直覺：數學解題的引擎、數學教學的目標

摘 ?要：直覺是數學的精靈. 結合具體例題，探討了促進數學解題直覺形成的幾種方式，主要包括借助幾何直觀形成直覺，通過建立與數學概念及其原型的聯系形成直覺，在猜想和合情推理中形成直覺，在已有的數學活動經驗中尋找直覺，在聯想、轉化中形成直覺，使之成為數學解題的引擎. 數學教學應該通過加強觀察和聯想，讓直覺與猜想走在問題解決的前面，通過強化解題反思，有效發展學生的數學直覺.

關鍵詞：數學直覺；解題引擎；教學目標；直觀想象；聯想轉化

愛因斯坦曾說：“我相信直覺和靈感.”越來越多的教師深刻認識到培養學生數學直覺的重要性，但從當前的教學情況來看，數學直覺教學仍然處于自發的、無意識的水平上，亟須改進和提高.

一、直覺的含義與功能

直覺是指未經充分邏輯推理的感性認識. 它以已經獲得的知識和累積的經驗為依據，具有如下特點.

（1）模糊性. 直覺是一種說不清、道不明的感覺. 它具有一定的神秘性和模糊性.

（2）直接性. 直覺是一種以經驗為基礎的感性認識.

（3）突發性. 直覺是人們思考某個問題時，頭腦中突然出現的意象、想法、概念、結論等.

（4）綜合性. 直覺往往基于對事物的宏觀或整體把握而得到.

本文所說的數學直覺是指以已有的數學知識和數學活動經驗為依據，通過觀察、歸納、類比，借助圖形、直觀想象，以及隱性的、不嚴格的邏輯推理，直接把握數學對象的關系、規律與本質.

由于直覺思維具有直接性、綜合性和跳躍性，且不受邏輯條條框框的制約，因此它較演繹思維更容易透過現象發現事物的本質，更容易發現似乎互不相干的事物之間的深層聯系，尤其是問題的條件與結論之間的聯系，從而為問題解決指明方向、方法甚至結論．

二、作為數學解題引擎的直覺的形成

說清楚直覺是怎樣形成的、怎樣尋找直覺是一件非常困難的事情，但是說不清楚不等于無緣無故，也不等于沒有任何規律可循. 為了充分發揮直覺作為數學解題引擎的功能與價值，應該積極探索直覺形成的策略與方法.

1. 借助幾何直觀形成直覺

人們的思維通常按從具體到抽象、從感性到理性的順序展開. 由于幾何圖形具有簡明、形象、直觀等特點，因此它較代數表達式更能為人們提供豐富、深刻的感性認識. 用幾何圖形表示代數條件和結論有助于人們形成數學直覺.

例1 （2021年全國Ⅰ卷·理7）若過點[Pa，b]可以作曲線[y=ex]的兩條切線，則（ ? ?）.

（A）[eb

（C）[0

解析：基于幾何直觀. 若點[Pa，b]在曲線C：[y=ex]的上方（如圖1），想象線性變化與指數變化各自的特點和規律，可知過點P的直線與曲線C必有1個交點或2個交點. 若點[Pa，b]在x軸的下方，設直線AB過點P且與x軸平行，點A，B分別在點P的左、右兩側，將射線PA，PB繞點P分別按順時針和逆時針方向旋轉小于90°的角，那么直線PA不可能與曲線C相切，因為此時直線PA的斜率為負數，曲線C上任一點的切線的斜率為正數，而直線PB在旋轉的過程中必存在與曲線C相切的情形，因此，此時過點P的直線有且只有一條與曲線C相切（如圖2）. 若點[Pa，b]在曲線[y=ex]的下方、x軸的上方，旋轉過點P的直線，發現必有兩條與曲線C相切（如圖3），此時有[0

【評析】求解此題的關鍵是基于圖形的直觀想象，并融入基于表達式的及在頭腦中進行的邏輯推理. 例如，直線的斜率是常數，以曲線C上任意一點（x0，y0）為切點的切線的斜率[ex0]為正數.

