數學文化與GeoGebra融合促核心素養培養

陳月霜

（福建省廈門市第二外國語學校，福建 廈門 361100）

數學史料、數學文化融入高中課堂，保留學生的好奇心、提升學生學習興趣，激發學生主動思考的同時讓學生了解數學的思想淵源，體會數學的邏輯推理過程，發現數學的美，提升鉆研數學的興趣；培養邏輯素養、數學審美觀，培養創新精神，促進課改的快速落實，實現學科的“育人”功能。而數學軟件GeoGebr a是這幾年在可視化信息教學中最優具有勢的，它的優點不僅在三維圖的精致更是因為其出色的3D動態演示功能，做到了函數變化與幾何圖形的一致同步，是數形結合的完美體現，更是能涵蓋初等到高等數學知識的直觀展示。數學文化視域下的數學軟件GeoGebr a的融入輔助教學，雙管齊下，有效縮短學生對數學本質的理解過程，將核心素養中落在實處。

一、持之故，言之依，行之理

（一）發軔之始——與“學生經驗”初相識

執教以來，每當與學生進行交流溝通時，學生所反映的數學知識的晦澀難懂和無趣、所體現出的對數學的抵觸情緒總讓人深思：是在哪個環節的操作脫離了教育的“初心”？要想改變現狀，在完成教學任務的同時如何增加學生的學習興趣、盤活知識，讓學生愛數學而不是怕數學？讓學生對數學的回憶不是痛苦的學習經歷而是有趣的、鮮活的經驗的累積？這樣的思考一直縈繞，像一團霧，擋住了路。在再次對教育教學相關理論的學習中，杜威的教育經驗理念猶如一盞燈，照亮了前方的路：學生的學習經驗有待于深化，有待于上升到理論。依照數學的學科特色，“生活中的經驗”與“認知數學的經驗”構成了“學生經驗”，杜威將其細分為三種：“為何學的經驗”“學什么的經驗”“怎么學的經驗”。帶著這樣的認知，在備課中有意識向這三方面進行思考，并尋找和積累相關的教材及內容。

（二）踵事之華——從“學生經驗”到“核心素養”的跨越

杜威認為學生對經驗有連續性和發展性的特點，而學生的認知思維有最近發展區，以知識的先后次序為基本。教學時教師兼顧學生的心理邏輯和知識的層級，以學生易接受的方式展開學習內容。這不僅要基于數學史更要符合學生的邏輯認知，便有了融入數學文化、數學史提升學生興趣與數學素養的想法。“發展數學學科核心素養的前提是對數學知識的掌握，而對知識的理解與應用卻根植于學生經驗，指向學生核心素養的數學教學一定要植根于學生經驗。”充分理解了“學生經驗”才能更好地實現“核心素養”的育人目標，從“學生經驗”到“核心素養”的實現需要打破“已有經驗”，喚起學生“我要學”的欲望，實現核心素養的主動化發展；打破深根固蒂的“已有經驗”，通曉“怎么學”的路徑，促進核心素養發展的系統化。新課改提出通過數學史培養愛國主義思想的目標，而2019版的新教材在“平面向量”章節中增加移入了原來在三角函數章節中的“解三角形”，是“基于數學史實與學生經驗整體性的一次重新整合。”數學文化及數學史的滲透有助于從學生經驗到核心素養的跨越。數學文化的融入，不僅增加學習的興趣，讓學生有了比較愉快的學習經歷，喚起“我要學”的欲望；數學史的融入，讓學生理清或厘清了知識的來龍去脈，有了知其然并知其所以然的學習經驗。通過對數學史料的重構，學生經歷著知識的發生發展過程，在這樣學習經驗的驅使下，學生學習的自主性被激發，成為課堂上學習的主體。

（三）滿載而歸——雙管齊下促素養

明確教學思路后，再繼續對數學史的滲透研究學習中接觸到HPM，數學史與數學教育理論，依據汪曉勤教授的四種教學方式進行數學史的滲透教學，通過信息技術既可以發揮數學史的多種教育價值，又不增加學生的負擔。信息技術與HPM的結合是一個重要的課題，HPM視角下的數學教學有助于培養學生的必備品格，它遵循歷史相似性原理、建構主義理論、有指導的“再創造”理論。數學軟件GeoGebr a具有動態呈現、便捷操作的功能特點，在概念教學、性質展示、定理探究等方面充分發揮其長處。在具體課堂教學中，借鑒數學歷史問題，創設感知數學概念的動態情境，呈現形成數學概念的動態表征；借鑒歷史重構概念的發生過程，設計同化數學概念的視覺空間，提供強化數學概念的動態數據，培養邏輯數理智能，兩者結合，雙管齊下，促進直觀想象，邏輯推理等數學核心素養的培養，促進課程改革快速落實，體現數學學科育人功能。

