踐行“自學·議論·引導”理念,賦能初中數學教學

[摘? 要] “自學·議論·引導”教學理念，歷經四十載的實踐與研究，在初中數學教學中獲得了豐碩的成果. 隨著新課改的推進與“雙減政策”的落地，該理念對如今的數學課堂教學更具指導意義. 文章以“同底數冪的乘法”教學為例，具體從“三學”的角度來闡述學材再建構，自然切入主題;學程重生成，巧妙揭示新知;學法三結合，建構鞏固新知;課堂總提煉，提升思維能力.

[關鍵詞] “自學·議論·引導”;學材;學程;學法;課堂教學

作者簡介：盧波意（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學學科教學與研究工作，曾獲無錫市青年數學教師基本功大賽三等獎.

李庾南老師提出的學法三結合、學材再建構與學程重生成（簡稱“三學”）是“自學·議論·引導”教學的核心[1]，尤其是在“雙減”的背景下，對師生的教與學提出了更高的要求. 想要師生在有限的時間內最大限度地達到效益最大化，必然離不開各種先進的教學理念與手段的輔助. 事實證明，“三學”法的應用，是賦能數學課堂教學，培養學生數學能力的催化劑.

“同底數冪的乘法”作為冪運算的基礎，不僅是后繼學習的基石，還是物理、化學等學科的基本運算方法. 因此，本章節的教學，對學生的發展具有重要意義. 基于以上認識，筆者在“自學·議論·引導”理念的指導下，踐行“三學”思想，呈現以下形態的教學過程.

<D：＼Jzianhi＼龍源＼4.13＼數學教學通訊·初中版202303＼aa-1.jpg> 學材再建構，自然切入主題

“三學”中的學材再建構是指在教學過程中，教師結合學情，將教學內容進行重組、整合，如將一些學法相近或內容互通、互逆的一些知識整合在一起，實施單元教學[2]. 這種教學方式，不僅是將知識的結論呈現給學生，更注重知識的形成過程. 學材再建構也可以理解為將一些零碎的知識點有機地聯系到一起，讓學生能更加清晰地明確知識間的聯系，幫助學生建構完整的認知體系. 實踐證明，這種教學方式對促進學生思維的成長具有直接影響.

本節課中，不少教師會選擇將“同底數冪的乘法”與“冪的乘方和積的乘方”等內容整合到一起實施教學. 一般安排為：課時一，從乘方的意義與乘法運算律的應用出發，獲得同底數冪的乘法，再從乘方的意義和同底數冪的乘法中，獲得冪的乘方和積的乘方;課時二和課時三，一般安排學生進行運算性質相關的練習. 這種單元化的教學設計，能讓學生對三條性質的內在聯系形成較為深刻的印象，同時也能充分感知知識的發展過程.

實踐中，筆者也應用了以上整合方式對這部分內容進行教學，收效尚可. 為了踐行“雙減政策”，在原有基礎上獲得更進一步的突破，以提高教學效益，筆者又進行了新的學材整合的嘗試，具體如下：

第一課時，師生一起探討同底數冪乘法的相關知識;第二課時，要求學生結合以上研究方法和經驗，探索“冪的乘方與積的乘方”的內容;第三課時，安排運算性質的相關練習.

為了將教材有機地融合到實際教學中，筆者經過反復揣摩、分析與思考，設計了如下教學過程，以帶領學生自然而然地進入“同底數冪的乘法”的研究中去.

情境創設：為了提高生活質量，相關部門準備將街心花園一塊長、寬分別為p，b米的長方形花圃往兩邊分別加寬a，c米.

問題1：若想求出擴大后的花園面積，你能想到幾種方法？

問題2：觀察不同的表示方法，說說它們之間的聯系.

問題3：怎樣從數學的角度來辨析不同表示方法之間的關系？

設計意圖? 教材中提到與“街心花園”相關的內容，教師結合這個點，提出三個問題，成功地吸引了學生的注意力，讓學生對知識產生了探究欲，并初步感知整式運算學習的現實意義. 此情境，不僅揭示了整式乘法與因式分解之間的互逆運算，而且“積化和”也是后繼將會涉及的整式乘法，而“和化積”則為因式分解.

此過程中，利用教材所呈現的內容，經過重組，順利引出本堂課的教學主題，學生通過對這三個問題的分析，自然而然地過渡到“同底數冪的乘法”的研究中去.

