生日悖論

前陣子我給政府部門打了個(gè)電話，工作人員需要我提供出生日期，以便驗(yàn)證我的身份。我說完我的生日后，她很開心地告訴我，她的生日和我在同一天：“這是多罕見的巧合啊！”

但真的是這樣嗎？生日在同一天的情況真的罕見嗎？

數(shù)學(xué)上的概率計(jì)算顯示，在隨機(jī)選擇的23個(gè)人中，有兩個(gè)人在同月同日出生的概率就能達(dá)到50%。

很多人都會(huì)覺得這個(gè)結(jié)論特別不可思議。一年有365天，如果是閏年的話還要多1天，怎么可能這么少的人數(shù)就能讓“有兩個(gè)人的生日在同一天”的可能性達(dá)到50%呢？數(shù)學(xué)家理查德·馮·米澤斯把這種現(xiàn)象稱為“生日悖論”。

讓我們來思考一下，為什么這么少的人數(shù)就足夠使概率達(dá)到50%呢？顯而易見，直覺讓我們把這個(gè)問題和另一個(gè)問題弄混了：“最少需要多少人，才能保證有1個(gè)人在特定的一天（比如在我的生日那天）也過生日的概率達(dá)到50%？”

實(shí)際上，上述這個(gè)問題的正確答案是：要比23個(gè)人多得多——至少需要253個(gè)人。這是因?yàn)椋ㄟ^計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，23個(gè)人能組成253個(gè)生日比較組（任意兩個(gè)人的生日都可組成一組）。計(jì)算方法為：若將23個(gè)人從1到23編號(hào)，1號(hào)可以與2號(hào)至23號(hào)中的每一個(gè)人比較，因此，1號(hào)可以組成22個(gè)比較組。與此同理，2號(hào)可以與3號(hào)至23號(hào)中的每一個(gè)人比較（2號(hào)與1號(hào)的比較組已經(jīng)計(jì)算過了），2號(hào)可以組成21個(gè)比較組。以此類推，最終有22+21+20+……+2+1=（22+1）×22/2個(gè)比較組即23×22/2=253個(gè)比較組。也就是說，與特定的生日（比如我的生日）進(jìn)行比較時(shí)，同樣需要253個(gè)生日比較組才能使“生日與我在同一天的概率”達(dá)到50%。當(dāng)“我”是確定的時(shí)候，只需要隨機(jī)找253個(gè)人，就能形成和“我”的生日進(jìn)行比較的253個(gè)比較組了。

換一種表達(dá)方式，在開場(chǎng)陣容為23人（兩支球隊(duì)各11人，裁判1人）的足球比賽中，兩個(gè)人在同一天過生日的概率達(dá)到50%。

（常鑫摘自浙江教育出版社《5分鐘怪誕數(shù)學(xué)：那些看似不可能的生活真相》一書，視覺中國供圖）