大單元主題教學結構化實踐研究之“探究主題—結構初建課”

劉嘉 富艷姿

摘 ?要：以“橢圓的概念及標準方程”為例，從三個方面對大單元主題教學結構化實踐研究之“探究主題—結構初建課”進行說明：落實“八個圍繞”，完善教學設計；遵循“三段八環”，展開教學實踐；依據“目標檢測”，進行教學反思.

關鍵詞：大單元；主題教學；結構初建；橢圓的概念；橢圓的標準方程

為了全面貫徹國家教育方針，落實立德樹人根本任務，發展學生的數學核心素養，北京市朝陽外國語學校高中數學組以“主題”和“結構”為特色，對普通高中數學國家課程進行了必要的統整，將大家熟知的新授課整合為“探究主題—結構初建課”，并構建了相應的“三段八環”教學模式，如圖1所示.

[探究主題—結構初建課][課前][課中][課后] [三段八環] [講出來] [展示][交流][學進去][誘思][導學][靈活用][示范][模仿][遷移][創新][知識結構圖] [知識結構圖] [圖1 “探究主題—結構初建課”的“三段八環”教學模式]

在探究主題單元課時教學的過程中，“三段”指“學進去、講出來、靈活用”三個時段，而“八環”則是鑲嵌在三個時段中落實單元主題教學的相關要素.

“學進去”包含誘思和導學兩個環節. 誘思是通過創設學生感興趣的，與學習主題相關的情境誘發學生思考，目的是讓學生的思維進入課堂，此時創設“好的情境”是關鍵；導學是通過設計和實施問題串引導學生課堂跟進，目的是讓學生的思維留在課堂. 為了使設計更清晰、精細，我們要求問題串的設計要遵循“大問題、小追問、雙邏輯”的原則. 設計“大問題”要遵循數學邏輯：根據單元大問題形成單元結構并劃分課時，根據課時大問題形成課時結構并呈現其數學學科邏輯. 設計“小追問”要遵循教育邏輯：針對大問題，基于學生認知規律預設“腳手架”，根據課堂實際生成情況有選擇地拋出若干“腳手架”讓學生拾級而上，最終解決問題.

“講出來”包含展示和交流兩個環節. 展示是學生以擅長的方式闡述對所學主題內容的理解；交流是學生結合自己的理解對其他學生表達的觀點進行補充、質疑和研討，目的是促進不同認知水平的學生充分交流，在教師的參與下形成正確的結構化認知.

“靈活用”包含示范、模仿、遷移和創新四個環節. 示范是教師通過典型例題引領學生進行科學分析、解答與總結，通過語言、板書等方式給學生留下規范的解題程序與格式，是“靈活用”的基礎；模仿是通過設計與例題同類的練習題讓學生再現例題的解題程序與格式，實現程序化模式識別；遷移是通過設計與例題相關但又有明顯差別的、對思維要求相對更高的變式習題讓學生跳出定式、發散思維去分析求解，實現既能模式識別又能靈活變通；創新是通過設計與例題相關且具有挑戰性的思考題讓學生探究解題路徑，揭示問題本質，發展高階思維. 下面以“橢圓的概念及標準方程”新授課為例對“探究主題—結構初建課”予以說明.

一、落實“八個圍繞”，完善教學設計

“八個圍繞”對實現“四個理解、兩個針對、三位一體”的有機融合有極強的實操意義，是教師進行教學設計的一個有力抓手.

1. 圍繞課程標準備教材

（1）課程標準的要求.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對“圓錐曲線與方程”內容的要求是：① 了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用. ② 經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質. ③ 了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質. ④ 通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想. ⑤ 了解橢圓、拋物線的簡單應用.

（2）教材的結構.

人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統稱“人教A版教材”）第三章“圓錐曲線的方程”包括“橢圓”“雙曲線”“拋物線”三個部分. 這三個部分的知識結構具有相似性，研究方法具有一致性. 教學中，教師可以先精講橢圓，然后讓學生類比橢圓的學習過程和研究方法自主研究雙曲線和拋物線.

