在數學活動課中促進學生高階思維能力發展

[摘? 要] 文章從以下三個方面闡述在數學活動課中如何促進學生高階思維能力發展：把培養學生高階思維能力作為數學課堂教學的價值追求;創設合適的情境，喚醒學生的數學意識;精心設計問題，讓數學活動植入理性思維.

[關鍵詞] 數學活動課;高階思維能力

作者簡介：陳潁（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事初高中數學教法和學法的研究工作，曾獲廣州市優秀教師稱號，廣東省首屆中小學青年教師教學能力大賽一等獎，廣州市第六屆初中數學十佳青年教師，廣州市中小學數學骨干教師.

高階思維是指發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力[1]. 數學是思維的體操，思維是數學的心臟，培養學生高階思維能力需要串聯的高階數學學習活動予以支撐，而數學活動課則是一個有效的載體. 本文以人教版數學七年級上冊第二章“整式的加減”中的數學活動為例，談談數學活動課中如何促進學生高階思維能力的發展.

教學實踐過程

1. 教學環節1：創設情境，初探規律

師：今天我們先玩一個“猜和”游戲，需要幾組同學配合完成. 同學A出題，同學B答題. 游戲規則是：如圖1所示，同學A框出某月的月歷中任意形式連續的三個數，求和后告訴同學B;同學B在3秒內說出這三個日期.

（學生踴躍參與，學生A分別從橫、豎、斜三個不同的角度提問）

師：大家是如何得到這三個日期的？

生1：把它們的和除以3可以得到中間的日期.

師：你是怎么發現的？

生1：月歷中三個連續的數的排列有規律，橫的差1，豎的差7，左斜差6，右斜差8，首尾兩個數與中間的數的差正好抵消了.

師：很好！我們怎么用數學的方法表示這種規律？以橫排差1的為例.

生2：可以設中間的數為a，前面一個數為a-1，后面一個數為a+1，三個數的和為3a，即中間數的3倍.

生3：也可以設第一個數為a，則中間的數為 a+1， 第三個數為a+2，三個數的和為3a+3=3（a+1），也是中間數的3倍.

生4：還可以設第三個數為a，則第一個數為 a-2， 中間的數為a-1，三個數的和為3a-3=3（a-1），也是中間數的3倍.

教師板書以上三種表示方式進行對比：

師：三種表示方式不同但都是正確的，大家覺得哪種方式更好？

生5：第一種！因為關系最簡潔明顯，計算也最簡便.

師：這個結論對任何一個月歷都成立嗎？為什么？

生6：都成立，因為字母a可以表示月歷中的任何一個數.

師：是的，這就是用字母表示數并進行推理的好處，更具有一般性.

教學分析 高階思維的產生源于學生的求知欲，教師通過游戲創設情境，能激發學生的好奇心，引導學生觀察發現規律，會用字母表示數來證明規律.

2. 教學環節2：合作交流，規律再探

師：我們發現了三個相鄰日期的規律，如圖2、圖3、圖4所示，如果方框變為十字形（5個數）、工字形（7個數）、“3×3”九宮格（9個數），方框中所有數的和是多少呢？怎樣運算簡便？

生7：十字形方框中所有數的和是正中心數的5倍，工字形方框中所有數的和是正中心數的7倍，“3×3”九宮格中所有數的和是正中心數的9倍.

師：你是怎么得到這個關系的？如果移動方框，這個結論是否依然成立？

生7：與前面的方法類似，設正中心數為 a，其他數全部可以用a表示出來，所有數的和也可以用a表示出來（如圖5、圖6、圖7所示，教師投影學生畫的圖），求和時常數項部分全部抵消了，只剩下含字母a的了，就可以得到十字形5個數之和是5a，工字形7個數之和是7a ，“3×3”九宮格9個數之和是9a.

師：不錯，你運用類比的方法發現了一般性結論.

