平面幾何折紙游戲

折紙，是同學們十分喜愛的一種手工游戲。在很短的時間內，我們就可以把正方形或長方形紙折成飛機、小船或是青蛙，好像變魔術一樣——這類折紙游戲一般被稱為藝術折紙。

與數學緊密結合的折紙游戲，可以分為平面幾何折紙和空間幾何折紙兩類。本期雜志，我們就來介紹平面幾何折紙游戲。這種折紙游戲與藝術折紙的主要區別在于：不特別重視折紙的藝術性，只關注折出各種幾何圖形，幫助同學們更好地理解各種幾何知識。

本期策劃我們將介紹39種平面幾何折紙游戲，如果同學們能根據步驟折出這39種圖形，小學階段的幾何問題就再也難不倒你了！

折紙的基本知識

在介紹平面幾何折紙游戲之前，我們先了解一些折紙的基本知識，如折紙的材料、形狀和尺寸等。

折紙的材料和形狀

折紙的材料在日常生活中很常見，可以來自廣告紙、掛歷紙、廢舊報紙等，也可以來自專門用于折紙的長方形或正方形紙。最常見的折紙材料的形狀是長方形或正方形。

（為了方便大家理解，在之后的內容中，我們用淺橙色表示紙張的正面，用深橙色表示紙張的背面。）正方形紙，有4個直角、4條邊，每條邊長度相等。

長方形紙，同樣有4個直角、4條邊，相鄰兩條邊長度不等。在實際操作中，長方形紙通常是A4紙，其長寬比是1.414∶1。

驗證紙張是否標準

如果你手中的紙不太規則（比如從筆記本上隨意剪下的紙），那折紙的成品就不太規整。所以，有時候我們還需要驗證這些紙是否是標準的長方形或正方形。

檢驗一張長方形紙是否標準，只需要將紙的兩邊分別對折，看上下、左右兩邊是否完全重合。

檢驗一張正方形紙是否標準，需要先將紙的兩邊分別對折，看上下、左右兩邊是否完全重合，然后將紙的對角分別對折，看鄰邊是否完全重合。

等分折紙

在幾何學中，如果兩個圖形的形狀相同、大小相等，則稱這兩個圖形“全等”。在折紙游戲中，我們可以將一張正方形或長方形紙分成若干個全等的圖形。

等分正方形

有一張正方形紙，要求把該正方形紙等分為兩個全等的圖形。滿足要求的折法非常多，我們簡單介紹幾種。

折法1 將正方形分為兩個全等的長方形

折痕EF將正方形ABCD分為兩個全等的長方形，該長方形的長和原正方形的邊相等，寬是原正方形邊的一半。

折法2 將正方形分為兩個全等的長方形

同樣的，折痕EF將正方形ABCD分為兩個全等的長方形，該長方形的長和原正方形的邊相等，寬是原正方形邊的一半。

折法3 將正方形分為兩個全等的等腰直角三角形

BD是正方形ABCD的對角線，將正方形ABCD分為兩個全等的等腰直角三角形。也可以讓正方形的點B和點D重合，得到折痕AC， AC同樣將正方形ABCD分為兩個全等的等腰直角三角形。

折法4 將正方形分為兩個全等的直角梯形

已知AB和DC相等，又可以證明AE和FC相等、BF和ED相等，所以EF將正方形ABCD分為兩個全等的直角梯形。

2n等分正方形

我們可以進一步把正方形4等分、8等分、16等分、32等分……把正方形2n等分的折法有許多，我們介紹幾種比較有趣的。

折法5 將正方形分為4個和8個全等的長方形

上面展示了將正方形分為8個全等的長方形的兩種折法。同學們可以在此基礎上繼續左右、上下對折正方形，把正方形分為2n個全等的長方形。

折法6 將正方形分為4個全等的四邊形

折痕EF和GH將正方形分為4個全等的四邊形。同學們上了中學后，就能學習到證明這4個四邊形全等的方法。

折法7 將正方形分為8個全等的等腰直角三角形

AC、BD、EF、GH這4條折痕將正方形分為了8個全等的等腰直角三角形。需要注意的是，折法6和折法7還可以用于長方形紙，能把長方形等分為4個全等的四邊形或8個全等的直角三角形。

