數形分析探其理 困難運算究其因

鄒信武 董琦

摘 ?要：從“點到直線的距離公式”的實際教學案例出發，分析案例中存在的問題，以教材意圖和公式推導中蘊含的數學思想為依據，將“微探究活動”分為提出問題、向量分析法和解析分析法、探究活動小結三個部分. 兩類分析方法按先幾何分析再數學運算的邏輯順序設計問題，并在解析分析法中提出部分方法的優化方案.

關鍵詞：點到直線的距離；微探究活動；數形分析；數學運算

一、“點到直線的距離公式”案例探討

“點到直線的距離公式”是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統稱“教材”）“2.3 直線的交點坐標與距離公式”第3課時的內容. 此前，學生已經學習了“空間向量與立體幾何”“直線和圓的方程”等內容，本課是兩點間的距離公式的進一步延伸，旨在引導學生開展推導“點到直線的距離公式”的微探究活動.

在一次教研活動中，幾位執教教師都選擇了“點到直線的距離公式”這節課，其中一位執教教師設計的課在現場取得了不錯的效果. 其公式推導的主要教學過程如下.

問題1：如何求點[P2，0]到直線[l：x-y=0]的距離？

執教教師讓學生分組討論，并選擇一名學生代表給出解法，然后進行歸納. 現場課中，學生歸納了5種方法（部分方法由教師提示）：（1）轉化為點到垂足的距離；（2）等面積法求斜邊的高；（3）傾斜角轉換法；（4）利用函數思想求最小值；（5）向量法.

問題2：如何求點[P4，2]到直線[2x-y+2=0]的距離？類比問題1，哪些方法仍然適用？說出解法思路，不要求寫出解答過程.

問題3：如何求點[Px0，y0]到直線[l：Ax+By+C=0]的距離？

師生分別使用問題1中的5種方法完成了公式推導. 其中，方法（2）和方法（5）由學生展示，執教教師予以完善；方法（1）、方法（3）和方法（4）由執教教師利用幻燈片展示主要推導過程. 最后，執教教師帶領學生分析了方法（1）中計算的難點，提出通過“設而不求”構造目標結構，優化計算過程.

這位執教教師的教學設計，從具體的點與直線出發，引導學生歸納解決問題的方法，再將問題一般化，引導學生類比、遷移，得到公式的推導策略和具體推導過程. 整個過程教學邏輯清晰、學生參與度高，取得了不錯的教學效果. 但是，如果對比教材的編排，從探究活動的組織與實施角度進行分析，仍然有一些值得商榷的地方. 主要體現在以下幾個方面.

第一，缺乏統領性數學問題. 從特殊到一般，常常是對于一個未知的數學問題，通過特例研究，積累對這類現象（或問題）的了解，逐漸形成認識，進而掌握規律并歸納本質，得到一般性結論的過程. 上述案例中，執教教師沒有提出一個未知且具有挑戰性的數學問題，即問題1和問題2沒有“大問題”統領. 這就導致學生只是機械地完成執教教師布置的問題，而不了解問題之間的邏輯關系，進而無法從數學思維的角度體會從特殊到一般的數學思想. 實際上，教材的處理方式是先提出問題3. 試想一下，把案例中的問題3放在最前面，再到問題1和問題2，可能更有利于學生領悟數學思想方法及數學地思考問題.

第二，從特殊到一般的設計的必要性有待思考. 從思維角度分析，案例中問題2和問題3對應的圖形是類似的，也就是說這兩個問題在思維分析難度上沒有太大區別，甚至部分方法的難度是相同的；從代數運算角度分析，問題1和問題2是具體數值運算，問題3是含字母的代數式運算，運算的復雜程度比問題1和問題2要大很多. 對于問題3，解決問題的關鍵是：（1）學生明確已知和運算目標（利用點[P]的坐標和直線方程中的參數[A，] [B，C]表示[d]）；（2）通過幾何關系的代數表達找到解題方法；（3）圍繞計算目標合理設計計算路徑，完成求解. 從這個意義來說，該案例中的從特殊到一般只體現在代數運算的進階上，而沒有體現在邏輯性的數學思考上，那么特殊運算對一般運算的幫助就不大了.