2. 圍繞教材備主題

“大單元主題”可以是教材中的自然單元，也可以是圍繞某一素養目標或某一任務開發出來的跨章節、跨書冊、跨媒介的主題學習單元. 教師在進行教學設計時要先建構本單元的結構框架，然后將其拆分為小的單元，再將小單元拆分為若干小主題. 所謂“結構化”就是指每一個小主題結構都可以無痕地鑲嵌在它的上一層單元主題結構中. 通過對《標準》和人教A版教材的分析，可以對“圓錐曲線的方程”單元進行主題拆分，如圖2所示.

結合《標準》和人教A版教材，可以將“圓錐曲線的方程”單元劃分為4課時. 第1課時是“橢圓的概念及標準方程”，第2課時是“橢圓的簡單幾何性質”，第3課時是“橢圓的簡單應用”，第4課時是“橢圓的小結”.

3. 圍繞主題備結構

以主題“橢圓的概念及標準方程”為例，結合《標準》的要求和人教A版教材的內容，依據知識的發生發展過程，確定該主題第1課時的內容結構如圖3所示.

4. 圍繞結構備問題

教學中，教師應該設計和實施問題串引導學生在課堂上跟進，把學生的思維留在課堂. 問題串設計遵循“大問題、小追問、雙邏輯”原則，即大問題遵循數學邏輯，小追問遵循教育邏輯. 根據該主題的內容結構，可以設計如下問題串推進課堂教學.

問題1：取一條細線，一張紙板，在紙板上取兩點分別標上[F1，F2]，把細線兩端分別固定在[F1，F2]兩點，用筆尖把細線拉緊，在紙板上慢慢移動繪出圖形，仔細觀察，繪出的是什么曲線？

問題2：用自己的語言給橢圓下定義，什么是橢圓？

追問1：畫圖過程中，筆尖所對應的動點[M]滿足什么限制條件？

追問2：滿足這個限制條件的動點軌跡一定是橢圓嗎？

問題3：橢圓的標準方程是什么？

追問1：如何建立平面直角坐標系比較好？

追問2：如何計算兩點之間的距離？

追問3：如何化解方程[x+c2+y2+x-c2+y2=2a]？

問題4：在平面內，滿足條件“到定點[F1-c，0]，[F2c，0]距離之和為定值[2a2a>2c]”的橢圓的標準方程是什么？

追問1：橢圓的焦點坐標是什么？

追問2：圖4中哪些線段的長度是[a，b，c]？

5. 圍繞問題備素養

問題1需要學生動手操作，經歷橢圓圖象生成的過程，對學生的直觀想象素養有一定的要求. 問題2需要學生經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，使學生會用數學眼光觀察，會用數學語言表達，對學生數學抽象素養有較高要求. 問題3需要學生根據橢圓的幾何特征建立平面直角坐標系并導出橢圓的標準方程，蘊含著數形結合思想和轉化與化歸思想. 橢圓的概念需要對常數的范圍進行限制，橢圓的標準方程本身就有兩種情況，其中蘊含著分類與整合思想. 求橢圓的標準方程主要利用待定系數法，它有基本的解題程序，蘊含著程序化思想. 這個問題對學生的數學運算素養有較高要求. 問題4需要學生運用新習得的橢圓的相關知識進行推理，對學生的邏輯推理素養有較高要求.

6. 圍繞素養備學情

從數學抽象素養的角度來看，在之前的學習過程中學生已經積累了大量從實際情境中抽象出數學概念的經驗，但是由于橢圓的限制條件較多，在從生活中的橢圓到數學中的橢圓的抽象過程中，學生可能存在一定的困難. 從數學運算素養的角度來看，在之前的學習過程中，學生幾乎沒有化簡兩個根式的和的經歷，因此對橢圓方程的化簡必然會成為該主題教學中的一個難點. 從邏輯推理素養的角度來看，學生在之前的學習經歷中已經有大量的邏輯推理練習，但是該主題需要用到新接觸的橢圓的概念進行推理，可能也會對學生的學習產生一定影響.

