同構放縮聯袂至 轉化一步天地寬
——2022年全國卷中同構法、放縮法的應用

張 怡 李露琦

(1.山東省濱州實驗中學; 2.山東省濱州北海中學)

1 前言

在2022年高考數學全國卷中,有幾道試題的命制格外亮眼.它們既考查了基礎知識,又聚焦了數學核心素養,突出對關鍵能力的考查.隨著越來越多的省份進入新高考模式中,廣大高中一線教師有必要對高考試卷作深入的研究,明晰試題的命制背景,挖掘試題的育人價值.拓展學生的思維水平,提升師生的備考能力.本文以2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷,全國甲、乙理科卷的部分試題為例,展示同構法、放縮法的應用.

2 相關概念

2.1 同構法

將題目條件中的等式或不等式通過適當的整理變形,形成擁有相同結構的式子,然后利用這個結構式構造相應的函數,再利用函數的基本性質解決問題.

2.2 放縮法

證明不等式A

在高考題目中經常出現的是將指數函數、對數函數放縮為冪函數的切線放縮法.

這樣我們就得到了指數函數與對數函數的兩個雙邊不等式:

以上關于指數函數、對數函數不等式的結論需要學生在理解關系的基礎上熟記.

3 試題呈現

3.1 基于同構法的解答

【思路探索】觀察已知條件的結構,利用誘導公式將等式一側的結構形式化成等式另一側的結構形式,利用相同的結構構造對應的函數,再利用函數的單調性進行求解.

解:由題意得,f(x)的定義域是(0,+∞),

令x-lnx=t,x>0,

令t′=0,解得x=1.

所以當x∈(0,1)時,t′<0;

當x∈(1,+∞)時,t′>0,

所以t在(0,1)上單調遞減,

在(1,+∞)上單調遞增,

所以當x=1時,t取得最小值,且tmin=1,

即t≥1.

再令g(t)=et+t,

因為et在[1,+∞)上單調遞增,

t在[1,+∞)上單調遞增,

則g(t)=et+t在[1,+∞)上單調遞增,

所以g(t)min=g(1)=e+1,

所以f(t)min=f(1)=e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

故a的取值范圍為(-∞,e+1].

3.2 基于放縮法的解答

( )

A.a

C.c

【思路探索】觀察題目中同時出現指數與對數的形式,因此考慮利用不等式放縮的方法,將指數、對數的形式化簡至冪函數的形式,再進行比較.當放縮法無法比較大小時,作差后構造函數,轉化為恒成立問題求解.

解:a,b的大小比較:

當且僅當x=0時等號成立,

b,c的大小比較:

當且僅當x=1時等號成立.

a,c的大小比較:

a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1),

令f(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,

所以k′(x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)>k(0)=0,所以f′(x)>0,

則f(x)在(0,0.1]上單調遞增,

所以f(0.1)>f(0)=0,

所以a-c>0,即a>c.

綜上,c

【例4】(2022·全國乙卷理·21節選)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.若f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

【思路探索】將函數零點問題轉化成兩個函數的交點問題,再利用導數研究函數單調性的過程中,通過不等式放縮簡化計算.

解:由題意得,f(x)=ln(1+x)+axe-x=0,

所以-ax=exln(1+x).

令g(x)=exln(1+x),x>-1,

g(x)在(0,0)處的切線斜率k=g′(0)=1.

所以g(x)在(-1,0),(0,+∞)上單調遞增,

當x→-1時,g(x)→-∞,

當x→+∞時,g(x)→+∞.

作出g(x)的大致圖象如圖所示,

當-a>1時,函數y=-ax與g(x)的圖象在(-1,0),(0,+∞)上各有一個交點,即函數f(x)在(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,

故a<-1.

3.3 基于同構法放縮法綜合應用的解答

【例5】(2022·全國新高考Ⅱ卷·22節選)已知函數f(x)=xeax-ex.當x>0,f(x)<-1,求a的取值范圍.

【思路探索】待求的參數a在指數的位置上,考慮利用不等式放縮,將指數函數形式化簡為一次函數形式,進而求解.

解:令g(x)=f(x)+1,

則g(x)=xeax-ex+1,x>0,

易知g(0)=0.

要證g(x)<0,

即證g(x)

即證g′(x)≤0,

即g′(x)=(1+ax)eax-ex≤0,

即eln(ax+1)+ax≤ex,

即ln(ax+1)+ax≤x.

得ln(ax+1)+ax≤(ax+1)-1+ax≤x,

所以2ax-x≤0,

即(2a-1)x≤0.

(注:本解法來自濱州蒼龍湖實驗學校高三(3)班 任景豪)

【結語】總而言之,高中在學習函數后,需要將表面上不近相同的問題有機地銜接在一起,整合成自己的資源庫,形成自己的解題特色.本文介紹的同構法源于指數恒等式alogaN=N,放縮法源于課后練習題,這些內容均是課本中基本的數學知識,學生也知曉,但他們找不到基本知識與高考題目之間的內在關系,這就需要教師發揮其主導作用,當學生的思維水平提升不上去時,教師應幫助學生建構完整的知識體系,幫助學生將這些知識整合并系統化.

同構法與放縮法在處理函數相關問題時可以大大節省計算時間,也能較好的考查學生對函數的綜合應用能力.建議教師對這部分相關內容進行系統的講解,引領學生對所掌握的數學知識和方法進行重構,通過有難度、有深度的試題激發學生的解題能力.