空射運載火箭軌跡/穿越距離優化設計

李 飛,楊 銳,閔昌萬,張廣勇,呂 艷,郜義蒙

(北京宇航系統工程研究所,北京 100076)

20世紀90年代,美國軌道公司設計并完成了世界上首款空射運載火箭“飛馬座”,該型火箭先后完成了42次發射任務,大幅降低了衛星發射成本[1]。近年來,科學技術的進步和大型運輸機運載能力的不斷提升,為新一代空射運載火箭的出現提供了必要的物質和技術條件。英國“維珍”航空公司設計研制了“LauncherOne”空射運載火箭,充分利用了空基發射靈活機動、效費比高等優勢進行商業發射[2-4]。但空基發射特有的亞聲速、水平投放方式導致空射運載火箭軌跡設計具有以下難點：①空射火箭點火后大攻角拉起段一般處于稠密大氣層[5],火箭截面載荷驟增,為了承受火箭飛行過程中巨大的彎矩需要對其局部進行結構加強,不合理的攻角拉起樣式將產生過大的截面彎矩,付出較大的結構質量代價,進而影響運載能力。②有人駕駛載機進行空射運載火箭投放時必須重點關注載機安全性,在滿足火箭設計約束的前提下盡可能使火箭點火后的軌跡遠離載機,避免火箭尾焰對載機產生干擾,過大的安全距離同樣會犧牲火箭運載能力。

空射運載火箭研制難度大、技術風險高,國內外科研機構對空射運載火箭進行了大量的研究。楊明等[6]針對空射近空間飛行器軌跡規劃問題,結合各飛行段特點,建立了多段參數化軌跡優化模型,利用粒子群優化算法獲得了多約束條件下的上升段軌跡;茹家欣[7]將空射運載火箭的助推段彈道設計轉化為攻角、俯仰角、時間等變量的設計,通過參數優化方法實現滿足衛星入軌條件的最優軌跡設計;高云逸等[8]分析了空射運載火箭點火姿態對運載能力的影響規律,得到了傾斜點火方案既能避免大攻角飛行造成的載荷問題,又能提高火箭運載能力的設計規律。聶川義等[9]通過序列二次規劃方法對飛行程序角進行優化,實現了對確定優化目標的軌跡快速生成。這些相關研究在火箭上升段軌跡優化中考慮了過載、動壓等因素,但對于受載機穿越距離、最大載荷約束下的最優軌跡設計鮮有介紹。為此,本文提出了一種空射運載火箭軌跡/載荷/穿越距離優化設計方法,從軌跡設計頂層對穿越距離、載荷進行約束,解決三者間強約束、強耦合問題,為未來空射運載火箭研究提供參考。

1 數學建模

1.1 質心運動方程

考慮地球為不旋轉圓球模型,在半速度坐標系下建立空射運載火箭質心動力學、運動學方程：

(1)

式中：r為地心矢徑,φ為地心緯度,λ為經度,v為飛行速度,θ為彈道傾角,σ為彈道偏角,FP為發動機推力,α為攻角,υ為傾側角,G為引力常量,FL為升力,FD為阻力。

(2)

式中：Sref為氣動參考面積;CD,CL分別為阻力系數和升力系數;ρ為大氣密度。其中大氣密度ρ按下式計算：ρ=ρ0e-h/h0。式中：ρ0為地面大氣密度,取1.225 kg/m3;h為飛行高度;h0為參考常量,取7 110 m。

1.2 穿越距離模型

空射運載火箭投放后先自由下落,隨后發動機點火進行軌跡拉起,火箭軌跡拉起后應與載機拉開足夠的距離,從而保證載機安全。假設載機投放后按投放高度以勻速直線運動沿初始航線繼續飛行,穿越距離定義為火箭與載機飛行高度達到同一高度時的相對距離Δs,如式(3)所示。由于火箭后續飛行將快速遠離載機,因此當火箭穿越載機后穿越距離不再作為火箭后續飛行軌跡設計約束。

(3)

式中：sv為火箭飛行絕對距離;sp為載機飛行絕對距離;H0,φ0,λ0,v0分別為火箭投放時刻高度、緯度、經度、速度;Rm為地球平均半徑。

1.3 載荷計算模型

空射運載火箭特有的大攻角拉起模式會引起載荷大幅增加,保證火箭運載能力的前提下降低火箭最大飛行載荷是空射火箭軌跡設計的主要任務之一。載荷計算中一般考慮各截面的剪力和彎矩兩項,針對空射運載火箭,截面彎矩一般構成主要設計約束。本文研究中根據參考文獻[10]中的截面彎矩計算公式,忽略箭體轉動角加速度與角速度影響,形成火箭各截面彎矩計算公式：

