從隨機變量的觀點看線性回歸模型

摘要：從隨機變量的觀點看，線性回歸方程的推導實際上是根據兩個隨機變量的兩組對應數據建立數學模型，估計它們的相關關系。這就和根據一個隨機變量的一組數據建立模型，估計它的大小一樣，都是用實際的頻率估計理論的概率這樣的概率與統計“一體兩面”思想的體現。由此，可以推動概率與統計思想的教學，并打通有關知識的內在聯系。相應的教學啟示有：區分不同情境下的數學建模；樹立由問題選擇方法的意識；強調技術進步的重要性。

關鍵詞：高中數學；隨機變量；線性回歸模型；統計建模；概率與統計

本文系教育部人文社會科學研究2022年度規劃基金課題“‘雙減’政策落地的教師教學知識研究”（編號：22YJA88068）的階段性研究成果。

隨著大數據時代的來臨，統計的作用愈發明顯。順應這種時代潮流，在高中數學課程中增加概率與統計主題的內容是恰當的。特別是統計內容，不應被當作一種應試的知識來學習，而應被當作一種認識世界的方法來學習。按照這種觀點來認識高中數學教材中的線性回歸模型（方程）內容，其處理方式，或者說其中應該滲透的一些思想觀念，是可以進一步考慮的。

各版高中數學教材在推導線性回歸方程（確定其中的參數）時，主要從統計數據出發，采用高斯、勒讓德等數學家提出的最小二乘法。最小二乘法在解構模型時，主要從誤差最小的角度考慮，這符合中學生的認識水平和經驗。但是，這種處理方法沒有滲透隨機變量的思想，可能導致學生學習了線性回歸方程后，仍然不知道如何用概率與統計的觀點看待復雜的社會、經濟問題中的隨機現象。

從隨機變量的觀點看，線性回歸方程的推導實際上是根據兩個隨機變量的兩組對應數據建立數學模型，估計它們的相關關系。這就和根據一個隨機變量的一組數據建立模型，估計它的大小一樣，都是用實際的頻率估計理論的概率這樣的概率與統計“一體兩面”思想［1］的體現，都有著最大可能性的意義［2］。

下面，用隨機變量的觀點重新認識與線性回歸模型有關的統計建模，以推動概率與統計思想的教學，并打通知識的內在聯系。

一、 從隨機變量的觀點看單一數據的模型

科學研究始于測量，測量不可避免地存在誤差，誤差從根本上說是由隨機性導致的，因為世界是隨機的［3］。于是，人們通常會通過多次測量，得到被測物體被測屬性的一組數據，然后取其平均值，當作真實值（理論值）。為什么會建立平均值這個模型來估計？

如果把不準確的、帶有隨機誤差的一組測量數據［設為xi（i=1，2，…，n）］看作被測物體被測屬性這個隨機變量（記為X）的多個取值，人們往往期望從中選取一個代表。這個代表要具有誤差最小的特點。于是，考慮總的測量誤差，它既可以表示為S=∑ni=1（X-xi）2（偏差平方和），也可以表示為S=∑ni=1|X-xi|（偏差絕對值和）。因為絕對值不太好處理，所以選擇平方和的形式。由柯西不等式不難推得：當X=1n∑ni=1xi時，S=∑ni=1（X-xi）2取最小值。同時，如果有兩組測量數據，要判斷哪一組數據更合理，則顯然應該在兩個總測量誤差的基礎上消除數據個數的影響。順著這個思路，樣本的平均值x和隨機變量的期望E（X）自然被引入，樣本方差的定義s2=1n∑ni=1（xi-x）2和隨機變量方差的定義D（X）=E［X-E（X）］2的合理性也自然得到了解釋。同時，這里不難推出：s2=1n∑ni=1x2i-x2，D（X）=E（X2）-E2（X）。

總之，在隨機變量的觀點下，平均值（期望）是一組測量數據的最佳代表，方差則是衡量一組測量數據好壞的標準。而由單個隨機變量（單一數據）經概率（統計）思想建立的期望（平均值）與方差模型，則是建立兩個隨機變量（成對數據）之間關系的模型的基礎。

二、 從隨機變量的觀點看成對數據的模型

（一） 判斷兩個隨機變量是否相關

事物之間存在著普遍的聯系?？茖W研究不只關心單個變量，更關心多個變量之間的關系。兩個變量相關主要表現為一個變量變化，另一個變量也隨之變化。如果變化趨勢一致，即同增或同減，則兩個變量正相關；如果變化趨勢相反，即一個增另一個減，則兩個變量負相關。隨機變量的理論值是其期望，隨機變量的變化可以看成圍繞期望產生的波動——從統計的角度看，就是實際值對理論值的誤差。因此，判斷兩個隨機變量是否相關，需要綜合考慮兩個隨機變量圍繞各自期望產生的波動（誤差）。