二、足于課堂，行而不輟，履踐致遠

（一）在平面知識的融合應用

平面，它貫穿于立體幾何的始終，從數學發展（HPM）的角度來看，在平面如何理解與定義上，數學家們經過長期的嘗試，將其作為一個不加定義的基本概念。但是，如何更本質的描述和理解這個概念的結果？事實上，對平面的本質特征的認知濃縮在刻畫平面的三個基本事實中（用三個基本事實來刻劃它的“平”、“無限延展”的基本特征，掌握確定平面的基本要素），對于這三個基本事實的理解，有益于培養學生的核心素養。

例如在進行平面的概念教學時可以進行數學文化的融入：先復習回顧、探究歷史、感知平面，滲透學科內容之美、欣賞學科之美。通過網絡視頻介紹西湖（水光瀲滟晴方好，山色空蒙雨亦奇）、高原明珠——納木錯湖，引入“平面”這一學習重點，感知平面，感受自然美、欣賞數學學科之美，陶冶學生的情操，培養學生的審美素養。應用“平面”數學史的微視頻讓學生認知“平面”作為一個基本的概念，不加定義而只加以描述。數學家們經過長期的嘗試和堅持，歷經古希臘時期的平面定義，18世紀的平面包含式定義以及構造性定義，19世紀末的公理化定義。人們經過不斷研究發現，平面也和集合一樣，是原始概念，所以德國數學家希爾伯特在其《幾何基礎》中就將平面作為不加定義的概念。這樣的融入讓學生感悟數學家迎難而上、挑戰自我、頑強拼搏的精神；領悟開拓創新、精益求精的勞動精神，引導學生健全其世界觀、豐富其歷史觀、促進其人生觀的形成。

再如在進行平面的性質教學時融合應用GGB提高核心養：平面的性質抽象性比較強，學生較難掌握，教學時通過Geogebr a網頁3D幾何的直觀展示直線密鋪平面的過程，引導學生得到平面的性質：平面的3個基本事實,平面的3個推論，降低知識抽象性和學習難度；同時也進一步培養學生的直觀想象素養。數學軟件GeoGebr a的3D直觀展示不僅讓學生感悟模型的科學美、認識數學學科內容之美，激發積極的學習興趣與情感，進行信息技術融合課堂，同時展示數學對象動態生成的全過程，感悟運動之美，讓學生觀察、思考并進行類比，感悟數學研究的方法，提升學生直觀想象和數學抽象的核心素養。

（二）在圓錐曲線知識的融合應用

希臘人很早就知道：圓柱或圓錐被平行于底面的平面截得的截線是圓。平面不平行于底面時的截線自然也就引起希臘人的注意，他們將其分為銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐，這是最早的圓錐曲線。這三種曲線是有其內在聯系，阿波羅尼奧斯生動的描述了圓錐曲線并研究其性質，它們不是單純的靜態曲線而是物體運動的常見形式。如何讓學生從動態的角度去理解這一點，并掌握三種圓錐線的特征和共性，讓感性認識理性化？可以通過GeoGebr a軟件3D動態展示生成圓與圓錐曲線的過程，體現這些曲線的共性；通過數學文化幫助學生在知識儲備、直觀感知、活動體驗的基礎上逐步建構概念，促進學生數學思想方法的良好形成。