式中：i為參考截面,i=1,2,…,K,K為參考截面的數量;n為分站點;Mi為第i截面彎矩;q為飛行動壓;CN,n為第n站法向力系數;xN,n為第n站法向力作用點;mn為第n站分站質量;g為標準重力加速度;xg為質心位置;ny為法向過載;ε為角加速度,靜態分析時置零;xm,n為第n站質心位置;FR為發動機操縱力;xR為發動機操縱力作用點;J為繞質心轉動慣量。Δ(I)為單位階躍函數,I<0,Δ(I)=0;I≥0,Δ(I)=1。

2 軌跡優化

近年來,國內外諸多學者對軌跡優化方法進行了深入研究,例如凸優化方法[11-12]、遺傳算法[13]、偽譜法、序列二次規劃法[14]等,其中偽譜法技術成熟,被廣泛應用于火箭總體/彈道一體化優化、臨近空間可變性飛行器軌跡優化等方面[15-16],Gauss偽譜方法(GPM)是一種基于全局插值多項式的直接配點法,它相對于一般直接配點法的優勢是可以用較少的節點獲得較高的精度,成為直接方法求解最優控制問題中的典型代表。本文利用Gauss偽譜法對空射運載火箭軌跡/載荷/穿越距離進行優化。

1)目標函數。

空射運載火箭上升段軌跡優化目標函數一般為運載質量最大。由于空射火箭大多采用固體火箭發動機,起飛質量一定,因此火箭運載能力可以通過相同終端條件下交班速度進行衡量,交班速度越大,運載能力越強。即：J=-vf。

2)狀態量。

3)控制量。

4)終端約束。

空射運載火箭終端約束可設為交班高度Hf、交班傾角θf,如下所示：H=Hf,θ=θf。

5)過程約束。

過程約束主要包含動壓約束、法向過載約束、熱流約束、穿越距離約束以及載荷約束。空射運載火箭最大載荷分縱向最大載荷與側向最大載荷,其中縱向最大載荷與動壓和攻角的乘積相關,也可認為是與法向過載相關,側向最大載荷則主要受最大動壓影響。

①動壓約束。q≤qmax,式中：q=ρv2/2。

②法向過載約束。空射運載火箭法向過載約束一般產生在大攻角拉起段,此時,Ny≤Ny,max,式中：Ny=(FLcosα+FDsinα)/m。

③穿越距離約束。為了保證載機安全,空射運載火箭穿越距離應大于約束值,即Δs≥Δsmin。

④載荷約束。一般情況下,火箭質心位置為箭體載荷最大點,因此近似以火箭質心位置縱向彎矩Mz約束火箭箭體最大載荷：Mz≤Mz,max。

3 仿真與分析

目前空射運載火箭總體布局分2種：一是以“飛馬座”為代表的帶三角翼設計方案,利用三角翼為一級拉起提供足夠大的升力,但三角翼會帶來氣動阻力增加、結構質量增大,降低運載能力;二是以“LauncherOne”為代表的無翼設計方案,采用旋成體+“X”字形舵布局形式。本文以類“LauncherOne”兩級固體空射運載火箭為研究對象,火箭以水平方式進行投放,最大可用攻角不大于25°。火箭投放高度選用波音747飛機巡航高度12 km,投放速度為Ma=0.8。一般情況下認為火箭質心與載機質心位置大于2 km以上時火箭尾焰對載機影響幾乎可忽略,火箭的載荷受法向過載、動壓、攻角三重因素影響,可根據結構強度設計要求反算最大設計載荷,再根據火箭的最大可用攻角規劃出法向過載可使用區間,以某空射運載火箭為例,得到軌跡優化設計約束如表1所示。

表1 設計約束Table 1 Design constraints

3.1 算法驗證

基于本文提出的空射運載火箭軌跡/載荷/穿越距離優化設計方法開展仿真分析,驗證優化算法對不同交班條件下的適應性。空射運載火箭一般由運輸機水平投放,飛機可根據飛行條件自由選擇投放高度,火箭的交班條件也可根據運載要求在近空間范圍內選擇,因此本文針對不同投放高度、交班高度、穿越距離下算法的適應性進行驗證,覆蓋空射火箭的使用剖面,仿真條件如表2所示。

