研究高考真題 強化變式探究 提升核心素養
——以2022·新高考Ⅱ·12的基本不等式解法為例

鄧成兵 林 莉

(四川省成都市航天中校)

不等式是高中數學的一個重要內容,而基本不等式是不等式的核心,是證明諸多不等式的一個出發點.它不但是求二元函數的最值問題的一個最基本、最有效的工具,還可以推廣到三元甚至n元的算數——幾何平均不等式或基本不等式.基本不等式是高考常考的一個知識點.據統計,2015年到2022年全國各地高考直接或間接考查基本不等式理科26次、文科28次.情況分析:選擇題理科8次、文科10次,填空題理科13次、文科14次,選做題理科3次、文科2次,解答題2次(均在第二問以求最值的方式進行考查);其中絕大部分試題難度為基礎題和中檔題;只有2022年全國甲卷文科第12題用基本不等式求解偏難.(統計表如下表所示)

基本不等式近八年在高考中的地位及難度分析

《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》中指出,高中數學教學應該以發展學生數學核心素養為導向,創設合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生把握數學內容的本質,用科學方法分析問題、解決問題,才有利于引導學生將其轉化為自己的思維方式.本文以2022·新高考Ⅱ·12的研究及變式探究,與大家分享、交流如何發展學生思維,提升學生核心素養.

1 基本不等式及解讀

基本不等式1:?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.

用基本不等式2求最值時,必須滿足“一正、二定、三相等”,忽略某個條件,就會出錯.基本不等式求最值的基本原理“積定和最小”及“和定積最大”.為了方便理解記憶,可用一首詩表示:

兄弟二人叫基本,本領確實大的很.

弟弟兩數都要正,哥哥通吃是全能.

和積平方都要正,注意何時能取等.

變形配湊奧妙深,等或不等皆學問.

2 試題呈現與解法探究

【題目】(2022·新高考Ⅱ·12)對任意x,y,x2+y2-xy=1,則

( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

【命題意圖】本題考查二元二次方程、最值問題.可以利用三角換元、數形結合、極坐標法、基本不等式等求解;從多維度多方面考查學生的數學運算、數據分析、邏輯推理、直觀想象等核心素養,綜合型較強.

解法一:三角換元

根據正弦函數有界性求解:

由x2+y2-xy=1可得,

∴選項A錯誤,B正確;

故選BC.

解法二:數形結合

畫出x2+y2-xy=1表示的圖形,

由解析式得出函數關于直線y=x對稱,

圖形過坐標系內的四點(1,0),(0,1),(1,1),(-1,-1),

猜測解析式所對應的圖形是關于直線y=x對稱的橢圓.

畫出大致圖形.

對于A選項,

畫出直線x+y=1,

直線的左下方滿足x+y<1,

直線的右上方滿足x+y>1,

橢圓有一部分在直線的左下方,

有一部分在直線的右上方,

有一部分在直線上(如圖1所示),

圖1

故A選項錯誤;

對于B選項,

畫出直線x+y=-2,

直線的左下方滿足x+y<-2,

直線的右上方滿足x+y>-2,

直線x+y=-2與橢圓相切,

橢圓在直線的右上方或在直線上(如圖2所示),

圖2

故B選項正確;

對于C選項,

畫出x2+y2=2的圖形,

此曲線是以坐標原點為圓心,

x2+y2≤2表示圓的內部和圓上的點,

通過圖象發現曲線x2+y2-xy=1上的點全部在圓的內部或在圓上(如圖3所示),

圖3

故C選項正確;

對于D選項,

畫出x2+y2=1的圖形,

此曲線是以坐標原點為圓心,

1為半徑的圓,

x2+y2≤1表示圓的內部和圓上的點,

通過圖象發現曲線x2+y2-xy=1上的點有一部分在圓內,

有一部分在圓外,

有一部分在圓上(如圖4所示),

圖4

因此D選項錯誤,

故選BC.

解法三:極坐標法

且x+y=ρ(cosθ+sinθ),

∴-2≤x+y≤2,

故選項A錯誤,選項B正確;

故選項C正確,選項D錯誤,故選BC.

解法四:基本不等式法

由x2+y2-xy=1得

解得-2≤x+y≤2,

當且僅當x=y=±1,

即x+y=-2或x+y=2時,等號成立,

故選項A錯誤,選項B正確;

由x2+y2-xy=1得(x2+y2)-1=xy.

化簡得x2+y2≤2,

當且僅當x=y=±1時取等號,

故選項C正確,

故選項D錯誤,故選BC.

【試題評析】

1.解法一:主要考查把二元二次方程轉化為a2+b2=1型,利用三角代換及正弦型函數的有界性求最值;解法二:畫出x2+y2-xy=1表示的圖形,結合圖形求解;解法三:利用極坐標與直角坐標進行轉化,由正弦型函數的有界性求解;解法四:利用基本不等式的推論逐一判斷求解,四種解法從多維度多方面考查學生的數學運算、數據分析、邏輯推理、數學建模等核心素養,綜合型較強.

2.解法一難點是學生很難想到把方程轉化為a2+b2=1型,利用三角換元進行求解;解法二難點是畫二元二次方程x2+y2-xy=1的圖形;解法三利用極坐標求解,難點是求x+y的最小值;解法四只需利用基本不等式及其推論便可求解.

3.通過四種方法的比較發現:求解二元函數的最值問題,方法不唯一,但基本不等式是求解此類問題的一個最基本、最有效的工具.

根據2015年到2022年全國高考試題分析得出,僅僅掌握了基本不等式本身,解題時還會遇到很多困難,如果適當地記住它的一些重要的推論(筆者把它叫“下游命題”),在解題時就能夠縮短條件和結論的距離.

