρ）的倒數，單位為kg/m3。這是海洋學文獻中表達密度的一種常用方式。

公式（5）可以通過使用測量的密度分布和壓力測量的數值積分來求解。為了便于討論，本文將該方程稱為流體靜力深度的數值解。

桑德斯和福夫諾夫提出了一個僅基于壓力的近似計算公式（5），這將消除測量密度的需要，然后增加了一個針對特定海洋盆地的表格校正項。他們建議使用如下組合關系式：

其中：∝0描述了一個被稱為“標準海洋”比容的海洋學概念，而?描述了與這個基本狀態的偏差，或者一個特定海洋盆地的比容異常。將（6）帶入公式（3）得到如下公式：

其中：第一項表示標準海洋條件下的壓力與深度關系，第二項表示局部密度效應或與標準海洋條件偏差對深度的影響，即所謂的地勢異常。

用這種方式表示壓力深度關系的優點是，第一項只取決于壓力和緯度。根據桑德斯和福夫諾夫的說法，第二項被認為是較低階的，估計在5000m的深度處僅有從0m到3m影響。需要注意的是，當時提出這種近似計算方式時，壓力傳感器的精度低于第二個修正項的影響，因此在許多情況下，可以忽略它。

1.1 聯合國教科文組織（UNESCO）近似計算方法

福夫諾夫和米勒德在1983年通過擬合壓力的四階多項式代入到基于EOS-80密度公式精確計算值的表中，導出了公式（7）第一項更精確的近似計算。此表包括在0～12000 dBar范圍內的值，擬合后的精度估計為0.0002m或更高。這是相對于測試數據的相對精度，而不是絕對測量精度[4]。聯合國教科文組織壓力到深度關系公式為：

其中：?為緯度。地勢異常可以通過解析公式（7）中的第二項，提高該近似計算的精度。為了便于比較，本文將把兩種方法稱為“教科文組織密度法”公式（7）和忽略地形異常的“教科文組織壓力法”公式（8）。

1.2 平均密度近似計算方法

對公式（5）最簡單的近似計算是假設密度不取決于壓力，然后用從海平面的測量水深的平均密度（ ）替代。

針對測量水深的壓力計算公式：

這是忽略了海水可壓縮性的壓力與深度的線性關系。壓縮性效應由海水的體積彈性模量來描述。據福夫諾夫和米勒德在1983年研究成果中的估計，海水壓縮在1500m的水深中約為1%。

1.3 數值解

下面給出公式（5）如何用數值積分方法消除了前面描述的壓力到深度近似計算的需要。然后將該解決方案與不同的近似值進行比較，以突出它的不準確性和局限性。公式（5）可以用一種稱為“梯形積分法”的數值積分方法來求解。應遵循的步驟有：

1.3.1 對從海面到海床的水柱進行CTP剖面分析。理想情況下，應該每1dBar（大約1m）測量一次，在淺水區的間隔要略小。按照WG51-1991的規定處理CTD記錄的數據；

1.3.2 根據福夫諾夫和米勒德在1983年的研究，使用EOS-80公式計算剖面密度，并根據測量位置的緯度，使用國際重力公式計算局部表面重力；

1.3.3 采用合適的數值積分方案來計算密度對壓力的積分，如梯形積分。理想情況下，制作一個表格，其中一列為增加的水柱壓力，一列為每個壓力相對應的密度對壓力的積分值。

該方法適用于計算有CTD剖面數據的深度。

2 海洋工程深度測量實踐

目前，我們在海洋工程水深測量實踐中，Tritech與Valeport兩家公司的高精度深度計系列產品較為常見。

Tritech產品使用的計算公式為[5]：

其中：p單位為PSI，為數字石英深度計測量的絕對壓力；a單位為mbar，是海面大氣壓力；d是CTD測量的海水剖面平均密度；0.01450377 是mbar到 psi的轉換系數；0.70307 是標準密度的水由psi 到米轉換系數；Glocal是當地重力加速度。

從上面公式可以看出，計算深度計算考慮了當地的重力加速度，這是緯度的函數。深度計算中使用的當地重力加速度值由以下公式計算得出：

其中：Ge為9.7803184m/s2，B1為0.0053024，B2為-0.0000059，Lat單位為°，是當地緯度。

Valeport產品介紹中指明使用完整的UNESCO深度計算公式，以實現更準確的深度測量；同時使用UNESCO的標準方法，對水密度變化進行積分，由壓力計算深度，而不是僅平均密度的簡化方法。

Tritech產品使用的是使用密度和重力公式的靜水力學方程，而Valeport產品是使用的完整UNESCO深度計算公式。兩種產品的石英壓力傳感器精度相同，我們可以通過比較兩款產品的計算結果來評估兩種計算方法的精度。

2021年，作者通過南海陵水海域1500m水深區域的工程項目，ROV同時安裝上述兩款深度計并對它們的測深結果進行了比較。按操作規范，在海面處Set Tare，導入相同CTD密度剖面，通過在ROV工作層采集的計算深度的比較，兩款設備的深度平均值差0.001，標準方差相差0.01（凈值均小于0.02）。由此在海洋工程深度測量的需求上看，靜水壓力方程的數值積分與聯合國教科文組織密度公式深度計算結果基本一致并滿足工程實際。

3 結束語

基于壓力的深度近似解方案的誤差現在通常大于壓力傳感器的誤差。應利用現代海上測量裝備提供的豐富密度數據計算深度，從而發揮石英基壓力傳感器精度的全部潛力。

靜水壓力方程的數值積分得到了與聯合國教科文組織密度公式相同的深度計算，可以被認為是一個更完美的解決方案。實踐中，通過基于密度得到的深度近似計算值與聯合國教科文組織的壓力計算結果對照是對密度測量的一個很好的粗檢查。

平均密度公式應謹慎使用，并在其規定的范圍內使用。

對于這里所討論的相對深度計算，誤差通常小于壓力傳感器的精度。這與石英壓力傳感器表現出的壓力變化范圍小和高分辨率的優勢有關。