第三，重“探究方式多樣化”而輕“思維引導與小結”. 在公式和定理的探究活動中，很容易出現多種多樣的探究方式，甚至出現把探究方式的多樣性與課堂精彩程度畫等號的現象. 事實上，學生如果只是知道探究方法，而缺乏對數學原理和思想方法的認識，則偏離了探究的本質. 在上述案例中，缺乏對“如何想到”這些探究過程的引導，在展現多種探究方法后又缺乏對方法本質的反思和提煉，使得探究停留在表面上，大部分學生沒有對其進行理性地分析與思考，自然不能將這些方法有效遷移到其他問題的解決中. 因此，對于上述探究活動，前面應該有教師引導學生分析圖形中的長度和角度，以及翻譯代數表達的過程，后面應該有對方法進行歸納總結和提升過程.

第四，哪種方法才是“自然”的？活動中，幾位執教教師都選擇先將問題轉化為點到垂足的距離或使用等面積法求解. 但是在執教教師提問如何解決問題時，很多學生脫口而出的卻是“向量法”. 這可能有兩個原因，一是在先前學習中一直把向量作為解決幾何問題的強大工具，使得學生對“向量法”有著較深的印象；二是在教材第一章內容的學習過程中研究過用向量法計算點到直線的距離和點到平面的距離. 因此，在學生的認識中，利用向量解決這個問題是非常自然的. 因此，教師在教學中可以先講“向量法”，這樣不僅符合學生的認知，而且在方法上也可以與前序內容保持一致，體現“幾何與代數”主題的統一.

第五，探究活動中學生的數學活動體驗不足. 在上述案例中，每名學生隨機經歷了1種方法的探究過程并聽取了4種方法的講授. 案例中的5種探究方法，雖然原理上都是用代數方法研究幾何問題，但是從代數表達和運算上來說，向量法與其他4種方法是有區別的. 教材中也介紹了求點到垂足的距離和向量法這兩種探究方法. 因此，在這個探究活動中，學生應該獲得向量法和其他方法中至少1種方法的探究經驗，這既滿足該探究問題所承載的數學思想與方法的教育價值，也符合教材的要求.

二、探究活動再設計

1. 微探究活動說明

在數學探究活動中，結論往往不是最重要的，學生能夠在探究過程中真正發生數學性思考、領悟數學思想方法、提升理性思維和科學精神才是關鍵. 筆者認為，雖然“點到直線的距離公式”的探究活動只是這節課的一個環節，屬于微探究活動，但是其對加強學生對解析幾何的認識和理解是非常有幫助的，具體體現為以下兩個方面的價值.

第一，領悟坐標法的真諦，靈活運用數形結合思想解決問題. 這個探究過程是在學生已有的對點、直線、平面的感性認識的基礎上引入坐標法，從代數角度對幾何要素及要素間的關系進行觀察、比較、分析、表達、運算和推理，并以運算形式呈現幾何關系，最終達成由定性分析向定量分析的轉化，這對發展學生的理性思維和科學精神是非常有幫助的.

第二，體會數形結合思想在數學計算中的雙向作用. 在這個探究活動中，圍繞點到直線的距離，在形與數的相互對應、轉譯和運算求解中，通過解法優化的前后對比，引導學生體會代數關系式的結構特征和幾何特性對提高運算效率、化解運算難點的作用.

依據前文的分析，筆者在提出問題后，將推導“點到直線的距離公式”的探究活動設計成三個環節（如圖1）. 環節1和環節2由教師引導學生分別使用向量分析法和解析分析法來解決問題，每個環節各自包含幾何分析和數學運算兩個階段；環節3引導學生對探究活動進行小結.

2. 微探究活動設計

探究：幾何問題的兩個基本度量是長度與角度. 上節課中，我們推導了兩點間的距離公式，它是我們研究解析幾何問題的基礎. 這節課中，我們來研究另外一種重要的距離——點到直線的距離. 如圖2，已知點[Px0，y0]，直線[l：Ax+By+C=0]，如何求點[P]到直線[l]的距離？

[圖2][O][Q][P][l][x][y]

【設計意圖】開門見山，提出本節課的核心問題，并指出幾何問題中的兩個基本度量——長度與角度. 在指明本節課的探究內容與前序知識之間的關系的同時，為后續課堂中的幾何分析埋下伏筆.

