欠驅動兩自由度機械臂LQG/LTR控制

徐玉龍, 王學林, 張磊, 王鵬

(齊魯工業大學(山東省科學院)自動化研究所/山東省機器人與制造自動化技術重點實驗室, 濟南 250014)

欠驅動系統是控制輸入維數小于自由度維數的一類系統[1],其節約能量、降低造價、減輕重量、收縮體積、增強系統靈活性等特點,使其在無人機、機器人等諸多重要領域有著廣泛的應用[2-3]。欠驅動機械臂是一種典型的垂直欠驅動機械系統[4],由兩個機械臂組成,第一個機械臂(肩關節)有驅動單元,為主動臂;第二個機械臂(肘關節)無驅動單元,為欠驅動臂;在運動范圍內,僅有有限個平衡點。在欠驅動機械臂平衡點控制方面,中外許多學者已經開展了多方面的研究,采用的主要控制方法有混合控制[5]、比例積分微分(proportional integral derivative, PID)控制[6]、無源控制(passivity-based control, PBC)[7]、線性二次型調節器(linear quadratic regulator, LQR)控制[8-10]和滑模變結構控制(sliding mode variable structure control,SMC)[11-13]等。PID控制器具有使用簡單、調節方便等優點,但是其控制精度相對較低,對不穩定平衡點的控制不夠精準。張亞軍等[6]提出了未建模動態及其未知增量補償驅動的非線性PID控制方法,應用于欠驅動機械臂平衡控制系統,消除了系統非線性特性的影響,但該方法采用自適應神經網絡的模糊推理系統對未建模動態增量進行估計,需要進行大量充分的網絡訓練,實時性會隨著控制器復雜度的增加越變越差。Wu等[7]提出了一種傅里葉變換與智能控制算法相結合的欠驅動機械臂控制策略,定義一個與控制扭矩相同的周期函數,通過求解該函數的傅里葉級數得出控制器,根據角動量定理和粒子群優化算法來求解常數項和諧波項,來實現對系統的有效控制,但該扭矩周期函數難以定義,且需要進行復雜的調試。LQR[8-9]作為一種穩定控制方法,其設計便利,適用于多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)線性系統,最早由Block應用于欠驅動機械臂系統。Huynh等[10]建立五連桿欠驅動機械臂數學模型并線性化,將LQR控制方法成功應用于欠驅動機械臂系統,但當LQR應用于復雜的非線性或強耦合系統時,其抑制噪聲干擾性能較差。滑模變結構控制[11-13]方法是一種非線性控制方法,適用于欠驅動等耦合性較強的一類系統。Huynh等[11]將分層滑模應用于欠驅動機械臂,利用李雅普諾夫不等式尋找控制參數之間的關系,通過遺傳算法求解滿足條件的滑模面參數,成功使系統穩定在期望位置。史玲玲等[12]提出了基于可變增益的滑模控制器,通過引入可變增益,該增益可根據系統的不確定性和運動狀態進行調整,使得該控制器具有較強的魯棒性,克服了傳統滑模控制存在的低精度問題,提高了機器人位置控制精度。郭文東等[13]提出了一種基于反演法的新型軌跡跟蹤控制策略,采用分流技術設計運動學控制器,干擾觀測器和自適應滑模相結合設計動力學控制器,克服了速度跳變與精度問題,但滑模控制方法到達穩定的時間較長。另外滑模變結構控制方法運用時需要設計滑模面和趨近律,其設計需要一定控制經驗,切換滑模面時常存在高頻抖震現象,不利于系統的穩定控制。上述控制方法主要側重于平衡點控制算法的研究,未考慮隨機噪聲對平衡點控制的影響。

線性二次型高斯控制[14](linear quadratic Gaussian control, LQG)方法是一種基于狀態觀測器的線性最優控制方法,能有效處理系統建模不確定和狀態變量不能全部直接觀測且觀測數據有附加噪聲干擾的線性系統控制問題,其以良好的魯棒性和解耦特性,使得該控制方法在多變量控制系統設計中得到廣泛應用,具有很高的工程應用前景,但狀態觀測器的引入將使系統的穩定裕度減小。為此采用回路傳輸恢復[15](loop transfer recovery, LTR)技術,恢復后的系統穩定裕度可以逼近LQR控制。本文研究采用具有回路傳輸恢復的線性二次高斯(the linear quadratic gaussian control with loop transfer recovery, LQG/LTR)控制方法,設計欠驅動機械臂系統平衡控制器,抑制復雜環境下不明噪聲干擾,實現欠驅動機械臂不穩定平衡點的鎮定控制。

1 欠驅動機械臂系統數學模型

1.1 動力學模型

系統模型如圖1所示。

m1、m2為連桿質量;θ1、θ2分別為連桿1與水平線之間的夾角和連桿2與連桿1之間的夾角;l1、l2為連桿長度;c1、c2為連桿的質心距;τ1為作用在連桿1上的控制力矩圖1 欠驅動機械臂模型Fig.1 Model of underactuated manipulator

利用Newton-Euler方程可得到系統的動力學方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

G(Θ)]

(7)

當欠驅動機械臂系統處于平衡位置時,主動臂與欠驅動臂的角速度和角加速度均為0,式(7)變為

(8)

式(8)中:g為重力加速度。

(9)

1.2 欠驅動機械臂系統線性化

(10)

式(10)中:

(11)

(12)

(13)

(14)

1.3 欠驅動機械臂系統穩定性分析

2 LQG/LTR方法的控制原理

2.1 LQG最優控制器設計

假設被控對象的數學模型為

(15)