回頭來看教材給出的決定系數R2，代入b∧的估計公式，可以發現它就是相關系數的平方r2。從理論的角度看，即R2=r2=b2D（X）D（Y）。也就是說，決定系數（相關系數的平方）是（確定性視角下）因變量變化與自變量變化的比的平方（反映的是平方意義下的變化率）和（隨機性視角下）自變量方差與因變量方差的比（反映的也是平方意義下的變化率）的積。

由此，可以認識到R2（r2）表示自（原因、解釋）變量對因（結果、預計）變量變化的貢獻率。比如，R2（r2）=0.64，表示因變量的變化（偏差）有64%是由自變量的變化（偏差）引起的。顯然，R2（r2）越接近1，越能說明自變量變化是引起因變量變化的重要原因。對此，反過來思考，更容易明白：如果無論自變量如何變化，因變量都“巋然不動”，那么，這兩種因素之間就不存在相關（因果）關系了。

三、 教學啟示

“線性回歸模型”這種說法強調的是“模型”，而不是“方程”（“函數”），也就強調了數學建模，即具體的實踐研究，而不是抽象的理論研究。從數學建模的角度看，通過對“線性回歸模型”有關內容的分析、挖掘、串聯，可以獲得以下幾點教學啟示。

（一） 區分不同情境下的數學建模

數學建模是高中數學六大核心素養之一，搭建了數學與外部世界的橋梁，是數學語言作用的體現。數學建模還是一個對數學模型賦予意義的過程，各種變量、參數都有實際意義。這完全不同于純粹的數學研究，也是數學建模難以開展的原因之一。在教學中，應區分不同情境下的數學建模。傳統意義下的數學建模更多地指建立確定性的數學模型，比如利用方程、函數等從實際情境中發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，最終解決問題。這種方法在物理等學科中有成功的應用。與傳統意義下的數學建模不同，統計視角下的數學建模（統計建模）更多的是從問題、數據出發，建立的是非確定性的數學模型。因此，統計建模常常被稱為數據分析。傳統意義下的數學建模強調先有研究設計，再通過數據驗證研究設計的合理性；而統計建模更強調數據驅動的分析，即先有數據，再有模型，而不是相反。比如，確定線性回歸模型時，先通過畫散點圖，看到點大致分布在一條直線附近，才提出用直線來擬合，而不先提出一個線性回歸模型，讓所有的點都適應這個模型。

（二） 樹立由問題選擇方法的意識

數據分析的基礎是數據，所以，需要深刻把握數據的特點，根據問題、數據選擇模型。比如，回歸分析處理的是定距變量之間的回歸關系，獨立性檢驗處理的是分類變量之間是否相關。這樣，就可以讓學生看到是問題、數據的類型決定模型的選取，因而，把問題中涉及的概念轉化為操作性變量（視作隨機變量），再針對變量收集數據、整理數據、分析數據特點、建立數學模型，這種程序非常重要。而要獲得好的數據，就要把研究問題細化為研究內容，針對研究對象進行精巧的設計，特別是，處理有關心理、教育、管理等人文社科領域的問題時，首先要把復雜的概念轉換成可測量的變量，獲得沒有污染的數據（視為隨機變量的取值），才能進行數據分析。按照這樣的要求，高中數學教學中常見的統計案例其實離真實的基于數據而展開的研究工作還有相當的距離，離“適應數字化學習的需要，增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質；積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗”［6］的要求也有相當的距離。因此，強調“問題驅動—數據收集—方法選擇”具有重要意義。

（三） 強調技術進步的重要性

“數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是‘互聯網+’相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代社會生活的各個方面?！保?］計算機技術的發展大大改變了統計學的面貌，統計學在機器學習、人工智能等方面得到了廣泛的應用。教授中小學生算法、編程、計算思維和軟件操作是整個基礎教育課程應通盤考慮的事情。

總之，把基礎教育做好，支持學生的長遠發展，并不是一句空話，關鍵在于深入挖掘具體知識背后的“本質”、蘊含的“思想”等，并且通過這些具有一致性的大概念充分串聯有關的知識，形成良好的結構，以真正實現育人價值，提升遷移能力。

參考文獻：

［1］［2］［3］ 張勁松.認識隨機，把握生活——《醉漢的腳步》閱讀感悟與教學啟示［J］.教育研究與評論，2022（8）：115，116，110.

［4］ 徐章韜.從比例系數到相似比、三角函數——教育數學研究之八［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2019（3）：59.

［5］ 鄭毓信.數學教育及教育數學的幾點散思——“數學教育雜談”之七［J］.教育研究與評論，2022（9）：23.

［6］［7］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：7，7.