問題4：若加寬后的長方形的長、寬分別是33，32，能否用式子來表示加寬后的長方形的面積？

學生列式為33×32.

問題5：這個式子屬于什么運算（乘法）？式子中的乘數具備什么特征（冪）？兩個冪之間有什么聯系？

教師若基于初始的三個問題，直接提出“我們在之前已經研究了整式的加減法，今天我們一起來學習整式的乘法以及與之關系密切的因式分解，并一起來探討同底數冪的乘法”或向學生直接呈現33×32這個式子，而后切入本節課的研究主題，這種教學方式顯然有點生硬.

為了讓學生從心理上更加流暢地接受本節課的教學內容，教師可在原有問題的基礎上進行改編，讓學生對知識產生親切感. 如將長方形的邊長p與a+b+c改成32與33，引導學生感知“長方形的面積可以從一個同底數冪的乘法式子”中獲得.

當學生對本節課的教學主題有了一定的了解與認識后，教師也無須著急帶領學生對式子進行運算，可以從進一步了解同底數冪的運算具備怎樣的特點的角度去分析，引導學生從以下三個問題著手探究：①這個式子是什么運算？②式子中的乘數是什么形式？③式子中乘數之間兩個冪具備怎樣的關系？

隨著問題的探究，學生逐步弄清該式為一種乘法運算，是冪的乘法運算，是同底數冪的乘法運算，由此抽象出此類運算的特征，提煉出運算名稱——同底數冪的乘法.

學程重生成，巧妙揭示新知

“自學·議論·引導”教學法指導下的“三學”課堂，主張開放、互動的形態. 其實，課堂教學本就是一個動態的過程，隨著教學的推進，常會出現預設之外的情況，此時也是課堂動態生成的契機. 因此，教師應注重課堂教學的動態，注重知識的生成，以彰顯數學教學的生機與活力.

教學過程中，學生常會呈現出一些新穎的想法或有建設性的問題，教師應抓住這些預設外的想法與問題作為教學的契機，沿著學生的思維進入深層次的探究. 本節課中，為了帶領學生順利獲得同底數冪乘法的一般形式，教師可作如下處理：

問題1：請大家列舉一些與“同底數冪乘法”有關的例子.

若學生的列舉過于單一，毫無創意可言，教師還可適當地加以追問并進行啟發.

問題2：剛剛大家所列舉的一些同底數冪乘法的例子，我觀察了一下，都是底數為整數的情況，有沒有同學能列舉出底數非整數的例子？

在學生回答的基礎上，教師還可順著學生的思維，繼續提出：

問題3：從以上例子來看，大家列舉的底數均為正數，有沒有哪位同學能列舉底數為非正數的例子呢？

問題4：同底數冪相乘的式子，底數一定是我們列舉的那些數嗎？是否存在其他情況呢？底數可以是哪些數？若想推廣底數的一般形式，該如何表示（引出字母a表示底數）？大家能列舉一些底數為a的例子嗎？

問題5：同底數冪相乘的指數一定是2，3，4，…嗎？指數可以是什么范圍的數（正整數范圍）？若要將指數推廣到一般，該如何表示？

當學生使用同一個字母來表示兩個指數時，教師可引導學生探索指數是否一定相等，以及兩個指數能否使用不同的字母表示的問題.

問題6：底數與指數均推廣到一般狀態后，同底數冪相乘的情況又可以怎么表示呢？

設計意圖? 從乘法、冪的乘法與同底數冪的乘法三個層次出發，引出底數分別為整數、分數、正負數的情況. 鑒于學生對“用字母表示數”的廣泛意義存在一定的認識，此時再將底數從“特殊推廣到一般”就顯得更加合乎情理了.

對于學生而言，用字母表示指數冪比較陌生，因此會感到這部分知識較抽象、難理解. 若教師引導學生類比底數，找出指數具備怎樣的特征，則能讓教學變得更加流暢，學生很快就能獲得借用字母表示數的能力，順利解決將指數推廣到一般的問題，從而得到同底數冪乘法的一般形式，即am·an. 值得注意的是，探究過程中不可忽略底數a，以及指數m，n的實際意義.

練習設計：計算32×33，a2·a3，3m×3n（m，n為正整數），要求說出每一步的計算依據.