7. 圍繞學情備例題，圍繞例題備遷移

根據學生學情，例題設置應該由易到難，即從學生熟悉的情境切入. 教師設計如下題目及對應變式.

題目1 ?已知點[M]到兩個定點[A-1，0]和[B1，0]的距離之和是定值[4]，則動點[M]的軌跡是（ ? ?）.

（A）一個橢圓

（B）線段AB

（C）線段AB的垂直平分線

（D）直線AB

該題目學生易于上手，設計此題是對橢圓定義的鞏固.

變式：已知點[A]為圓[O]內的定點（不與圓心重合），點[Q]為圓周上的動點，線段[AQ]的中垂線和半徑[OQ]交于點[P]，則動點[P]的軌跡是什么？

這個變式是對題目1的遷移，從簡單熟悉的情境遷移到綜合的情境中，學生需要分析變化中的不變量，利用橢圓的定義判定動點[P]的運動軌跡是橢圓.

題目2 ?已知橢圓的兩個焦點坐標分別為[-2，0，][2，0]，并且經過點[52，-32]，求它的標準方程.

對于該題，學生可以利用待定系數法求解，也可以利用定義直接求出[2a]的值，得到標準方程.

變式1：在圓[x2+y2=4]上任取一點[P]，過點[P]作[x]軸的垂線段[PD]，[D]為垂足. 當點[P]在圓上運動時，線段[PD]的中點[M]的軌跡是什么？為什么？

變式2：設[A，B]兩點的坐標分別為[-5，0，] [5，0]. 直線[AM，BM]相交于點[M]，且它們的斜率之積是[-49]，求點[M]的軌跡方程.

這兩個變式都是對題目2的遷移. 題目2是通過橢圓來確定方程，而這兩個變式都是通過方程來判定動點的運動軌跡是橢圓. 設計這兩個變式，不僅可以鞏固學生對橢圓性質的理解，使他們認識到橢圓和圓之間的關系，也可以讓學生感受求動點軌跡方程的一些常用方法，積累運用代數方法解決幾何問題的經驗，提升直觀想象和數學運算等素養.

以“八個圍繞”為抓手，完善教學設計，能夠實現“四個理解、兩個針對、三位一體”的有機融合，達到大單元主題教學結構化實踐的要求，有利于學生對單元整體知識的建構，增強自主探究能力，發展高階思維，提升數學核心素養.

二、遵循“三段八環”，展開教學實踐

為了在教學實踐中完成對單元主題內容的結構初建，實現教學設計中的預定目標，我們構建了基于“三段八環”的“探究主題—結構初建課”教學模式.

1. 學進去

（1）誘思.

問題1：拿出準備的工具，按下面指令操作. 取一條細線，一張紙板；在紙板上取兩點，分別標記為[F1，F2]；把細線的兩端分別固定在[F1，F2]兩點；用筆尖把細線拉緊（細線長度大于[F1，F2]兩點間的距離），在紙板上慢慢移動畫出圖形. 你畫出的圖形像什么？

這個活動的設計能充分調動每名學生參與的積極性，激發學生的思考興趣. 課堂上，學生通過動手實踐，一致得到“像橢圓”的結論.

（2）導學.

追問1：如果把筆尖記作動點[M]，你能寫出動點[M]運動過程中滿足的條件嗎？

這個追問引導學生對橢圓的認識從生活中的模糊印象逐步過渡到數學中的標準定義. 實踐中，學生從情境中抽象出[MF1+MF2=2a].

追問2：滿足[MF1+MF2=2a]的動點[M]的運動軌跡一定是橢圓嗎？如果動點[M]的運動軌跡一定是橢圓，則需要滿足什么條件？調整細線的長度畫畫看，得出結論后分組進行交流.

學生通過調整細線的長度，得到動點M的運動軌跡不一定是橢圓. 如果是橢圓，需要滿足三個條件：[MF1+MF2=2a]；[2a>F1F2=2c]；點M在線段[F1F2]所在的平面內運動.