問題1：在教材第一章“空間向量與立體幾何”的學習中，我們曾經利用空間向量求點到平面的距離、直線到平面的距離，我們可以從中得到啟發，利用向量求解點到直線的距離. 基于圖2，從向量的角度分析，已知與所求分別是什么？最終目標可能是什么樣的表達形式？

追問1：能否用向量相關知識設計一個計算點到直線的距離的方案？

學生充分思考后，視學生回答情況，啟發學生形成思路. 如圖3，點[M]是直線[l]上一點，n是與直線[l]的方向向量垂直的向量，點[P]到直線[l]的距離就是向量[PQ]的模，而向量[PQ]其實就是向量[PM]在n上的投影向量，即[PQ=PM · nn].

追問2：一般地，我們把與直線的方向向量垂直的向量稱為直線的法向量. 如何求出直線[l]的法向量n？

追問3：能否在整理求解思路的基礎上完成計算？

【設計意圖】問題1的目的是引導學生明確探究任務，從向量的角度厘清幾何關系：點[P]的坐標、直線[l]的方向向量等，運算結果則是用[x0]，[y0]，[A]，[B]和[C]表示點到直線的距離. 追問1和追問2引導學生從圖形中挖掘信息，確定計算路徑、預判計算難點. 這樣層次化的設問，一方面可以強化學生基于向量法思考探究幾何問題的一般思維方法和步驟；另一方面，可以督促學生緊跟探究進程，避免部分學生掉隊，保證學生獲取相關的基本數學活動經驗. 另外，由于學生已經利用向量在法向量方向上的投影計算過點到平面的距離，故學生對這個計算方法是比較熟悉的，引導學生以此為思維基礎想到利用直線的法向量及轉化為投影向量計算點到直線的距離并不困難.

問題2：我們利用向量法得到了點到直線的距離公式. 除此之外，還可以利用其他方法進行探究嗎？回到圖2，在平面直角坐標系中觀察點[P]和直線[l]的幾何關系，你能找到它們之間的代數表示及關系嗎？這對我們計算點到直線的距離有什么幫助？

【設計意圖】這是解析分析法中的幾何分析環節，是決定學生能否展開聯想解決問題的關鍵. 在此處，教師有意識地引導學生從圖形中的長度與角度（即對應平面直角坐標系中的距離與斜率）方面進行分析，引導學生厘清哪些是已知量、哪些是可求量，充分理解圖形中蘊含的代數關系. 例如，點[P]的坐標可以反映點[P]到坐標軸的距離，進而聯想到過點[P]與[x]軸、[y]軸平行的直線與直線[l]的交點是可求的；由直線[l]的方程可求直線[l]的斜率，進而可求與直線[l]平行或垂直的直線斜率；等等.

追問1：能否基于剛才獲得的已知或可求條件，設計一個或多個計算點到直線的距離的方案？

追問2：能否在梳理這幾種方案計算步驟的基礎上，選擇其中一種方案寫出計算過程？

為保證計算方法的多樣性，可以分小組解答，每個小組選擇一種方案進行計算，要求小組內的學生先獨立完成，再進行小組內評議. 教師預留充足的時間讓學生進行計算，隨后讓已經得到計算結果的學生代表展示計算過程，再讓未得到計算結果的學生代表說明在計算過程中遇到的問題，師生共同分析、解決.

為了保障探究活動的順利進行，教師事先要準備幾種常見計算方案的詳細計算過程，在課堂中重點介紹定義法、等面積法和傾斜角交換法，軸對稱法和函數最值法的講解情況視學情而定.

追問3：定義法求解的計算難點在于求垂足[Qx1，y1]的坐標和距離. 其實，我們的計算任務也可以看成以方程組[y-y0=BAx-x0，Ax+By+C=0] 的計算結果為條件，求[PQ=][x1-x02+y1-y02]. 觀察已知式子與所求式子的結構特點，能否直接求出[PQ]？

追問4：受這個優化策略的啟發，你能發現簡化其他方案的計算步驟的方法嗎？

【設計意圖】從計算方法過程展示到計算方法優化，這是一個生生之間、師生之間思想碰撞的環節，是引導學生感受和學習數學運算的極好機會. 教師要利用這個環節展示解析幾何的運算特點、技巧和獨有的計算美感. 在數學運算中，代數關系式的結構特征和幾何特性對提高學生的運算效率、化解運算難點起著重要作用，教師在解析幾何教學中應該引導學生觀察算式的結構特征，聯想其幾何意義，制訂合理的運算策略，進而優化運算.