師：接下來，我們繼續改變方框的形狀，如果方框變化為“2×2”正方形呢？（如圖8所示）

生8：對角線數之和相等， 即a+（a+8）=（a+1）+（a+7），如圖9所示.

生9：所有數之和為a+a+1+ a+7+a+8=4a+16=4（a+4），和為4的倍數，但是和并不是其中任何數的4倍.

生10：老師，我還發現（a+1）（a+7）-a（a+8）=7，也就是對角線兩個數乘積的差都等于7.

師：你們能從不同的角度去看問題，非常好！若再改變一下方框的形狀，如圖10所示，又會有哪些結論？

生11：還有對角線數之和相等，即a+（a+7）=（a+1）+（a+6），如圖11所示.

生12：對角線兩個數乘積的差都等于6， 即（a+1）（a+6）-a（a+7）=6.

生13：但是它們的和為4a+14， 不是4的倍數.

師：確實！類比前面的思考，發現結論是不一樣的.

教學分析 方框形狀的變化，方框里的日期從奇數個變化到偶數個，體現了認知過程和認知方法的系統性與連貫性，以及用字母來推理的理性思維，是發展符號意識、抽象素養和數學建模的過程. 結論不是唯一的，能發散學生的思維，引導學生關注問題本身，關注問題提出和解決的過程，關注思維的方式方法，從而提升高階思維能力.

3. 教學環節3：發散思維，舉一反三

師：以月歷為背景，請你設計一個與之前形狀不同的陰影方框，嘗試發現其中的規律. （圖12、圖13、圖14、圖15是部分學生給出的設計和結論）

師：大家給出了各種各樣的設計，我們來對比一下，思考：為什么有的設計的結論很簡潔，數的關系也很直觀，而有的設計的結論并不是那么簡潔和直觀？為什么有些規律是延續的，有些規律不是延續的？這與什么有關呢？

生14：與設計的方框的對稱性有關.

生15：具有中心對稱的方框中所有數的和等于中心數乘數的個數，并且只有奇數個才成立.

師：不錯，在中心對稱的前提下，我們體會了背景變化下規律的不變性.

教學分析 條件和結論雙開放性探究，能使學生發散思維，有助于學生創新思維的發展. 此環節給了學生一個足夠的思維空間，讓學生在自主參與、動手實踐、展示設計、表達交流中生長思維. 有些學生設計的方框中的規律并不明了，教師應引導學生進一步思考其內在聯系，即結論的簡潔性與方框的對稱性的關系.

4. 教學環節4：經驗內化，拓展遷移

問題：所示的數陣全部由偶數排成.

（1）如圖16所示，用一個平行四邊形任意框出9個數， 這9個數之和能等于1017嗎？1980呢？2016呢？若能，請寫出這9個數中最小的數;若不能，請說明理由.

生16：設中心數為a，則平行四邊形框內的數都可以用a表示，如圖17所示. 9個數之和為9a，令9a=1017，則a=113，因為a是偶數，所以9個數之和不可能等于1017;同理，令9a=1980，則a=220，所以最小的數是206;令9a=2016，則a=224，所以最小的數是210.

師：轉化成一元一次方程來解決，很好！大家有沒有不同的想法？這個過程有沒有問題？

（基于前面解決問題的經驗，大部分學生都同意生16的想法）

師（追問）：題目問某數是否存在，是一個存在性問題，大家試一試在數陣中找找數的位置.

（學生又投入到了思考當中，數分鐘后）

生17：老師，我發現a=220是數陣中的第110個偶數，數陣每一行有7個數，110÷7=15……5，因此220在數陣中是第16行從左到右的第5個數，是存在的;但是a=224是數陣中的第112個偶數，在數陣中是第16行從左到右的最后一個數，這樣的平行四邊形框是不存在的，所以這9個數之和不可能等于2016.

（教師板書過程，學生通過仔細聆聽有所頓悟）

師：嗯，這個補充使整個解答過程更完美，平時學習中我們既要捕捉關鍵的信息，還要注意嚴謹性.