3等分正方形

同學們已經掌握了將正方形分為2個、4個、8個全等圖形的折法。那我們能通過折紙把正方形分為3個全等的圖形嗎？答案是肯定的。20世紀80年代，日本筑波大學的生物學教授芳賀和夫發現了3等分正方形的折法。

折法8 將正方形分為3個全等的長方形

折痕IJ和KL將正方形分為3個全等的長方形。該折法的步驟2中有個非常有趣的現象，那就是△AIE的3條邊AE、AI和EI的比例恰好是3∶4∶5。

折法9 將正方形分為3個全等的長方形

折法8和折法9都只能將正方形分為3個全等的長方形。數學家已經證明，我們無法通過折紙的方法將正方形分為3個全等的三角形。更有趣的是，數學家還證明，正方形不可能被分割成奇數個面積相等的三角形。

奇數等分正方形

進一步的，我們還可以通過和折法6類似的折法把正方形分為5個、7個、9個、11個……奇數個全等的長方形。

折法10 將正方形分為5個全等的長方形

點M、J、O、K是AB的5等分點；點N、I、P、L是DC的5等分點。MN、JI、OP、KL將正方形ABCD分為5個全等的長方形。

折法11 將正方形平分為7個全等的長方形

6條平行的折痕將正方形ABCD分為7個全等的長方形。這種折法也是芳賀和夫教授發現的。

小結

在等分折紙的過程中，會涉及一些數學概念，如正方形、長方形、直角三角形、等腰直角三角形、直角梯形、四邊形、對稱、垂直、等分點、全等、比例等。掌握這些概念，對同學們學習幾何知識有非常大的幫助。

3等分一個角

2400多年前的古希臘，數學家們提出了3個幾何作圖難題，分別是：3等分角問題、化圓為方問題和倍立方問題。這3個問題的難度在于只能用一把沒有刻度的直尺和圓規來作圖。

其中，3等分角問題指的是用一把沒有刻度的直尺和圓規把任意一個已知角3等分，數學家們已經證明，這個問題無解。但用折紙的方法，可以很容易地把一個角3等分。

3等分直角和45°角

無論是長方形還是正方形，它們的4個角都是直角。因此，等分它們中的任意一個角就是等分直角。45°角，恰好是直角的一半，只需要過正方形的頂點，將任意兩條鄰邊重合對折，就可以得到45°角。3等分直角后，每個角是30°。含30°角的直角三角形是一個特殊的直角三角形，其斜邊的長度恰好是短的那條直角邊的兩倍。

折法12 3等分直角

折痕CH和CI將∠BCD3等分，∠HCB、∠HCI和∠ICD都是30°。△BHC和△ICD是兩個全等的直角三角形，ID=HB=1／2HC=1／2IC。

折法13 3等分45°角

折好之后，同學們拿出量角器來量一量，就會發現∠BAG、∠GAH和∠HAC的角度都是15°。此折法只適用于等腰直角三角形。

3等分任意銳角

和3等分直角、45°角比起來，3等分任意銳角要復雜一些，需要的步驟也更多。銳角可以由過直角的頂點任意畫一條直線得到。

折法14 3等分銳角

折痕BI和BK恰好可以把∠PBC進行3等分。除了畫出PB得到銳角∠PBC外，我們還可以通過折紙的方式，過B點折出一條直線PB，同樣可以得到一個任意銳角。折法14不但適用于長方形紙，也適用于正方形紙。

7等分105°角

這是一種比較有趣的折紙方法，要用到一大一小兩張正方形紙，其中大正方形的邊長等于小正方形的對角線長。小正方形可以用大正方形折出來，再將小正方形疊放在大正方形的某一位置上，即可把一個105°的角7等分，每個角為15°。

折法15 把正方形紙折成面積為其一半的小正方形

折疊完成，得到一個新的小正方形，這個小正方形的對角線長恰好是大正方形的邊長，面積是大正方形面積的一半。這個小正方形還有一種折法，參考折法4，折出大正方形的兩條對角線AC和BD，AC和BD同樣相交于點O，再讓大正方形的4個頂點A、B、C、D和點O依次重合。

