“通性通法”是高考解題的康莊大道
——以2022年高考試題為例看構(gòu)造法解函數(shù)對(duì)稱與周期問(wèn)題

沈 濤

(陜西省寶雞市石油中學(xué))

2022年高考數(shù)學(xué)試卷的整體難度有所上升,從新課程標(biāo)準(zhǔn)里面以及高考改革的一些指導(dǎo)意見中,就能略見端倪,其中有這樣的一些整體的提煉,“堅(jiān)持通性通法的考查”“不回避課堂教學(xué)熱點(diǎn)、重點(diǎn)知識(shí)、重點(diǎn)方法重點(diǎn)考查”“穩(wěn)中有變、立足基礎(chǔ)、突出能力、銳意求新”“多角度、多維度、多層次考查數(shù)學(xué)思維品質(zhì)”“考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能”,那么,在今后的教學(xué)中,如何應(yīng)對(duì)高考目前的要求,是值得我們深思的事情,我覺得還是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”為好,“不變”指的是數(shù)學(xué)本身的思維方法和基本的解題技能,這個(gè)是需要我們加強(qiáng)研究和學(xué)習(xí),思維層次的提升和數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)的解題研究可以幫助我們更好地應(yīng)對(duì)高考試題難度上升帶來(lái)的困難局面.

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法,不同于一般的邏輯方法,它屬于非常規(guī)思維,其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”,用構(gòu)造法解題,并無(wú)一定的套路,表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性.構(gòu)造法解題是一種創(chuàng)造性思維活動(dòng),其關(guān)鍵是借助對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察,展開豐富的聯(lián)想,實(shí)施正確的轉(zhuǎn)化.在解題中利用已知條件和數(shù)學(xué)知識(shí),通過(guò)觀察、聯(lián)想,構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象,或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式,使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定,使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,有時(shí)更能使數(shù)學(xué)解題打破常規(guī),另辟蹊徑,巧妙地獲得解決.構(gòu)造法解題是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

有相當(dāng)多的數(shù)學(xué)命題是具有一般性質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊體現(xiàn),我們構(gòu)造出這個(gè)一般性質(zhì),用來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行判斷或推證,是一種富有創(chuàng)造性的解題方法,這種解題思路關(guān)鍵是構(gòu)造出符合題目要求的一般性規(guī)律性質(zhì).有時(shí),我們也可以構(gòu)造一個(gè)滿足題目要求的特例,利用這個(gè)特例來(lái)解決問(wèn)題.

以2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷12題為例,解答這個(gè)題,有兩種構(gòu)造方法,一是構(gòu)造符合題目要求的一般性質(zhì),利用性質(zhì)解題;二是構(gòu)造滿足題目要求的特殊函數(shù)來(lái)解題.

1.根據(jù)此題目要求構(gòu)造出的一些函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(x)=f(2a-x)?f(a-x)=f(a+x).

推論:f(x+a)是偶函數(shù)?f(x+a)=f(-x+a)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

性質(zhì)2:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?2b-f(x)=f(2a-x).

推論:f(x+a)是奇函數(shù)?f(-x+a)=-f(x+a),進(jìn)而可得到y(tǒng)=f(x)的圖象關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱.

性質(zhì)3:f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù)),y=f(x)的周期T=2a.

證明:構(gòu)造方程組,f(x)+f(x+a)=k,f(x+a)+f(x+2a)=k,兩式相減可得f(x+2a)=f(x),f(x)的周期T=2a.

性質(zhì)4:雙對(duì)稱出周期:若一個(gè)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系,則f(x)是一個(gè)周期函數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0),及點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)是周期T=2|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)?f(2a-x)=f(2b-x)?T=2|b-a|.

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a及x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)是周期T=2|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)?f(2a-x)=f(2b-x)?T=2|b-a|.

(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,且關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)是周期T=4|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)?f(2a-x)=-f(2b-x)?f(x)=f(4b-4a+x).

性質(zhì)5:已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽.

(1)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

證明:若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f(a+x)=f(a-x),則f′(a+x)=-f′(a-x),所以f′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

(2)若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證明:若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則f(a+x)=2b-f(a-x),則f′(a+x)=f′(a-x),所以f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

推論1:若f(x)是奇函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是偶函數(shù).

推論2:若f(x)是偶函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù).

性質(zhì)6:已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽,若函數(shù)f(x)是周期為T的周期函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)也是周期為T的周期函數(shù).

證明:若f(x+T)=f(x),則f′(x+T)=f′(x).

2.構(gòu)造方程組,將兩個(gè)抽象函數(shù)f(x),g(x)看成二元,消元分別得到f(x),g(x)各自的代數(shù)關(guān)系

( )

A.-21 B.-22

C.-23 D.-24

【解析】方法一:構(gòu)造方程組,結(jié)合性質(zhì),化同名函數(shù),尋找同名函數(shù)間的關(guān)系

①-②得f(x)+f(-2-x)=-2 ③,

由性質(zhì)2的推論知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱.

所以g(2-x)=g(2+x),

兩式相減可得f(x)+f(x-2)=-2 ④,

由性質(zhì)3可知f(x)的周期T=4,

所以f(-x)=f(x),

所以f(x)為偶函數(shù),

（三）建立單親家庭學(xué)生檔案并進(jìn)行個(gè)案追蹤。了解和掌握班級(jí)內(nèi)單親家庭子女人數(shù)，并熟悉掌握其家庭狀況、單親原因等，建立單親家庭學(xué)生檔案。學(xué)生工作者應(yīng)加強(qiáng)對(duì)他們的學(xué)習(xí)、生活、心理、行為和家庭情況的了解、跟蹤，并詳加記錄。同時(shí)把每個(gè)單親家庭學(xué)生的教育責(zé)任到人，由班主任或任課教師或其他責(zé)任人負(fù)責(zé)其心理疏導(dǎo)、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)、生活關(guān)照、行為矯正等，定期與家長(zhǎng)聯(lián)系，掌握單親家庭學(xué)生在家中和社會(huì)上的情況。

此時(shí)也可由性質(zhì)4得f(x)的周期T=4,

由④知f(1)+f(1-2)=-2,

f(3)=f(-1)=f(1)=-1.

