大概念引領(lǐng)，大問(wèn)題導(dǎo)向

摘 要：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)是構(gòu)建內(nèi)容結(jié)構(gòu)（單元或主題），而關(guān)鍵是提取大概念，提出大問(wèn)題。對(duì)照新課標(biāo)的相關(guān)要求，現(xiàn)行三套初中數(shù)學(xué)教材中“分式”內(nèi)容的編排在結(jié)構(gòu)化教學(xué)上還可以加強(qiáng)，特別是“數(shù)式通性”以及類比、歸納推理還可以更加凸顯。由此，確定“分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算”教學(xué)的大概念和大問(wèn)題，并進(jìn)一步細(xì)化設(shè)計(jì)“分式的基本性質(zhì)”“分式的乘除”和“分式的加減”教學(xué)的系列子問(wèn)題，從而強(qiáng)化該內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化教學(xué)；分式；大概念；大問(wèn)題

一、 對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的認(rèn)識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程（教學(xué)）目標(biāo)。為此，教學(xué)內(nèi)容需要由實(shí)體性知識(shí)向建構(gòu)性知識(shí)轉(zhuǎn)型，學(xué)習(xí)樣態(tài)需要由淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)型。作為抓手，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：課程內(nèi)容組織重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。［1］

當(dāng)然，在設(shè)計(jì)（體現(xiàn)）結(jié)構(gòu)化（特征）的教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，還需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)（過(guò)程）。

筆者自2018年起一直參與北師大版初中數(shù)學(xué)教材的編寫、修訂，期間得到課標(biāo)修訂組核心成員、教材主編馬復(fù)教授等專家的多次指導(dǎo)。結(jié)合核心素養(yǎng)背后的大概念（“少而精”）思想［2］和教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的“引發(fā)學(xué)生思考”（“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”）理念［3］，筆者對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)有了一些基本的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)是構(gòu)建內(nèi)容結(jié)構(gòu)（單元或主題）。而構(gòu)建內(nèi)容結(jié)構(gòu)要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的邏輯聯(lián)系。［4］為此，應(yīng)把眼界放得開(kāi)闊些、長(zhǎng)遠(yuǎn)些，不只關(guān)注人為劃分的課時(shí)知識(shí)點(diǎn)（碎片化知識(shí)），也不局限于教材設(shè)計(jì)的章節(jié)知識(shí)塊（畢竟，“教材只是一個(gè)例子”），而綜合考慮整個(gè)學(xué)段乃至超越學(xué)段的有關(guān)內(nèi)容，充分挖掘內(nèi)容聯(lián)系，必要時(shí)重組內(nèi)容結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，這很考驗(yàn)教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的理解深度和廣度。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的關(guān)鍵是提取大概念，提出大問(wèn)題。大概念是“金句”，是在透徹理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上提取的具有本質(zhì)意義的核心觀點(diǎn)，它是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的“靈魂”與“歸宿”；大問(wèn)題是在大概念的指引下提出的具有根本性的主干問(wèn)題，可以分解為一系列子問(wèn)題，能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考與探索，在掌握具體知識(shí)的同時(shí)感悟大概念，它是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的“抓手”和“載體”。

二、 “分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算”結(jié)構(gòu)化教學(xué)

（一） 課標(biāo)要求分析

“分式”是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)與式”主題中的重要內(nèi)容，包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算等具體知識(shí)。分式是代數(shù)式的一種重要類型，與分?jǐn)?shù)（小學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”主題）、分式方程（初中“方程與不等式”主題）、反比例函數(shù)（初中“函數(shù)”主題）等知識(shí)聯(lián)系密切，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科和生產(chǎn)實(shí)踐（特別是有關(guān)比例的內(nèi)容）中有著廣泛的應(yīng)用。分式的基本性質(zhì)與四則運(yùn)算是代數(shù)式恒等變形的重要依據(jù)。

對(duì)于“分式”，新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”部分提出的“內(nèi)容要求”是：“了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能對(duì)簡(jiǎn)單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算?！保?］提出的“學(xué)業(yè)要求”是：“知道分式的分母不能為零，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分并化簡(jiǎn)分式，能對(duì)簡(jiǎn)單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式。”［6］