問題2：你能據此用自己的語言給橢圓下個定義嗎？

通過一系列追問，學生逐漸完成橢圓概念的建構. 平面內到兩個定點[F1，F2]的距離的和等于常數[2a]（大于[F1F2]）的點的運動軌跡叫做橢圓. 在這個大問題解決的過程中，學生從具體情境中抽象出橢圓的概念，提升了數學抽象素養.

追問1：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立平面直角坐標系可以使所得的橢圓方程形式更簡單？

課堂上，大多數學生考慮到橢圓的對稱性，都以兩個焦點所在的直線為橫軸建立平面直角坐標系. 教師啟發學生，也可以以兩個焦點所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系.

追問2：如何表示兩點間的距離？

這個追問幫助學生將[MF1+MF2=2a]代數化. 學生得到[x+c2+y2+x-c2+y2=2a]或者[y+c2+x2+][y-c2+x2=2a].

追問3：如何簡化上述方程？

學生在這里發生了一些爭論，大多數學生的想法是直接平方，也有學生認為先將一個根號移項到等號另一側再平方比較好，還有學生認為可以對等式左側進行分子有理化.

問題3：橢圓的標準方程是什么？

學生經歷一系列運算后，得到焦點在[x]軸上的橢圓的標準方程[x2a2+y2b2=1 a>b>0]，以及焦點在[y]軸上的橢圓的標準方程[y2a2+x2b2=1 a>b>0]. 在這個過程中，學生的數學運算素養得到了有效提升.

至此，經過三個問題和五個追問，學生完成對橢圓的概念及標準方程主題的結構初建.

2. 講出來

如果說學進去是信息的輸入，那么講出來就是信息的輸出.

（1）展示.

教師讓學生談一談對橢圓的概念及標準方程的理解. 學生基本上脫離了過去對橢圓是“扁圓”的直觀認知，能夠用自己的語言描述橢圓的定義.

（2）交流.

對于學生對橢圓的概念及標準方程的理解，教師引導學生進行補充、質疑和交流. 學生能相互補充在描述橢圓的概念及標準方程時丟失的一些關鍵詞，如“平面內”“兩定點不能重合”等.

3. 靈活用

靈活用包括示范、模仿、遷移、創新四個環節. 根據具體教學情況，四個環節不一定面面俱到.

例1 ?已知平面內的點[M]到兩個定點[A-1，0]和[B1，0]的距離之和是定值[4]，則動點[M]的軌跡是（ ? ?）.

（A）一個橢圓

（B）線段AB

（C）線段AB的垂直平分線

（D）直線AB

練習：你能進一步求出動點[M]的軌跡方程嗎？

變式：已知點[A]為圓[O]內定點（不與圓心重合），點[Q]為圓周上動點，線段[AQ]的中垂線和半徑[OQ]交于點[P]，則動點[P]的軌跡是什么？

上述教學活動是對橢圓概念的靈活運用. 教師通過例題進行示范；學生通過練習進行模仿，通過變式進行遷移，鞏固對橢圓定義的理解.

例2 ?已知橢圓的兩個焦點坐標分別為[-2，0，][2，0]，并且經過點[52，-32]，求它的標準方程.

變式1：在圓[x2+y2=4]上任取一點[P]，過點[P]作[x]軸的垂線段[PD]，[D]為垂足. 當點[P]在圓上運動時，線段[PD]的中點[M]的運動軌跡是什么？為什么？

追問：如果點[P]在某已知曲線上運動，且點[P]的運動引起點[M]的運動，如何求動點[M]的軌跡方程呢？

變式2：設[A，B]兩點的坐標分別為[-5，0，] [5，0]. 直線[AM，BM]相交于點[M]，且它們的斜率之積是[-49]，求點[M]的軌跡方程.