例如在圓錐曲線復習課中的應用：先通過信息技術GeoGebr a數學軟件演示，引導學生認識截面與圓錐的軸所成的角不同時得到的不同的截口曲線，再從數學史的角度回顧三種曲線的方程發現過程，橢圓拋物線：y2=px，雙曲線接著引入問題：動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離的比是常數，求動點M的軌跡。引導學生思考當直線改變或者比值常數改變時軌跡是什么？是之前熟悉的圓嗎？將距離之比設為k，通過k值的變化我們會得到了什么？在通過數學軟件GGB構建小程序活動，編寫指令、更改參數k的值，通過k值的變化得到了橢圓、雙曲線和拋物線，利用軌跡跟蹤功能讓學生更加直觀和連續地觀察數學對象的運動過程，對三維空間中的圖像進行全面編輯展示，將三種曲線統一，三種曲線之間的內在聯系是圓錐曲線統一性的表現，是個性與共性的體現。通過k值的展示使概念的引入及定義的給出做到了銜接自然、光滑，也與學生的認知水平相適應。同時讓學生從整體上把握本章的學習內容與基本框架，為學生提供一個系統學習的構架，積累基本活動的經驗及在實踐中的體悟，同時深化為學生對坐標法研究問題的基本思路與基本方法的理解。而軟件中的代數表達區與繪圖展示區的同步變化數形結合思想的最佳體現，學生對其理解有了最直接的實例，學生在數學活動中積累了對圓錐曲線的認知經驗，明確了為何學，同時提高了直觀想象素養。

（三）在橢圓知識的融合應用

在圓錐曲線中，橢圓應該是最早被發現的，教材遵循歷史發展順序將其放置于“圓錐曲線與方程”這一章節的第二節并在章引言中提到橢圓的起源，其內容起到的是承上啟下的作用。但在日常生活中，學生雖對橢圓的大致形狀已經有了一定的感性認識，但并不清楚橢圓上的點滿足的幾何特征，對橢圓的理性思考與認知不足。而如何讓學生對橢圓的認知由具體實物提升到抽象概念的核心是對橢圓進行數量上的描述，即定量，以及性質特征上的描述——定性。解決這個問題可以HPM理論為依據，在橢圓起源與發展的歷史背景中通過GGB軟件模擬演示橢圓繪制過程和展示折紙成橢圓的過程，呈現形成數學概念的動態表征，強化橢圓的概念的抽象與建立過程，發展數學抽象素養。借助數學史上的旦德林雙球模型抽象出橢圓的定義并研究橢圓上的點滿足的幾何特征；將對空間幾何體圓錐橢圓的研究轉化為在平面內研究橢圓，體現化歸思想，提高學生的數學核心素養，將數學“史學形態”轉化為“教育形態”。

例如在橢圓定義教學中的應用：先通過GGB軟件模擬演示橢圓繪制過程和展示折紙成橢圓的過程，讓學生經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，呈現形成數學概念的動態表征，強化橢圓的概念的抽象與建立過程，發展數學抽象素養，再通過GGB軟件展示歷史上的“旦德林雙球”，通過雙球模型來研究橢圓上的點滿足的幾何特征，讓學生經歷實際繪制橢圓的過程、認識橢圓上點的幾何特征，再根據橢圓上的點滿足的幾何條件列出橢圓上的點的坐標滿足的方程，應用軟件化簡所列出的方程，得到橢圓的標準方程。讓學生經歷推導橢圓方程的過程，掌握橢圓的定義、標準方程，具有“怎么學的經驗”也發展數學運算等核心素養。最后通過數學史料“杰尼西亞的耳朵”這一傳說，用坐標法得到相關數據，解決傳說問題。這樣將實際問題抽象成數學問題，培養學生的數學建模等核心素養、進一步深化坐標法解決幾何問題的思想；也讓學生體會到數學來源于生活、應用于生活的理念。

三、結語

悟以往，要而論之。歷史相似性原理告訴我們，學生對數學知識的理解過程與數學的歷史發展過程具有一定的相似性。由此，教師可以借助數學史對學生的認知障礙進行預測,能夠有針對性地制訂相關教學策略；也可以適當選取相關的史學材料滲透到教學中，提升學生學習興趣、講清相關數學知識和概念的來龍去脈，介紹數學方法；學生了解數學的本質作用，知其然知其所謂，全面發展學生的各個數學核心素養，這也是HPM視角下的課堂教學的優勢。而近幾年信息技術的深度整合課堂，將可視化教學推到課改前沿，其巨大優勢符合國家高技術高素質人才培養的發展規劃，其中3D動態軟件GeoGebr a更是在學生感知數學方面提供了非常好的環境支持，為課堂增添了活力和趣味性，提高了教學效率；在探究中使用GeoGebr a一步步將復雜的過程清晰的展示講解，提高了學生的抽象思維能力、邏輯思維能力。數學史與數學軟件GGB，一個“古”，一個“今”，二者融合滲透，雙劍合璧,開劈數學核心素養培養新角度、新方式，實現課改的快速落地、數學素養培養的高效實施。