折法16 7等分105°角

∠A＇BC的角度是105°，它被這6條折痕7等分，每個角都是15°。這是一種將60°角4等分和45°角3等分這兩種折法結合起來的折法。

小結

通過折紙等分一個角時，過角的頂點將一個角的兩條邊重合對折，其折痕就是角平分線。可以通過不斷折出角平分線的方法將一個任意角4等分、8等分或者16等分。只要有耐心，甚至可以將一個任意角256等分或512等分。

折出正多邊形

正多邊形蘊含著豐富的數學內涵，從古代數學到現代數學，正多邊形一直是數學教學與研究的重要主題之一。正多邊形指所有邊長相等、所有的角也相等的多邊形。

折出正三邊形

正三邊形也叫等邊三角形，指的是3條邊相等、3個內角也相等的三角形。等邊三角形的折法很多，可以用正方形紙折出來，也可以用長方形紙折出來。折等邊三角形的關鍵在于折出60°或30°的角。

折法17 用長方形紙折等邊三角形

現在，長方形ABCD被折疊成△AGI，△AGI就是一個等邊三角形！折法17也適用于正方形紙。如果長方形的長邊特別長，超過寬的兩倍，那么，當紙的右下部分向左上折疊后，留在△AGI外的部分會是四邊形。無論是什么形狀，都要把超出△AGI的部分折疊到三角形內。

折法18 用正方形紙折等邊三角形

正方形ABCD被折疊成△DIJ，△DIJ就是一個等邊三角形。這種折法折出的等邊三角形的面積是這張正方形紙張面積的46.4%。這也是正方形紙張能折出的最大面積的等邊三角形。

折出正四邊形

正四邊形就是正方形，如果你手中的折紙是正方形紙，那就不用再折了。如果你手中只有一張長方形紙，那可以通過下面的折法將長方形折成正方形。

折法19 用長方形紙折正方形

同學們可以很容易證明四邊形ABFE的4條邊相等，4個角都是直角，為一個正方形。若長方形的長是a，寬是b，從長方形中能折出（或剪出）的最大面積的正方形的邊長是b。

折出正五邊形

正五邊形是平面幾何圖形中一個比較重要的幾何圖形，它的5條邊相等，5個內角都是108°。想要折出正五邊形，關鍵在于折出108°，其折法相對而言比較復雜。

折法20 用正方形紙折正五邊形

五邊形IJKHE就是一個正五邊形，它的每個內角都為108°，其面積是正方形面積的65.7%，這也是一張正方形紙張能折出的最大面積的正五邊形。

折出正六邊形

正六邊形的6個內角都是120°。正六邊形的折法很多，有些折法需要使用剪刀配合。

折法21 用正方形紙折正六邊形（用剪刀）

這個折法最關鍵的步驟是第5步，第5步折出了一個60°的角，從而滿足了“正六邊形可以分為6個全等的正三角形”的條件。

折法22 用長方形紙折正六邊形（不用剪刀）

該折法和折法17相似，折法17折出了一個等邊三角形。折法22在第5步折出了兩個對稱的等邊三角形，再折疊這兩個等邊三角形，就得到了正六邊形。

折出正八邊形

正八邊形的8個內角都是135°。135°=180°-45°，在一個平角里折出45°角，剩下的那個角就是135°。

折法23 用正方形紙折出正八邊形

最后得到的八邊形JLNQIKMP就是一個正八邊形。這也是正方形紙能折出的最大面積的正八邊形，占正方形紙張面積的82.8%。用長方形紙也可以折出正八邊形，只要將長方形先折成正方形即可。