（1）定義法優化方案.

設垂足Q的坐標為[x1，y1，] 則[PQ=x1-x02+y1-y02.] 如果把[x1-x0，y1-y0]這兩項看成一個整體，可以直接求出[PQ].

垂線[PQ]所在的直線方程：[y-y0=BAx-x0].

與直線 l 的方程聯立，得[y-y0=BAx-x0，Ax+By+C=0.]

即構造[Bx1-x0-Ay1-y0=0，Ax1-x0+By1-y0=-Ax0-By0-C.]

策略1：分別將[x1-x0]，[y1-y0]看作一個整體求解，然后代入[PQ]的距離公式化簡.

策略2：兩式平方后相加，整理，得

[A2+B2x1-x02+A2+B2y1-y02=Ax0+By0+C2，]

化簡，得[x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+C2A2+B2.]

所以[PQ=x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+CA2+B2].

【評注】這個優化方案關注了運算目標和已知條件之間的內在聯系，并利用這個聯系，設而不求，巧妙地避開了復雜計算，這是解析幾何中常用的簡化運算的方法.

（2）軸對稱法優化方案.

設點[Px0，y0]關于直線[l]的對稱點為[Pm，n]，則

[n-y0m-x0 · -AB=-1，A · x0+m2+B · y0+n2+C=0.]

[?Bm-x0-An-y0=0，Ax0+m+By0+n+2C=0.]

[?Bx0-m-Ay0-n=0，Am-x0+Bn-y0=-2Ax0-2By0-2C.]

后續計算與“定義法優化方案”相似.

【評注】這個優化方案與定義法的優化方案相似，如果教學中有學生采用軸對稱法計算點到直線的距離，可以考慮在課堂上提示這個優化方案.

（3）等面積法優化方案.

如圖4，過點P作x軸、y軸的平行線，分別交直線l于點R，S. 設[RxR，y0，Sx0，yS]，則[PR=x0-xR，]

[PS=y0-yS， SR=x0-xR2+y0-yS2].

故[PQ=PRPSSR=x0-xRy0-ySx0-xR2+y0-yS2=y0-yS1+y0-ySx0-xR2].

由直線斜率的定義可知[y0-ySx0-xR=kSR=-AB].

因為點[Sx0，yS]在直線[l]上，

所以[yS=-Ax0+CB].

代入上式化簡即可求得[PQ=Ax0+By0+CA2+B2].

【評注】此優化方案利用了代數式中某些項隱藏的幾何意義——直線的斜率，避開了復雜的距離化簡運算. 它和傾斜角轉換法有異曲同工之妙，建議安排在傾斜角轉換法之后介紹.

問題3：回顧探究過程，思考并回答以下幾個問題.

（1）我們解決了什么問題？得到了什么？

（2）我們通過什么途徑和方法獲得它？你能歸納出探究的一般步驟嗎？

（3）在求解過程中，我們遇到了什么困難？怎么解決的？你有什么體會？

（4）得到這個公式后，我們還可以計算或研究哪些問題？

【設計意圖】從假設與所求、路徑與方法、反思與體會、推廣與應用4個方面小結探究過程，升華探究活動的內涵. 此過程中注意引導學生歸納圖1中向量分析法與解析分析法解決解析幾何問題的一般步驟.

三、結束語

唯天下之至誠能勝天下之至偽，唯天下之至拙能勝天下之至巧. 在數學教學中，教師引導學生圍繞真問題，進行真思考、真辨析、真反思，少一些解題套路的訓練，多一些數學思考的探究活動，是帶領學生走出題海，提升教學效果的重要途徑. 對此，教師要加強對數學知識和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的理解，以數學知識的發生發展過程為依據，挖掘其中的數學思想，設計切實可行探究環節，讓數學課堂真正成為發展學生思維的殿堂.

參考文獻：

［1］蘇洪雨. 基于問題設計的數學微探究評價體系構建［J］. 數學教育學報，2019，28（1）：23-28.

［2］章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.