追問：如果點[P]在運動過程中始終保持某個幾何條件成立，那么如何求其軌跡方程呢？

你能根據橢圓的定義證明“用一個平面截圓錐的側面，當截面與圓錐的軸所成角大于圓錐的母線與軸所成角且與軸不垂直時，得到的封閉的幾何圖形是橢圓”嗎？

上述教學活動是對橢圓的標準方程的靈活運用，同樣通過例題進行示范.

在例2中，學生可能會有以下兩種解法.

解法1：由題意，知

[2a=52-22+-32-02+52+22+-32-02=][210].

解得[a=10].

所以[b2=a2-c2=6].

所以橢圓的方程為[x210+y26=1].

解法2：設橢圓的方程為[x2a2+y2b2=1 a>b>0].

由題意，可得[522a2+-322a2-4=1].

解得[a2=10].

所以橢圓的方程為[x210+y26=1].

對比兩種解法，學生認識到運算策略的選擇有時對運算難度有較大的影響，由此提升數學運算素養.

通過變式進行遷移，解決變式1的關鍵是找到點[P]與點[M]坐標的對應關系，用點[M]的坐標表示點[P]的坐標，代入點[P]所在曲線的軌跡方程. 變式2直接將幾何約束條件代數化得到點[M]的軌跡，但是容易忽略[x≠±5]的限制條件. 這個活動使學生思維的嚴謹性和推理的準確性得以提升.

這是一個具有挑戰性的學習任務，通過思考創新指向高階思維的培養和數學核心素養的提升. 學生可以查閱資料，了解數學家是如何證明這條封閉曲線是橢圓的. 教師也可以鼓勵學生小組合作，借助信息技術共同突破難點.

三、依據“目標檢測”，進行教學反思

1. 目標檢測設計

目標檢測的題目應該針對該主題的目標，不宜過多、過難.

練習1：某橢圓的焦點坐標為[-3，0， 3，0]，且經過點[0，1]，求該橢圓的標準方程.

練習2：[△ABC]的周長為[6]，且[B-1，0，] [C1，0]，則頂點[A]的軌跡是什么？

2. 目標檢測反饋

目標檢測情況如表1所示.

從檢測數據來看，練習2正確率較低. 經過訪談，分析學生錯誤原因，發現學生基本都能分析出頂點[A]到[B，C]兩個定點的距離之和為[4]，且[AB+AC>BC]，從而得出動點[A]的軌跡為橢圓. 也就是說，通過本節課的學習，學生已經知道了橢圓的概念，以及橢圓定義中常數的取值要求，但是忽略了當[A，B，C]三點共線時[△ABC]不存在，因此動點[A]的軌跡是橢圓扣除其與直線[BC]的交點后的圖形.

3. 教學反思

本節課基于“四個理解、兩個針對、三位一體、八個圍繞”理念進行設計，遵循“學進去、講出來、靈活用”三段八環進行實施. 在教學中引導學生從整體看局部，有助于厘清知識間的內在關聯，從宏觀角度完成單元結構初建；從局部看整體，有助于形成解決問題的一般規律，體會如何利用代數方法研究動點軌跡，提升數學核心素養.

通過本節課的學習，學生對橢圓的認知從已有的“扁一點的圓”等感性、直觀的認識過渡到嚴謹的軌跡定義，并推導出橢圓的標準方程，基本達成課時教學目標. 在這個過程中，學生積累了數學抽象的經驗，提升了數學抽象、邏輯推理和數學運算等素養. 同時，學生通過參與一系列課堂學習活動，提升了語言表達能力、科學探究能力和團隊協作能力，體會了精益求精的數學學習精神.

在完成橢圓的概念的建構后，通過“講出來”活動，讓學生用自己的語言描述對橢圓的概念的理解，能夠將學生內在的認知外顯，便于教師掌握學情. 而通過其他學生的評價，能夠鞏固、強化學生對新概念的正確理解，尤其是對一些關鍵詞的理解. 這樣的展示交流活動在概念建構中的效益非常明顯，在今后的設計中應該予以堅持.

參考文獻：

［1］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［2］章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.