結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的認(rèn)識(shí)，以及新課標(biāo)給出的“教學(xué)提示”，可知“分式”教學(xué)的重點(diǎn)是“分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算”，教學(xué)的關(guān)鍵是把握數(shù)與式的整體性，以小學(xué)數(shù)學(xué)的“分?jǐn)?shù)”知識(shí)為基礎(chǔ)，凸顯“數(shù)式通性”，由此讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納等思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，理解運(yùn)算方法與運(yùn)算律的關(guān)系，提升推理能力和運(yùn)算能力。

（二） 教材編排比較

目前，人教版、北師大版、蘇科版三套初中數(shù)學(xué)教材，均將“分式”內(nèi)容與“分式方程”內(nèi)容安排在同一章。關(guān)于“分式”內(nèi)容，三套教材的編排順序略有不同：在分式的概念、分式的基本性質(zhì)后，人教版教材、北師大版教材均先安排分式的乘除運(yùn)算，后安排分式的加減運(yùn)算；而蘇科版教材先安排分式的加減運(yùn)算，后安排分式的乘除運(yùn)算。前者是基于分式的乘除通常比分式的加減簡(jiǎn)單（只涉及約分，不涉及通分）的考慮，后者是基于學(xué)生在數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）與整式運(yùn)算的學(xué)習(xí)中習(xí)慣的一般順序。總的來(lái)說(shuō)，這樣的順序區(qū)別對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)并無(wú)太大影響。

對(duì)“分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算”的相關(guān)內(nèi)容，三套教材的引入設(shè)計(jì)如下頁(yè)表1所示。

可見(jiàn)，三套教材的引入設(shè)計(jì)均考慮了分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系。人教版教材三部分內(nèi)容均類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)或四則運(yùn)算引入，其中“分式的加減”的引入有具體的實(shí)例，其余內(nèi)容的引入未提供實(shí)例；北師大版教材中，“分式的基本性質(zhì)”以“引發(fā)思考的話題”引入，而“分式的四則運(yùn)算”類比分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算引入，其中“分式的乘除”的引入給出了實(shí)例；蘇科版教材中，“分式的基本性質(zhì)”從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)引入，而“分式的四則運(yùn)算”未從分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算引入。

總的來(lái)看，三套教材的引入設(shè)計(jì)有不同的思考和定位：人教版教材保持三部分內(nèi)容引入的一致性，北師大版教材體現(xiàn)引入問(wèn)題的設(shè)疑激思特點(diǎn)，蘇科版教材體現(xiàn)內(nèi)容要求的螺旋上升。

（三） 結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

對(duì)照新課標(biāo)的相關(guān)要求，現(xiàn)行的三套初中數(shù)學(xué)教材中“分式”內(nèi)容的編排在結(jié)構(gòu)化教學(xué)上還可以加強(qiáng)，特別是“數(shù)式通性”以及類比、歸納推理還可以更加凸顯。筆者在教學(xué)中強(qiáng)化了該內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)。

總體而言，在數(shù)學(xué)知識(shí)方面，希望能引導(dǎo)學(xué)生把分?jǐn)?shù)與分式放到完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)中理解，借助“數(shù)學(xué)的眼光”，整體把握數(shù)與式的結(jié)構(gòu)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)；在數(shù)學(xué)方法方面，希望能引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)的系統(tǒng)理解走向分式方法體系的構(gòu)建，借助“數(shù)學(xué)的思考”，把分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中習(xí)得的方法遷移運(yùn)用到分式問(wèn)題情境中，發(fā)展抽象能力與推理（類比、歸納等）能力；在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，希望能引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”，進(jìn)行模型化建構(gòu)和拓展，最終解決分式的相關(guān)問(wèn)題。

為此，基于對(duì)該內(nèi)容的分析以及結(jié)構(gòu)化教學(xué)的關(guān)鍵，筆者確定了該內(nèi)容教學(xué)的大概念和大問(wèn)題：