2. 通過建立與數學概念及其原型的聯系形成直覺

準確的數學直覺是以數學知識為基礎的，數學問題的解決離不開特定的數學概念、定理和法則. 由于數學概念的產生往往源于直覺，其源頭是不成熟的、不完善的想法，因此數學概念的“原型”中蘊含著大量有助于直覺產生的材料.

例2 （2019年浙江卷·16）已知[a∈R]，函數[fx=][ax3-x]. 若存在[t∈R]，使得[ft+2-ft≤][23]，則實數[a]的最大值是 ? ? ? .

解析：由題意，有[at+23-t+2-at3+t≤23]，

即[6t+12+2a-2≤23.] 所以[2-23≤6t+12+2a≤] [2+23.] 為了使[a]能取到最大值，則a的系數必須取最小值. 因此，當[t=-1時， 23≤a≤43]，即a取得的最大值是[43]. 如果基于[ft+2-ft≤23]左邊的結構特征是兩個函數值差的絕對值，以及相應自變量的差[t+2-t]是常數，聯想到導數概念的“原型”為平均變化率，則可以對[ft+2-ft≤23]適當變形，得

[ft+2-ftt+2-t≤13.] 由[fx]是奇函數，[fx=3ax2-1]知，為了使a取最大值，[x]應該盡可能地小，因此[f1-f-11--1≤13，a≤43].

【評析】簡化此題求解的關鍵是基于導數概念的“原型”來尋找直覺. 雖然推理過程不夠嚴謹，但較好地把握了問題和方法的本質，即導數源于平均變化率，平均變化率問題可以借助導數概念加以解決．

3. 在猜想和合情推理中形成直覺

先猜后證是解決數學問題的常用方法. 這里的“猜”既包括對問題結論的猜想，也包括對問題解決思路和方法的猜想；“證”既包括通過邏輯推理證明數學結論，也包括在解題過程中證實預設的思路與方法是正確的、有效的.

例3 （多項選擇題）已知拋物線C：y2 = 4x，過焦點F的直線l與C交于[Ax1，y1，Bx2，y2]兩點，y1 >2，E與F關于原點對稱，直線AB與直線AE的傾斜角分別為α與β，則（ ? ?）.

（A）sin α > tan β （B）∠AEF = ∠BEF

（C）∠AEB > 90° （D）α < 2β

解析：如圖4，過點A作x軸和拋物線C的準線的垂線，垂足分別為點M，A1，過點B作拋物線C的準線的垂線，垂足為B1.

因為點F是拋物線的焦點，

所以AF = AA1，BF = BB1.

故[sinα=AMAF=AMAA1=AMEM=tanβ].

故選項A錯誤.

由[AA1∥Ox∥BB1]，得[A1EB1E=AFBF]，[即A1EA1A=B1EB1B].

所以[Rt△AA1E]∽ [Rt△BB1E].

所以∠AEF = ∠BEF.

故選項B正確.

由[tanβ=AMEM=2x1x1+1]≤ 1，可知β ≤ 45°.

由選項B正確，有∠AEB = 2β ≤ 90°.

故選項C錯誤.

由y1 > 2，有EF < AA1 = AF，得 β > γ，

所以α = β + γ < 2β.

故選項D正確.

【評析】解析幾何問題可以利用點的坐標或方程運算得到正確的結果，但是運算量往往較大. 如果意識到解析幾何的學科性質是幾何，進而充分利用圖形的幾何性質，則可以簡化運算. 此題利用拋物線的焦點弦的性質，結合幾何推理解決問題. 解題思路的形成本質上基于直覺和合情推理．

4. 在已有的數學活動經驗中尋找直覺

直覺以已有的經驗為依據，為了有效促進直覺的產生，數學解題應該加強問題識別，聯想、激活已有的解決相關問題的經驗．

例4 ?設[a，b∈R]，不等式[x2+ax+b≤1]對任意[x∈m，n]恒成立，則n - m的最大值是 ? ? ? .