設計意圖? 當學生獲得同底數冪乘法的一般形式后，會對其應用產生更加深刻的理解，此練習設計則從學生已有的認知結構出發，鼓勵學生自主探索幾個典型式子的運算. 學生說出每一步運算依據的同時，就是深化理解知識的過程.

從冪的定義出發，32就是兩個3相乘;33就是三個3相乘，32×33是五個3相乘. 將底數3轉化為字母a，計算a2·a3，參照以上計算過程，則為五個a相乘.

隨著前三個練習的完成，教師可引導學生將運算結果與式子中的底數和指數進行比較，感知它們之間存在怎樣的聯系，并利用這種聯系充分發揮想象，猜想出am·an的結論.

問題7：猜想am·an的結論，并加以證明.

問題8：隨著兩個同底數冪相乘的研究，大家是否存在什么疑問或想法？

學生交流想法，并自主獲得其性質為am·an·…·ap=am+n+…+p（m，n，p為正整數）.

設計意圖? 學生在積極參與中，不僅體會到乘方的實際意義、逆運算以及乘法結合律，還在探究過程中獲得了成就感，當教師提出“加以證明”的要求時，不僅為學生指明了探索的方向，還有效培養了學生用文字語言與符號語言進行知識互譯的能力. 問題8的提出，讓學生從兩個同底數冪相乘的角度出發，進一步推廣到同底數冪乘法運算性質.

學法三結合，建構鞏固新知

學法三結合需要將學生的個人學習、小組合作與班級交流有機地融合在一起，應用到教學中. 學生通過自主觀察、實驗、歸納，能將知識內化到自身的認知結構中，但每個學生都存在個體差異，在知識整理與消化的過程中存在顯著的差別，這就需要教師為學生提供合作交流的機會，讓每個學生都提出自己的想法，并在組員的相互交流中取長補短、總結經驗，深刻理解知識.

練習訓練：觀察下列式子，說說哪些式子可以用同底數冪相乘運算性質進行運算.

（1）x6+x6;（2）x·x6;

（3）22×36;（4）xn·xn+1.

問題1：（2）（4）兩個式子為同底數冪的乘法運算，它們的底數分別是什么？指數是什么？大家能直接說出這兩個算式的結論嗎？獲得這個結論的依據是什么？

問題2：要求每個學生自主出一道類似（2）（4）兩個式子的題目，小組內解答，并將解題中存在的問題羅列出來.

問題3：同底數冪乘法的運算，需要注意些什么問題？

設計意圖? 讓學生在練習訓練中理解同底數冪乘法的運算，弄清該運算的性質與特點. 教師幾個問題的提出，不僅幫助學生回顧了同底數冪乘法的特點，還讓學生開動腦筋自主出題，在合作交流中完成了計算. 這種帶著問題的練習訓練，有效地揭示了底數為任意數，指數為正整數，底數與指數可以用字母或多項式表示等性質.

學生回答底數、指數分別是什么，結論是如何得到的過程，就是深化理解這種運算性質的過程. 在適當時機，教師還可以引導學生做一些補充填空的練習，如710=72×7 （? ），a7=a·a （? ）·a （? ），以此來訓練學生的逆向思維.

課堂總結提煉，提升思維能力

課堂小結是一節課的點睛之筆，是幫助學生理清知識結構的主要環節. 在課堂尾聲，教師引導學生回顧一堂課的學習過程與方法，可對所學內容產生一個全局性的認識，積累學習經驗，為后繼學習提供研究方法[3]. 本節課中，教師可以帶領學生從所學知識、方法等方面出發，總結如下：

學生通過總結，能更加清晰地認識本節課的教學內容，為今后的學習積累了研究經驗.

總之，“自學·議論·引導”是一種集“教法”與“學法”于一體的理念，教師可結合學情與教學內容的特點，因勢利導地將這種教學方法貫穿課堂教學的各個環節，讓學生在豐富的教學活動中感知教材的再建構、學程的生成以及學法三結合的優勢，為思維能力的提升奠定基礎.

參考文獻：

[1]馮衛東. “自學·議論·引導”教學法的基本原理與操作要義[J]. 課程·教材·教法，2011（05）：43-48.

[2]李庾南，陳育彬. 構建促進學力發展的數學課堂[J]. 課程·教材·教法，2008（08）：46-48.

[3]李庾南. 自學·議論·引導教學法[M].北京：人民教育出版社，2013.