大概念：數(shù)與式的研究往往有類似之處，數(shù)是式的具體呈現(xiàn)，式是數(shù)的抽象表達(dá)。

大問(wèn)題：我們是如何建立起分式的基本性質(zhì)與分式的運(yùn)算法則的？

由此，引導(dǎo)學(xué)生把握內(nèi)容本質(zhì)，了解怎樣學(xué)習(xí)，知道能解決什么問(wèn)題。

在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步細(xì)化設(shè)計(jì)了三部分內(nèi)容（三課時(shí)）的系列子問(wèn)題：

【分式的基本性質(zhì)】

（1） 我們知道2/4＝1/2，你認(rèn)為a/a2與1/a相等嗎？

（2） 回憶分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你能用符號(hào)表示這些性質(zhì)嗎？

（3） 猜一猜，分式有什么性質(zhì)？

【分式的乘除】

（1） 分式與整式都是代數(shù)式，類比整式的運(yùn)算，我們可以研究分式的哪些運(yùn)算呢？

（2） 回憶分?jǐn)?shù)的乘法、除法運(yùn)算，請(qǐng)分別寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘法及除法的算式，并算一算。

（3） 猜一猜，分式應(yīng)該如何進(jìn)行乘法、除法？

【分式的加減】

（1） 我們學(xué)習(xí)了分式的乘法和除法運(yùn)算，那么，分式的加法和減法運(yùn)算應(yīng)該如何進(jìn)行呢？

（2） 回憶分?jǐn)?shù)的加法、減法運(yùn)算，請(qǐng)分別寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)的加法及減法的算式，并算一算。

（3） 猜一猜，同分母的分式應(yīng)該如何進(jìn)行加法或減法？

（4） 猜一猜，異分母的分式應(yīng)該如何進(jìn)行加法或減法？

這樣，各部分內(nèi)容的教學(xué)都是從分?jǐn)?shù)的問(wèn)題引入，如“回憶分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“回憶分?jǐn)?shù)的乘法、除法運(yùn)算”“回憶分?jǐn)?shù)的加法、減法運(yùn)算”；都讓學(xué)生試著類比分?jǐn)?shù)的結(jié)論，得到分式的結(jié)論，如“猜一猜，分式有什么性質(zhì)”“猜一猜，分式應(yīng)該如何進(jìn)行乘法、除法”“猜一猜，同分母分式應(yīng)該如何進(jìn)行加法或減法”“猜一猜，異分母分式應(yīng)該如何進(jìn)行加法或減法”。此外，在教學(xué)引導(dǎo)（提示）方面，“你能用符號(hào)表示這些性質(zhì)嗎”，讓學(xué)生進(jìn)一步理解字母表示數(shù)的意義，感悟特殊與一般的關(guān)系，并通過(guò)基于符號(hào)的運(yùn)算和推理，建立符號(hào)意識(shí)；“請(qǐng)你分別寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘法及除法的算式，并算一算”“請(qǐng)你分別寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)的加法及減法的算式，并算一算”，讓學(xué)生在嘗試中歸納，發(fā)現(xiàn)分式的結(jié)論，凸顯歸納推理的巨大作用；而“分式與整式都是代數(shù)式，類比整式的運(yùn)算，我們可以研究分式的哪些運(yùn)算呢”“我們學(xué)習(xí)了分式的乘法和除法運(yùn)算，那么，分式的加法和減法運(yùn)算該如何進(jìn)行呢”，則讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法和路徑，知道數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)總是存在密切的聯(lián)系。由此，凸顯結(jié)構(gòu)化教學(xué)的理念，直指大概念的生成與感悟。

此外，教學(xué)后還可以基于大問(wèn)題設(shè)置大任務(wù)，考查學(xué)生對(duì)具體知識(shí)的掌握情況，以及對(duì)大概念的感悟程度。

例如，“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容教學(xué)后，可以設(shè)計(jì)以下大任務(wù)：“結(jié)合學(xué)習(xí)，你對(duì)‘?dāng)?shù)’與‘式’的關(guān)系有什么感悟？請(qǐng)以此為主題寫一篇數(shù)學(xué)小短文?！痹摯笕蝿?wù)考查學(xué)生對(duì)“數(shù)式通性”以及類比、歸納推理等大概念的感悟程度。

參考文獻(xiàn)：

［1］［3］［4］［5］［6］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：3，86，93，56，59.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：前言4.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)反思型教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2020/02/67）的階段性研究成果。