表2 不同條件下仿真算例Table 2 Simulation examples

優化得到空射運載火箭典型軌跡參數曲線如圖1～圖4所示,穿越距離如表3所示。

圖1 高度-航程曲線Fig.1 Height-range curve

圖2 速度-時間曲線Fig.2 Velocity-time curve

圖3 攻角-時間曲線Fig.3 Attack angle-time curve

圖4 彎矩-時間曲線Fig.4 Bending moment-time curve

表3 穿越距離Table 3 Crossing distance

由以上仿真結果可知,對于空射火箭不同的使用剖面,本文提出的優化設計方法可實現在滿足載荷、穿越距離約束下的軌跡優化,優化結果中各項指標均不超過設計約束,優化結果與預期相符,驗證了算法的有效性及參數適應性。進一步分析可知,從能量最優角度考慮,不同發射條件下空射運載火箭最優軌跡對應一級最大飛行攻角趨于攻角最大約束上界,穿越距離趨于約束下界。

3.2 參數影響分析

空射運載火箭軌跡設計的難點是在滿足各項設計約束的前提下實現減載、提升運載能力,其軌跡設計主要受使用條件、設計約束、設計參數影響。本節采用3.1節的方法對空射運載火箭設計中的典型因素進行分析,為提升火箭總體性能提供優化方向。

空射運載火箭軌跡設計受發射剖面的影響,空射火箭是在一定高度、速度域內發射,一般情況下火箭發射高度越高,大氣密度越稀薄,火箭飛行過程中的速度阻力損失越小,火箭最大載荷越小,因此希望火箭能夠在較高高度處進行投放,充分發揮空射火箭的優勢。

空射運載火箭軌跡設計常受載機運載能力和安全性的限制,其穿越距離約束直接影響火箭軌跡設計,進而影響火箭運載能力與最大設計載荷,是整個空射運載火箭設計的頂層輸入。空射運載火箭軌跡設計本質是程序角設計,程序角設計的優劣決定了火箭性能的好與壞。綜合以上兩方面空射運載火箭穿越距離設計決定了火箭軌跡設計的可行區間,程序角設計則決定了火箭在可行區間內的總體性能。下面針對穿越距離與最大攻角進行分析,闡述兩者對火箭性能的影響。

①穿越距離影響。一般而言,可近似認為穿越距離越大,火箭點火后對載機威脅越小。圖5和圖6給出了不同穿越距離對火箭載荷的影響。

圖5 高度-穿越距離曲線Fig.5 Height-crossing distance curve

圖6 最大彎矩-穿越距離曲線Fig.6 Maxmun bending moment-crossing distance curve

由仿真結果可知,火箭穿越距離增加后,載荷顯著增大。這是由于火箭為了滿足穿越距離要求,需要較長時間在載機下方飛行,載機所處空域大氣密度較大,隨著火箭不斷加速,加之大攻角彈道拉起動作,導致載荷顯著增大。載荷增加后,為了保證火箭完整性,必須對結構進行加強,進而使火箭性能下降,由此可見穿越距離是影響空射火箭軌跡設計的重要因素。

②最大攻角影響。空射運載火箭點火后需要以大攻角快速拉起,受載機巡航速度影響,火箭大攻角飛行階段一般處于亞聲速,大攻角飛行帶來姿控設計難度,圖7～圖10給出了不同最大攻角對火箭性能的影響。

圖7 攻角-時間曲線Fig.7 Attack angle-time curve

圖8 不同最大攻角下高度-穿越距離曲線Fig.8 Height-crossing distance in different maximum attack angle curve

圖9 末速-最大攻角曲線Fig.9 Terminal velocity-maxmum attack angle curve

圖10 最大彎矩-最大攻角曲線Fig.10 Maxmum bending moment-maxmum attack angle curve

由仿真結果可知,在一定范圍內,火箭最大攻角越大,穿越距離越小,最大載荷越小,運載能力越高。提高火箭最大攻角可使火箭快速穿越稠密大氣,降低阻力損失,對載荷及運載能力是有利的。空射運載火箭最大飛行攻角是穿越距離、姿控能力、火箭性能三者之間的權衡,在滿足前兩者要求的前提下提高最大攻角可有效提升火箭運載能力。

4 結束語

本文針對空射運載火箭面臨的載荷、穿越距離問題,推導了機箭穿越距離模型,并利用該模型提出了軌跡/載荷/穿越距離優化設計方法,該方法能夠快速獲取滿足各項約束條件的最優能量軌跡。同時本文對空射運載火箭中典型設計參數對火箭性能的影響進行了詳細分析。由仿真結果可知,火箭在姿控能力允許的范圍內以大攻角進行拉起、縮短穿越距離(需滿足載機安全性要求)、提高投放高度對空射運載火箭降低最大飛行載荷以及總體性能的提升有利,為未來空射運載火箭研制提供優化方向。