（2）如圖18所示，用“4×4”方框任意框出16個數，它們的和等于1120是否可能？若能，請寫出這16個數中最小的一個數;若不能，請說出理由.

（由于時間原因，第（2）個小問留給學生課后思考）

教學分析 這類問題可以分解為多個小問題：用字母表示數分析規律，利用一元一次方程解決存在性問題. 此環節中，學生不僅要類比遷移探究方法和過程，而且要通過“是否存在這樣的數”把解方程的結果回引到數陣中進行檢驗. 通過問題解決，深化建模思想，學生能做到融會貫通這種高階思維發展的表征.

5. 梳理回顧，提升認識

月歷→數→字母表示數→代數式運算探索、證明規律→研究一般數陣.

數學知識：整式的加減，一元一次方程.

數學思想：從特殊到一般，轉化與化歸，數學建模，方程思想.

教學分析 引導學生提煉知識和方法，體會數學思想，將感性認識提升為理性認識.

數學活動課中促進學生高階思維能力發展的教學思考

1. 把培養學生高階思維能力作為數學課堂教學的價值追求

作為教師，先要明確日常課堂教學是培養學生高階思維的主陣地，把培養學生高階思維能力作為教學的價值追求. 所以備課時，教師要在理解教材的前提下對教材內容進行整合和深化，要設計層層遞進的環節引領學生深入思考，不僅讓學生掌握通性通法，還要看到問題的本質. 本節活動課的素材是探究月歷中“3×3”正方形方塊和“2×2”正方形方塊中數字求和的規律. 這一數學活動素材的意義何在？即在活動中積累解決問題的經驗和方法以利于學生思維的生長. 顯然，僅僅探究月歷中數與數的關系是不夠的，所以教師在設計中，一方面利用方框形狀的變化豐富研究的角度，另一方面以一般數陣中新的情境問題為載體，來檢驗學生是否具備遷移運用、融會貫通的能力，因為深層次思考也是高階思維能力.

2. 創設合適的情境，喚醒學生的數學意識

數學活動課的意義在于通過積累數學基本活動經驗，喚醒學生的數學意識，即將實際問題轉化為數學問題. 教師創設或設計融入問題的情境，不僅能激發學生的興趣，還能喚醒學生的符號意識、建模意識、運算意識、應用意識等數學意識，為學生高階思維的培養做好鋪墊.

3. 精心設計問題，讓數學活動植入理性思維

問題是思維活動的原動力和牽引力[2]，學生的思維在問題的解決中能得以發展. 實踐證明，好問題可將理性思維植入數學活動. 教師通過設計情境性問題、層次性問題、發散性問題、思辨性問題，讓學生在觀察、分析、驗證、推理等一系列思維活動中表達、領悟、反思、內化和創造. 而教師在關鍵點進行有效追問，是思維品質進階的有力杠桿，比如追問“題目問某數是否存在，是一個存在性問題，大家試一試在數陣中找找數的位置”有利于培養學生思維的嚴謹性，追問“為什么有些規律是延續的，有些規律不是延續的？這與什么有關呢？”引導學生對問題的特點、差異和本質進行思考，有利于培養學生思維的批判性和深刻性，提高學生學習的自主性.

數學家波利亞說過，“數學教育主要目的之一是發展學生解決問題的能力，教會學生思考. ”教材每一章節后都有數學活動，但因為課時，常常被教師忽略. 在常規教學中，數學活動課雖不是主體，但是筆者認為教師應利用好數學活動課這個平臺，讓學生在真實、開放、有趣、綜合等情境中發現問題、分析問題、解決問題，從而促進學生發展高階思維能力.

參考文獻：

[1]林勤. 思維的躍遷：高階思維能力的培養及教學方式[M]. 上海：華東師范大學出版社，2016.

[2]夏培培. 以問題為“驅動”發展學生數學高階思維能力——以“幾何最值問題”的專題探究為例[J]. 中學數學，2019（06）：44-46.