解析：要使n - m最大，必須在符合題意的前提下，使n盡可能地大，m盡可能地小. 由于函數[fx=x2+ax+b，x∈R]的圖象具有對稱性（如圖5），因此有[fm=fn]=1，[f-a2=-1]. 因為如果[fm<1]或[fn<1]，那么函數[fx]的圖象還可向上延伸，n - m的值會更大. 如果[f-a2>-1]，那么函數[fx]的圖象可向下平移，n - m的值也會更大. 由于a，b不影響函數[fx=x2+ax+b]圖象的形狀，只影響它的上下、左右位置. 因此，由直覺可知只需要考慮函數[fx=x2-1]. 此時，易知n - m的最大值為[22].

【評析】這是一道關于函數最值的題目. 如果把[m，n]看作關于[a，b]的函數，那么表達式難以求出，即使求出得到的也是二元函數. 由于不等式[x2+ax+b≤1]容易轉化為圖象，根據題意中的關鍵詞“任意[x]”“恒成立”“最大值”，基于解決函數問題的根本性經驗，即基于圖形的直觀想象與基于表達式的精準運算相結合，以及二次函數何時取最值、它的定義域發生怎樣的變化不影響其值域的變化等，想象符合題意的[x]的取值范圍，進而得出結果．

5. 在聯想、轉化中形成直覺

數學直覺的形成除了依靠知識與經驗，還需要通過聯想把更多的知識與經驗組合、融合在一起，進而把一個問題轉化為另一個問題.

例5 （2022年全國新高考Ⅰ卷·22）已知函數[fx=ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y = b，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

解析：第（1）小題比較簡單，易求得a = 1，這里不作討論. 第（2）小題，用演繹推理的方法求解，工作量大、難度高. 如果基于數形結合的經驗，把“從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列”轉化為“存在三個交點使它們之間的線段相等”，那么問題就簡單了. 由第（1）小題知，[fx=ex-x]和[gx=x-lnx]的最小值點分別為[E0，1]和[F1，1]. 如圖6，易證[fx=ex-x]在區間[0，+∞]上單調遞增，[gx=x-lnx]在區間[0，1]上單調遞減，因此函數[fx]與函數[gx]的圖象在區間[0，1]上必有一個交點R. 把直線y = b由y = 1逐漸向上平移至過點R. 在這個過程中，在第一象限內，設直線y = b與函數[fx]和函數[gx]的圖象從左到右的三個交點分別為M，N，P，那么MN的長度由1不斷變小直至為0，NP的長度由0不斷增大，因此必存在直線y = b，使MN = NP. 此時，點M，N，P的橫坐標成等差數列.

【評析】求證目標“從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列”提醒我們可以從函數圖象入手解決問題. 求證的關鍵在于弄清楚目標“從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列”的幾何意義. 為此，先畫出[fx=ex-x]和[gx=x-lnx]的大致圖象，并觀察圖象的特點. 通過聯想、轉化，發現只要證明存在由三個交點確定的兩條線段相等即可完成證明. 這些思路與方法的形成不是依靠嚴格的演繹推理，而是依靠直觀和直覺，或直觀和直覺與演繹推理相結合．

三、作為數學教學目標的直覺的培育

1. 數學教師要增強為發展學生數學直覺而教的意識

從根本上說，數學的基本思維方式有兩種：歸納推理和演繹推理. 演繹推理是從一般到特殊的推理，由它所得到的結論總包含在前提條件中；歸納推理是從特殊到一般的推理，是新的發現和創造所依賴的推理方式. 演繹推理的魅力在于嚴謹，其價值在于能夠確保結論的正確性；歸納推理的魅力在于直覺與想象，其價值在于發現、提出新的猜想. 歸納推理的前提和基礎是直覺與想象. 無論是觀察幼兒的思維，還是反思我們自己解決問題的思維過程，都不難發現：思維中最靈動、最有意義、最富有創造力的部分就是直覺和想象. 直覺不僅能為我們指引思維的方向、策略和方法，而且能簡化、優化解題的過程與方法. 數學直觀是數學創新的核心與關鍵. 在信息化、智能化日趨發達的今天，數學教師應該增強為發展學生的數學直覺而教的意識. 數學直覺是數學核心素養的自然流露和外在表現，近幾年高考強化了對數學直覺的考查，其實質便是強化對數學核心素養的考查.

