代數(shù)解題教學:重視“代”和“變”,培養(yǎng)結構感

劉東升

摘要：代數(shù)解題教學常常偏重程序性操作（“怎樣做”），而弱化思路分析（對“怎么想”的探索），不利于培養(yǎng)學生面對陌生情境時獨立解決問題的能力，特別是，會使學生在遇到一些要作適當變形和代換才能歸結到操作流程上的代數(shù)問題時感到困難；也容易造成思維定式，不利于學生思維靈活性的發(fā)展。對此，代數(shù)解題數(shù)學要重視由代數(shù)式子的一般性與可變性決定的“代”和“變”，努力培養(yǎng)學生的結構感。具體而言，要通過必要的分析和示范，凸顯目標指向下“代”和“變”的思維過程。

關鍵詞：代數(shù)解題；解題教學；代換；變形；結構感

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃特色項目研究所專項課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學’立人的實踐研究”（編號：TSXM/2021/06）的階段性研究成果。一、 誤區(qū)：偏重程序性操作，弱化思路分析

我國著名數(shù)學教育家曹才翰先生曾經(jīng)指出：“初中代數(shù)教材中，大量的是按法則、公式的形式出現(xiàn)，而這些法則、公式大都是帶有程序性的。”［1］例如兩個有理數(shù)相加，根據(jù)有理數(shù)加法法則，按照以下流程運算：識別類型、確定符號、絕對值運算。再如解一元一次方程，依次按照以下步驟操作：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。又如異分母分式相加減，先通分（需分析最小公倍式），化為同分母分式后再加減，這樣的過程也是帶有程序性的。

關于初中代數(shù)內(nèi)容的程序性特點，曹才翰先生歸納了七點教學建議與價值，包括“偏重記憶”“操作要靠練習來獲得”“對初學者有法可循”“示范模仿是必要的”“把簡單操作對接為復雜操作”“便于自學”“有利于形成技能”等。［2］

由此，代數(shù)解題教學中，教師常常組織學生基于題型（考點）分類訓練程序性操作。比如，對一元二次方程的應用問題，有些學校的備課組將其細分為數(shù)字問題、傳播問題、單或雙循環(huán)問題、增長率問題、商品銷售問題、圖形面積問題、動態(tài)幾何問題，等等。

然而，題型固化后解題的程序性操作偏重的是“怎樣做”，屬于解題技能，容易演變?yōu)橐环N機械的動作。這弱化了基于題意理解的思路分析（對“怎么想”的探索），不利于培養(yǎng)學生面對陌生情境時獨立解決問題的能力（加工思想材料時反映出來的比較穩(wěn)定的心理特點，如感知覺、注意力、記憶、聯(lián)想、推理等），特別是，會使學生在遇到一些要做適當變形和代換才能歸結到操作流程上的代數(shù)問題時感到困難。

例如，求分式（x－1）（2x＋1）（x2－x－2）x2的最小值。本題中分式的分子是兩個一次二項式和一個二次三項式的積，分母是一個二次單項式。如果按常規(guī)的解題程序?qū)⒎肿诱归_，則會得到一個四次五項式。如果沒有三次項和一次項，則很容易轉(zhuǎn)化為二次三項式（令x2＝t代換，即把x2看成一個整體），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解。但是，這里有三次項和一次項，所以很難處理。將其與分母約分，雖然消去了四次項和三次項，但是會新增“負一次項”和“負二次項”，依然很難處理。如果從對稱（平均）的角度考慮，把分子轉(zhuǎn)化為四個一次二項式的積，進而轉(zhuǎn)化為兩個二次式的積（因為分母顯然是兩個一次一項式的積），則只能出現(xiàn)一個沒有一次項的二次式，其他都是完整的二次式（即二次三項式），還是不知道如何處理。只有進一步嘗試轉(zhuǎn)化為兩個二次式積的各種情況，才有可能在兩個二次式分別與x約分后，發(fā)現(xiàn)x－1x這個公共部分（結構元素），再通過整體代換，把原式轉(zhuǎn)化成可以求出最值的形式，即二次式形式。具體解答過程如下：

此外值得一提的是，做好代數(shù)解題與平面幾何解題的銜接過渡，關鍵不是在代數(shù)解題中強調(diào)平面幾何解題強調(diào)的推理（因為代數(shù)代換與變形本質(zhì)上就是推理，強調(diào)推理只不過是在程序化操作的過程中讓學生注意算理，知道“為什么”，即“知其所以然”），而是強調(diào)平面幾何解題更加強調(diào)的思路分析（這樣才能讓學生學會探索，知道“怎么想”，即“知何由以知其所以然”）。

參考文獻：

［1］［2］ 曹才翰．曹才翰數(shù)學教育文選［M］．北京：人民教育出版社，2005：210，210222.

［3］［4］ 葉旭山.芻議初中代數(shù)推理教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（11）：1516，19.

［5］ 華羅庚.大哉數(shù)學之為用：華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，2018：119.

［6］ 徐彥輝.例析代數(shù)問題解答中“結構感”的培養(yǎng)［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2019（10）：5253.