主元法在導數問題中的應用

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

主元法是指在利用兩個或多個參數求解問題的過程中選擇其中一個參數作為研究的主要對象,并將剩余的參數視為常量的思維方式.主元法在導數中的應用是把問題轉換為關于主元素的公式,如方程或函數,這可以降低問題的復雜性,使其變得簡單起來.

一、利用輪換式確定主元

含參問題是高考的必考題型,含有多個參數也是常見的題目,主元法是處理多元問題的一種重要方法.當參數的地位相等時,就可以看成是多項式中的輪換式,可以把其中的任意一個參數當做主元,另外的作為參數,這樣可以降低問題處理的難度,是一種有效的方法.

【例1】(2022·北京卷·20節選)已知函數f(x)=exln(1+x).

(Ⅱ)設g(x)=f′(x),討論函數g(x)在[0,+∞)上的單調性;

(Ⅲ)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

因為x≥0,所以ln(1+x)≥0,

所以g′(x)>0在[0,+∞)上恒成立,

所以g(x)在[0,+∞)上單調遞增.

(Ⅲ)由于題目中s和t的地位相同,

所以以s為主元,t作為參數,

建立關于s的函數.

當然也可以t為主元,

s為參數建立關于t的函數.

證明:原不等式等價于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),

令m(x)=f(x+t)-f(x)(x,t>0),

即證m(x)>m(0).

由m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),

由(Ⅱ)知g(x)在[0,+∞)上單調遞增,

所以g(x+t)>g(x),所以m′(x)>0,

所以m(x)在(0,+∞)上單調遞增.

又x,t>0,所以m(x)>m(0),

所以對任意的s,t∈(0,+∞),

有f(s+t)>f(s)+f(t).

二、主元構造法

在導數問題中,由于大多數函數的圖象不是軸對稱圖形,導致函數在某條直線兩側變化率不同,因此討論這類問題時通常會出現兩個變量,如何建立兩個變量之間的關系,并統一成一個變量就是解決這類問題的關鍵,通過主元構造法就可以解決此類問題.

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

【解析】(Ⅰ)由題可知f(x)的定義域為(0,+∞),

令f′(x)=0,得x=1,

當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,

則f(x)≥f(x)min=f(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,即a≤e+1,

所以a的取值范圍為(-∞,e+1].

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知要使f(x)有兩個零點,

則f(x)min=f(1)=e+1-a<0,即e+1

令t=x-lnx,x>0,

則f(t)=et+t-a有兩個零點x1,x2等價于關于x的方程t=x-lnx有兩個不相等的實根.

令h(x)=x-lnx,

易知h(x)在(0,1)上單調遞減,

在(1,+∞)上單調遞增.

不妨設0

又因為h(x)在(1,+∞)上單調遞增,

所以F(x)在(0,1)上單調遞增,

而F(1)=h(1)-h(1)=0,

即若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

三、由單調性確定主元

【例3】(2019·全國Ⅲ卷理·20)已知函數f(x)=2x3-ax2+b.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

(Ⅱ)是否存在a,b,使得f(x)在區間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

【解析】(Ⅰ)由題意得f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

②當a=0時,f′(x)=6x2≥0對任何實數x恒成立,

所以f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.

當a=0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;

(Ⅱ)滿足題設條件的a,b存在.

(ⅰ)當a≤0時,由(Ⅰ)知,

f(x)在[0,1]上單調遞增,

所以f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=b,

最大值為f(1)=2-a+b,

當且僅當b=-1,2-a+b=1,

即a=0,b=-1時,滿足題設條件.

(ⅱ)當a≥3時,由(Ⅰ)知,

f(x)在[0,1]上單調遞減,

所以f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)=b,

最小值為f(1)=2-a+b,

當且僅當b=1,2-a+b=-1,

即a=4,b=1時,滿足題設條件.

(ⅲ)當0

最大值為f(0)=b或f(1)=2-a+b.

與0

這與0

綜上所述,當a=0,b=-1或a=4,b=1時,

f(x)在[0,1]的最小值為-1,最大值為1.

四、總結提升

在解決雙變量問題時,利用主元法是一種比較好的方法,如果是對稱輪換式,可以比較容易的以其中一個變量為主元,另一個變量為參數,建立一個函數關系,從而解決問題.如果函數是非軸對稱問題,則利用非對稱關系,將兩元問題逐漸轉換成一元問題,構造新函數從而解決問題;或者利用函數的單調性確定主元,再利用分類討論解決問題.