思考:解法四中的(*)式整理可以獲得什么結論呢?

我們把這個式子叫作絕對值基本不等式.

結論:已知平方和為定值,可以求積的最大值和最小值.

【解題思維導圖】

高考命題有一條重要的原則:“源于教材,高于教材”,回歸課本就是尋“源”,即尋找高考出題的源頭,同時教材也是數學知識和思想方法的重要載體,因此教師的教學應立足于教材,強化回歸教材的意識,掌握回歸教材的方法和提升學生的數學核心素養.每年高考真題都有源自于教材的例習題,重在考查學生的基本知識、基本思想和基本技能,對學生的思維量、靈活性、數學核心素養提出較高要求.本題由數學《2019年人教A版必修第一冊》P58綜合運用第5題改編:若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范圍.

著名數學家波利亞說過這樣一句話:“掌握數學也就意味著要善于解題”,所以解一道經典的高考數學題不能只就題論題或一題多解而草草結束,而是要揭開此題的內涵和價值.為實現這一目的,需要對它進行強化變式.通過變式探究,不但可以培養學生分析問題和解決問題的能力、歸納和演繹的能力,而且還能提升學生的數學核心素養,從而幫助學生更有效地學習數學.

3 變式探究

【變式1】已知x,y∈R*且x+y=2,求x2+y2-xy的取值范圍.

解析:由x+y=2,

兩邊平方化簡得x2+y2=4-2xy.

當且僅當x=y=1時,等號成立,

∴x2+y2-xy=4-3xy∈[1,4).

【評析】該解法把x2+y2消掉,原式轉化為只含xy的代數式,再利用基本不等式2進行求解.

解析:∵x2+y2-xy=1,

∴x2+y2=xy+1.

【變式3】已知x>0,y>0,且xy=2x+y+1,求x+2y的最小值.

解析:由xy=2x+y+1得

則y-2>0,

【評析】對已知求最值,要把條件按照要求的式子的結構進行轉化,此類問題形式多樣,要在解題過程中不斷摸索、善于思考,總結解題規律,故本題是通過方程思想,用含有y的關系式表示x,代入所求代數式,再配湊出符合基本不等式的條件.正是:

已知條件求最值

恰當變形湊和積

分析綜合勤總結

熟能生巧揭本質

解法一:∵2x+y=x2y3,

【評析】結合已知條件的關系進行恒等變形,轉化為等式右側為1的恒等式,通過所求的代數關系式的平方轉化,結合關系式的變形,借助基本不等式及代“1”法,求解最值問題.巧妙地運用恒等變形與轉化,以及對關系式的升次處理,為兩者之間構建起基本不等式的“橋梁”,實現代數式最值的破解.

解法二:由2x+y=x2y3得

x2y3-2x-y=0,

解關于x的一元二次方程,

當且僅當y2=1,

即y=1時,等號成立,

和積不等就是好

不知何時就用到

原始條件不具備

一個湊字能創造(注:和積不等指和積不等式)

【評析】此題以雙變元的高次代數關系式為背景,結合雙變元的一次分式之和的代數式的求解最值.題目條件簡潔明了,題意清晰明確,條件是整式方程,目標是分式代數式.

變式訓練有利于學生發現解題規律并掌握規律,解完題后,師生一起回歸解題的過程,讓學生看到只要學會思考,再復雜的題,都可以轉化為簡單的問題或已經解決的問題,都能尋找到解題方法背后的規律及所蘊含的本質.如果合理地運用變式探究,讓學生體會到數學思想方法的價值和妙用,就能有效地提升學生的數學核心素養.

4 拓展變式探究

解法一:∵x>0,y>0,

即x=y=1時,等號成立,

【評析】利用基本不等式求最值是高考的重要考點之一,常見考法是如何靈活地創造基本不等式的使用條件,如:湊系數、拆項、1的替換等,對于兩次使用基本不等式時要保證等式能同時成立,當條件不滿足時,要創造基本不等式的使用條件:“和定積最大”或者“積定和最小”.

如果a1,a2,…,an為n個正數,

當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立.

我們把此結論叫做基本不等式2的推論.

即x=y=1時,等號成立,

【評析】增加思維梯度,提高學生的模式識別能力,激發學生的潛能,讓學生學得的數學思想方法更深刻、更清晰,促使學生思維的完善與發展,從而提升學生的核心素養.

數學變式訓練是數學教學中的一個重要教學方式,其關鍵是把變式中解題方法的共性總結出來,達到一法多用.如何把這些獨立的知識與方法用整理、歸納的方式串聯起來?筆者認為可以借助思維導圖來完成,這對進一步提高學生的解題能力,完善學生的認知結構,提升學生的核心素養起著重要作用.如本文利用基本不等式求二元或多元解析式的最值問題,可以畫出它的思維導圖,如下所示:

5 方法反思和素養再現

文章以2022·新高考Ⅱ·12及變式,求二元或多元解析式的最值問題發現:往往是結合雙變元或多變元解析式的基本特征(整式、分式、根式等),合理恒等變形與轉化,運用邏輯思維與代數運算、借助基本不等式思維、函數或方程思想以及其他重要不等式思維等,利用一些常見的基本思維與方法加以切入與破解.

因此,在高考復習的設計中,可以選擇一道或幾道既符合學生“最近發展區”又具有代表性的高考試題為導向,引領高三學生復習,貫穿課堂教學的始終,讓學生在例題的探究活動中體會知識間的聯系,在例題的變式中將學生已有的知識結構、思維習慣和思維能力整合優化,把數學知識體系變成自我認識的升華,從而提升學生的數學核心素養.