折法24 用正方形紙折出正八邊形（用剪刀）

折法23和折法24折出的正八邊形一樣大，兩個正八邊形的面積都是正方形紙張面積的82.8%。

小結

除了前面介紹的幾種正多邊形外，正七邊形、正九邊形、正十邊形等都可以通過紙折出來，由于折法太復雜，步驟太多，我們就不在此介紹了。

折紙和數學定律

除了折出各種幾何圖形，我們還可以用折紙進行一些有趣的數學“驗證”。

三角形的內角和等于180°

同學們學習三角形知識的時候了解了，三角形的3個內角之和是180°， 這個定理用一張紙就能驗證。

折法25 證明三角形內角和為180°

折完之后，同學們可以看出，∠1、∠2和∠3合起來組成了一個平角，是180°，因此可以證明三角形的內角之和是180°。這個方法對所有三角形都適用。

驗證勾股定理

在數學學習中，我們已經開始接觸勾股定理，勾股定理的內容是：直角三角形的兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩條直角邊是a和b，斜邊是c，那么有：a²+b²=c²。

小知識

趙爽，字君卿，東漢末至三國時代人，生平不詳，約生活于公元3世紀初。他的主要貢獻是深入研究《周髀算經》，為該書寫序言，并作詳細注釋。

大正方形的面積= c²

直角三角形的面積=1／2ab

小正方形的面積= （ b ? a"）²

大正方形的面積=4個直角三角形的面積+小正方形的面積

= 4×1／2ab"+（b ? a）²

= a²+b²

勾股定理最早起源于幾何學中的田地測量活動，隨后在不同的領域中得到了廣泛應用。勾股定理的證明方法有很多，其中一個非常出名的證明方法來自三國時期的數學家趙爽。

趙爽用4個全等的直角三角形構造了一個邊長等于三角形斜邊的大正方形，并用這個圖形證明了勾股定理——這一圖形后來被人們稱為“趙爽弦圖”。

趙爽對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。2002年國際數學家大會在北京召開，大會的會標就是“趙爽弦圖”。

折法26 趙爽弦圖折法1

相信同學們已經看出來了，最后折出的正方形EGFH就是趙爽弦圖！這也是趙爽弦圖最簡單的一種折法。

折法27 趙爽弦圖折法2

和折法25相比，折法26比較復雜，但兩種折法最后都在正方形折紙的4個角上折出4個全等的直角三角形。

小結

除了驗證勾股定律和三角形內角和等于180°外，我們還可以用折紙來驗證三角形的3條中線交于一點、三角形的3條高交于一點、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等數學定律。

折紙和分數

前面介紹了將一張紙分為n個全等圖形的辦法，假設這張紙的面積是1，n等分后的每個圖形的面積就是1／n。如果不追求等分為全等圖形，我們可以折出更多和分數密切相關的圖形。

折出各種分數的正方形

在大正方形紙里折出小正方形的方法有很多，但要求折出的小正方形的面積為一個固定分數就沒那么容易了，下面我們介紹了3種折出特殊小正方形的方法。

折法28 折出面積是大正方形1／5的小正方形

折好之后，你會看到大正方形ABCD中出現了一個小正方形IJKL。IJKL和△AID、△ABJ、△KBC、△LCD的面積相等，因此，IJKL的面積恰好等于ABCD面積的1／5 。

折法29

折出面積是大正方形1／9和4／9的小正方形

折痕I J 、H K 和正方形ABCD的4條邊構成了小正方形AHGI和GJCK，AHGI的面積是ABCD面積的1／9 ，GJCK的面積是ABCD面積的4／9 。

折法30 折出面積是大正方形3／4 的小正方形

折好之后，你會看到ABCD中出現了一個小正方形JKCI，JKCI的面積恰好是ABCD面積的3／4 。

長方形和分數

玩過24點的同學一定會發現，24是個非常有趣的數。24的約數的個數比較多，有1、2、3、4、6、8、12、24共8個約數。任意取4張牌，很容易通過加減乘除算出24。我們可以通過折紙，折出分母為24的任何分數！

折法31 折出分母為24的任何分數

圖中有6個不可再拆分的圖形，分別是：△GHF、△HCF、△AEG、△BHC、四邊形E B H G 和梯形A G F D 。設長方形的面積是1，這6個圖形的面積分別是：1／24，2／24，3／24，4／24，5／24，9／24。它們可以組成以24為分母的任何分數。

分數的運算

分數運算主要包括分數加法、分數減法、分數乘法、分數除法4個部分，它是小學數學學習中最后一種數的運算。學習分數的4種運算對于理解分數的意義具有十分重要的作用。現在，我們可以用折紙的方式幫助同學們學習分數知識。