式(15)中:Γ為常系數矩陣;ω(t)和ν(t)為互不相關的白噪聲信號,分別表示模型的不確定性和輸出端的觀測噪聲,假設這些信號是均值為零的Gaussian,具有W=E[ω(t)ωT(t)]≥0,V=E[ν(st)νT(t)]≥0,E[ω(t)νT(t)]=0統計特性,其中W為ω(t)的協方差矩陣,V為ν(t)的協方差矩陣。

LQG控制就是尋找最優反饋控制規律,使得

(16)

為積分環節;Σ為求和環節;γ(t)為系統參考輸入;G(s)為被控對象;和y(t)分別為系統估計輸出和系統觀測輸出圖2 LQG控制系統結構圖Fig.2 Structure block of LQG control system

被控對象傳遞函數G(s)與控制器傳遞函數矩陣K(s)分別為

G(s)=C(sI-A)-1B

(17)

K(s)=Kr(sI-S+BKr+KfC)-1Kf

(18)

最優控制輸入矩陣Kr和KF增益矩陣Kf分別表示為

(19)

ATPr+PrA-PrBR-1BTPr+Q=0

(20)

PfAT+APf-PfCTV-1CPf+ΓWΓ-1=0

(21)

式(21)中:Γ為可調參量矩陣。

2.2 回路傳輸恢復(LTR)方法

回路傳輸恢復方法(LTR)是一種用于解決部分狀態可觀測系統控制問題的控制技術,其基本的設計思路是設計KF估計器并選取適當的KF增益Kf,使線性二次型高斯(LQG)閉環控制系統的開環傳遞函數可以盡量去趨近相對應系統的LQR閉環控制系統的開環傳遞函數,恢復后的系統有著接近LQR控制方法的優越性能,且具有良好的噪聲干擾抑制能力。LQG/LTR方法可以有兩種方法去實現,一種是采用輸出端恢復,另一種是采用輸入端恢復[14-15],本文研究中采用前者,具體步驟如下。

(1)根據給定的狀態方程設計KF估計器。選擇合適的傳感器噪聲協方差矩陣參數和系統過程噪聲協方差矩陣參數W和V,使得KF回比函數GKF=C(sI-A)-1Kf的奇異值曲線滿足要求。

(2)設計LQR控制器。經過不斷地調節q的取值,讓輸出端的回比函數G(s)K(s)奇異值曲線逼近KF回比函數GKF=C(sI-A)-1Kf。G(s)K(s)=Kr(sI-A+BKr+KfC)-1KfC(sI-A)-1B。恢復后的系統,有更好的魯棒性,其增益裕度大,具有不少于60°相對裕度。

3 LQG/LTR控制器設計及仿真分析

3.1 LQG/LTR控制器設計

選取控制對象為欠驅動機械臂系統,設計LQG/LTR控制器,欠驅動機械臂系統模型參數為:p1=0.030 8 kg·m2,p2=0.010 6 kg·m2,p3=0.009 5 kg·m2,p4=0.208 6 kg·m2,p5=0.063 0 kg·m2。

由上述參數可以計算出系統系數矩陣為

(22)

(23)

圖3 開環系統伯德圖Fig.3 Open-loop-system bode diagram

圖4 恢復曲線圖Fig.4 Recovery curves chart

3.2 仿真分析

驗證LQG/LTR不穩定平衡點控制系統的鎮定能力,使用MATLAB/Simulink進行仿真,設置仿真時間為3 s,系統的采樣周期設置為0.001 s,重力加速度取g=9.81,輸入為γ(t)=0。仿真結果如圖5～圖9所示。

圖5 LQG/LTR的兩種初始偏離角度仿真圖Fig.5 Simulations of two initial deviation angles for LQG/LTR

圖6 LQG/LTR和LQR在噪聲(ω=0.05)下的仿真圖Fig.6 Simulations of LQG/LTR and LQR under noise (ω=0.05)

圖7 LQG/LTR和LQR在噪聲(ω=0.1)下的仿真圖Fig.7 Simulations of LQG/LTR and LQR under noise (ω=0.1)

圖8 LQG/LTR和LQR角速度仿真圖Fig.8 LQG/LTR and LQR angular velocity simulations

圖9 LQG/LTR和LQR力矩仿真圖Fig.9 LQG/LTR and LQR torque simulations

4 結論

針對復雜環境下,欠驅動機械臂不穩定平衡點穩定控制中存在的系統過程噪聲和觀測噪聲干擾問題,采用LQG/LTR控制方法設計了平衡點鎮定控制器,并在不同的初始條件和噪聲干擾下進行了仿真試驗,使該欠驅動系統快速穩定地鎮定在不穩定平衡點。得出如下結論。

(1)在面對復雜環境下存在的不明干擾時,LQG/LTR控制相較于LQR控制魯棒性更強,且有出色的抑制噪聲干擾性能,能夠顯著減少系統過程噪聲干擾和傳感器觀測噪聲對控制系統的影響。

(2) LQG/LTR控制對欠驅動機械臂系統的平衡調節、暫態穩定和干擾抑制等方面均有良好的控制效果,控制性能優于LQR,對于較大的噪聲干擾也有著出色的抑制能力,具有較好的魯棒性和穩定性。

(3)LQG/LTR方法可以解決復雜環境下系統過程噪聲和傳感器觀測噪聲等干擾所帶來的系統失穩問題,為欠驅動機械臂在復雜環境下的控制設計提供了一種新的控制方法,具有一定的工程應用前景。