2. 數學教學應該加強觀察和聯想，夯實直覺產生的基礎

直覺是對事物本質的直接領悟或洞察，數學直覺是人們對數學對象（結構及其關系）的某種直接領悟或洞察. 直覺的形成離不開對具體情境的直觀感知，觀察是直覺最重要的源泉. 但是這里的“觀察”應該是一種有目的、有方向感的思維活動. 除了觀察問題的表層形式，更要觀察、洞察問題的結構. 因為問題的結構才是影響和決定問題本質、條件與結論相互作用方式、解決問題的策略和方法的深層特征．

觀察是形成直覺的基礎，直覺的產生離不開聯想與想象. 只有通過聯想和想象，才能建立表面上看起來互不相干的事物之間的聯系，進而發現數學對象之間內在的和諧與聯系，發現問題的條件與條件、條件與結論之間的聯系．

3. 數學教學應該讓直覺與猜想成為問題解決的先導

探究大致可以分為兩類：一類是小白鼠式的、盲目性比較強的探究；另一類是有理有據、有目標、有方向感的探究. 高中生的探究應該是有理有據、有目標、有方向感的探究，應該提倡“三思而后行”，而不是“摸著石頭過河”（這是迫不得已的情況下使用的方法）. 先感性后理性、先有想法后有做法、先擬定計劃后實施計劃，這些都是人們解決問題的基本路徑與基本方法. 因此，在證明一個定理之前，人們往往先猜想其內容；在解決問題之前，人們往往先猜想解決的思路與方法. 對結論未知的數學問題，即使一開始無法猜想其具體結果，我們也可以先猜想其形態. 例如，推導公比為[q]的等比數列[an]的前[n]項和公式時，宜先猜想這個公式應該由[a1，an，q，n]等來表示，應該能達到簡化運算的目的；推導的方法可類比等差數列前[n]項和的公式的推導，基于等比數列內在的性質與特點.

4. 問題解決教學應該加強解題回顧反思，促進學生形成新的直覺

數學直覺既是抽象思維與演繹推理的起點和基礎，又是數學解題的引擎和數學教學的目標. 數學教學應該通過眼前的問題解決增強學生的數學直覺思維能力，進而為其今后解決同類問題奠定基礎. 由于直覺和直覺能力無法通過他人灌輸或給予，只能靠學生自身感悟、體會和數學活動經驗的積累. 因此，數學解題教學應該加強回顧與反思. 應該通過解題反思，力求把解決問題所用的知識、解決問題的過程及解決問題的思路與方法的來龍去脈弄得清清楚楚，進而形成新的合乎邏輯的、更高層次的、更容易形成和產生的數學直覺. 在這個過程中，應該加強直覺與邏輯的相互交融和促進，力求把引領邏輯的直覺和直覺背后的邏輯弄清楚，把正確的直覺系統化、清晰化、邏輯化，促進學生形成新的、更高層次的直覺．

四、結束語

數學教學應該根據直覺的特點和問題情境的特點，加強關于直覺形成過程和方法的教學，使直覺成為數學解題的引擎；應該通過直覺與邏輯的相互融合，通過強化學生對思維過程與方法的感悟，自覺、有效地發展學生的數學直覺．

參考文獻：

［1］徐利治. 徐利治談數學哲學［M］. 大連：大連理工大學出版社，2008.

［2］李昌官. 追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺［J］. 數學教育學報，2018，27（4）：76-81.