折法32 分數加法，求1／2＋1／3

小結

分數運算是很多同學學習數學的難點，借助折紙游戲，設整張折紙的面積是1，我們就可以把復雜的算術問題轉化為幾何知識，幫助同學們理解分數，提高邏輯推理能力。

折紙和曲線

在之前的內容里，我們介紹了許多把紙折成幾何圖形的辦法，那么，一個很有趣的問題出現了：通過折紙能否折出曲線來呢？

折出圓錐曲線

常常看本刊的同學都知道，圓錐曲線是一種十分重要的曲線。只要我們細心觀察，就能在生活中看到各種圓錐曲線。地球繞太陽運行的軌跡是橢圓；籃球落入籃筐時運動的軌跡是拋物線；發電廠的冷卻塔的外形是雙曲線……

所謂圓錐曲線，指的是用一個平面與圓錐的母線成不同角度截圓錐得到的曲線。截面與所有母線都相交時，截交線為圓或橢圓；截面與一條母線平行時，截交線為拋物線；截面與圓錐的軸線平行時，截交線為雙曲線的一支。有趣的是，用折紙的方法，我們可以把橢圓、拋物線和雙曲線都折出來！

折法35 折出拋物線

當折痕足夠多時，你會看到，若干條折痕形成的形狀恰好是一條拋物線！玩這個折紙游戲時需要注意，在BC上的取點要均衡，保證在BC的左、中、右都有取點。

在紙上不同的位置選擇點O，折出來的拋物線形狀將有所不同：點O距離BC越遠，拋物線越“寬”；點O距離BC越近，拋物線越“窄”。

折法36 折出橢圓

當折痕足夠多時，你會看到，這些折痕形成了一個橢圓！玩這個折紙游戲時需要注意，在圓周上的取點要均衡，保證在每個方向上都有取點。

在圓內不同的位置選擇點A，折出來的橢圓形狀將有所不同：點A距圓心O越近，橢圓越圓；點A距離圓心O越遠，橢圓越扁。

折法37 折出雙曲線

本折法可以選用長方形紙來折，雙曲線的長度會更長，看上去更好看。在圓外不同的地方選擇點A，折出來的雙曲線形狀將有所不同：點A距圓心O越近，雙曲線看起來越擴散；點A距圓心O越遠，雙曲線看起來越聚集。同樣要注意，在圓周上的取點要均衡，保證在每個方向上都有取點。

折出螺線

數學中有許多有趣的螺線，如對數螺線、平方根數螺線等。這些螺線可以通過數學公式畫出來，也可以用紙折出來。

對數螺線 這是一種非常重要的數學曲線，在自然界中隨處可見，我們可以在蝸牛、海螺、向日葵、銀河系、臺風等各種動植物和自然現象中找到對數螺線。

平方根數螺線 這是一條由連續的直角邊組成的螺線。這條螺線始于一個等腰直角三角形，兩條直角邊的邊長為1；第2個緊挨著的直角三角形以前面這個等腰直角三角形的斜邊為長直角邊，另一個直角邊的邊長也為1；第3個直角三角形以第2個直角三角形的斜邊為長直角邊，另一個直角邊的邊長也為1……以此類推。

提示

在《手繪數學》系列圖書中，我們介紹了對數螺線和平方根數螺線的畫法，同學們可以參考這套書畫一畫。

折法38 折出對數螺線

觀察折好的圖形，發現這是一系列等腰直角三角形構成的，把點D、E、I、K、L、Q、T、W、V用平滑的弧線連接起來，就是一條對數螺線！

折法39 折出平方根數螺線

相信同學們已經發現了，只要不斷重復上述折疊過程，你就會看到點A、B、G、I、K、M……連成了一條平方根數螺線！

小結

和藝術作品里的曲線相比，數學曲線有一種獨特的美，這是因為所有的數學曲線都是在明確的規則下形成的，能給人一種流暢而舒適的視覺感受。上中學后，同學們就可以在數學課上學習到這些數學曲線的表達公式，能更深入地領略數學之美。