由f(0)+g(2)=5,得f(0)=1.

由f(0)+f(2)=-2,

得f(2)=-3,f(4)=f(0)=1,

方法二:構(gòu)造滿足題目要求的特殊函數(shù)

由方法一知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱,

f(-x)=f(x),f(x)的周期T=4,

可得f(1)=-1,f(2)=-3,

f(3)=-1,f(4)=1,

方法三:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解

若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

則g(2-x)=g(2+x),

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,

所以f(-x)+g(2+x)=5,

故f(-x)=f(x),

則f(x)為偶函數(shù).

由g(2)=4,f(0)+g(2)=5,

得f(0)=1.

由g(x)-f(x-4)=7,

得g(2-x)=f(-x-2)+7,

代入f(x)+g(2-x)=5,

得f(x)+f(-x-2)=-2,

則f(x)關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱,

所以f(1)=f(-1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x)=f(x),

得f(x)+f(x+2)=-2,

所以f(x+2)+f(x+4)=-2,

故f(x+4)=f(x),f(x)的周期為4,

所以f(4)=f(0)=1.

由f(0)+f(2)=-2,

得f(2)=-3.

又f(3)=f(-1)=f(1)=-1,

( )

A.-3 B.-2

C.0 D.1

【解析】構(gòu)造方程組,將二元變量變?yōu)橐辉兞?解法較為簡(jiǎn)單.

令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1),

則f(x+1)+f(x-1)=f(x),

則f(x+1)=f(x)-f(x-1),

兩式相加得f(x+3)=-f(x),

故f(x)的周期為6.

令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),

可得f(0)=2,

f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

3.構(gòu)造滿足題目條件的特例函數(shù),利用特例函數(shù)展開研究

( )

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

【解析】方法一:構(gòu)造滿足題目要求的函數(shù)

因?yàn)間(x)=f′(x),

且g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

由性質(zhì)5可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,b)中心對(duì)稱,

據(jù)此構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinπx+b,x∈R,

則g(x)=f′(x)=πcosπx,

逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng),

可得B,C正確,故選BC.

由g(2+x)為偶函數(shù)可知g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

因?yàn)間(x)=f′(x),

且g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

由性質(zhì)5可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,b)中心對(duì)稱,

綜上,函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù),

所以有f(0)=f(2)=b,

所以A錯(cuò)誤;

f(-1)=f(1),f(4)=f(2),f(1)=f(2),

故f(-1)=f(4),

所以C正確;

所以B正確;

又g(1)+g(2)=0,

所以g(-1)+g(2)=0,

所以D錯(cuò)誤,故選BC.

4.具有對(duì)稱中心的函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱

【例4】(2022·全國(guó)新高考Ⅰ卷·10)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則

( )

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

【解析】因?yàn)閒(x)=x3-x+1,

所以f′(x)=3x2-1,

所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),

故A正確;

當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→-∞,

所以f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),

故B錯(cuò)誤;

又f(-x)=-x3+x+1,

則f(-x)+f(x)=2,

所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)中心對(duì)稱,

故C正確;

設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),

若y=2x是其切線,

該方程組無(wú)解,

故D錯(cuò)誤,故選AC.

5.抽象函數(shù)由奇偶性構(gòu)造關(guān)系式

( )

【解析】因?yàn)閒(x+1)是奇函數(shù),

由性質(zhì)2得f(-x+1)=-f(x+1).

由性質(zhì)2知f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,

又因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),

所以f(x+2)=f(-x+2),

f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

由性質(zhì)4得函數(shù)f(x)的周期T=4|2-1|=4.

又f(1)=-f(1),

所以f(1)=0,f(0)=-f(2),f(3)=f(1),

即f(3)+f(0)=f(1)-f(2)=6,f(2)=-6,

解得a=-2,b=2,

所以f(x)=-2x2+2.

又函數(shù)f(x)的周期T=4,

6.綜述

在解決函數(shù)性質(zhì)類問(wèn)題的時(shí)候,我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論,尋求解題的通性通法,進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果.

探尋高考試題的解題思路、通法、規(guī)律是每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師必做的功課,但是絕大多數(shù)師生僅僅埋頭解題,陷于題海之中,往往因缺乏方法理論的學(xué)習(xí)研究而迷失正確的方向,為了改變這種狀況,我們應(yīng)從數(shù)學(xué)方法理論與解題的結(jié)合上入手,試圖做到以數(shù)學(xué)方法理論指導(dǎo)解題探究,從而科學(xué)地提升解題能力,同時(shí),通過(guò)解題研究更好地理解數(shù)學(xué)方法理論,兩者相得益彰.

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考,但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式來(lái)尋求解題途徑確實(shí)比較困難,甚至無(wú)從著手,在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向,換一個(gè)角度思考,以找到一條繞過(guò)障礙的新途徑,構(gòu)造法就是這樣的手段之一.我們所說(shuō)的利用函數(shù)思想、方程思想解題具體體現(xiàn)就是構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程,實(shí)際上就是構(gòu)造法的體現(xiàn).