聚焦高考抽象函數問題

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學)

抽象函數是指沒有明確給出函數表達式,只給出它具有的某些特征或性質,并用一種“對應關系”符號表示的函數.高考數學命題加強對主干知識的考查,在抽象函數的背景下,加大對數學抽象和邏輯推理等核心素養的考查力度,是近年高考數學命題的一大趨勢.主要考查函數的奇偶性、對稱性、周期性等概念及它們之間的聯系,對數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養的要求較高.尤其是2022年高考,新高考Ⅰ、Ⅱ卷和全國乙卷文、理試題中均考查抽象函數的周期性與對稱性問題,其中新高考Ⅰ卷和全國乙卷試題都處于選擇題壓軸的位置.抽象函數的周期性與對稱性問題在2022年高考命題中的“強勢來襲”,值得2023屆高三復習備考時重視.這里溫故知新關于抽象函數對稱性、周期性及對稱性與周期性關系的一些常用結論,并以2022年高考真題為例來說明相關結論的應用,供參考.

一、溫故知新

1.抽象函數的對稱性

又由f(a+x)=f(b-x)得f(x)=f(a+b-x),

即y=f(a+b-x),

所以點P′(a+b-x,y)也在函數y=f(x)的圖象上,

【推論1】若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.

【推論2】若函數y=f(x)滿足f(x)=f(-x),即函數y=f(x)為偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=0,即y軸對稱.

證明過程仿結論1的證明.

【推論1】若函數y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)?f(2a-x)=-f(x),則函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.

【推論2】若函數y=f(x)滿足f(x)=-f(-x),即函數y=f(x)為奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(0,0),即原點對稱.

2.抽象函數的周期性

定義:對于函數f(x),若使得x取定義域內的每一個值時,都有f(x+a)=f(x)(a≠0),則f(x)是周期函數,T=|a|為最小正周期,且T=k|a|(k∈Z,k≠0)都是函數f(x)的周期.

根據函數周期性的定義,有下列結論.

【結論1】若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的一個周期為T=|b-a|.

【結論2】若函數f(x)滿足f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),則f(x)的一個周期為T=2|b-a|.

推論:若函數f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a≠0),則f(x)是以T=2|a|為最小正周期的周期函數.

下面以結論2為例,給出證明.

因為f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),所以f(x)=-f(x-a+b),

所以-f(x-a+b)=-{-f[(x-a+b)-a+b]}=f(x-2a+2b),

所以f(x)=f(x-2a+2b),由周期函數的定義可知f(x)的一個周期為T=2|b-a|.

這個證明告訴我們,當已知f(x)的遞推關系求周期時,應把握好兩點:一是由已知的遞推關系先反解出f(x),得到新的遞推表達式;二是反復利用新的遞推表達式,直到有f(x)=f(x+a)(a≠0)為止.有興趣的同學不妨來證明其他結論.

3.抽象函數對稱性與周期性關系

【結論1】若函數y=f(x)的圖象分別關于兩條直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數y=f(x)是周期函數,且T=2|a-b|為函數y=f(x)的一個周期.

【結論2】若函數y=f(x)的圖象分別關于兩點A(a,0),B(b,0)(a≠b)對稱,則y=f(x)是周期函數,且T=2|a-b|為函數y=f(x)的一個周期.

【結論3】若函數y=f(x)的圖象關于點A(a,0)和直線x=b(a≠b)對稱,則函數y=f(x)是周期函數,且T=4|a-b|為函數y=f(x)的一個周期.

下面以結論3為例,給出證明.

因為函數y=f(x)的圖象關于點A(a,0)對稱,

所以f(x)=-f(2a-x)對定義域內的所有x成立.

又因為函數y=f(x)的圖象關于直線x=b對稱,

所以f(x)=f(2b-x)對定義域內的所有x成立,

從而f(2b-x)=-f(2a-x),

所以f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2a-x)]=-f(x),

即f[2(b-a)+x]=-f(x),

所以f{2(b-a)+[2(b-a)+x]}=-f[2(b-a)+x]=-[-f(x)]=f(x),

即f[4(b-a)+x]=f(x),

所以函數y=f(x)是周期函數,

且T=4|a-b|為函數y=f(x)的一個周期.

二、真題解析

( )

A.-3 B.-2 C.0 D.1

【解析】令y=1,

得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),

所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),

所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),

f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

則f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),

所以f(x)的最小正周期為6.

令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),

所以f(0)=2,

所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

【點評】本題首先按照條件中抽象函數的性質,通過賦值確定函數的周期,然后利用周期性求值.

( )

【解析】因為f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6=2×3;

f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=12=3×4,…,

故f(k)=k(k+1),

故選B.

( )

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【解析】因為y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,

所以g(2-x)=g(2+x).

因為f(x)+g(2-x)=5,

所以f(-x)+g(2+x)=5,

所以f(-x)=f(x),

所以f(x)為偶函數.

因為g(2)=4,f(x)+g(2-x)=5,

令x=0,得f(0)+g(2)=5,

即f(0)+4=5,所以f(0)=1.

因為g(x)-f(x-4)=7,

所以g(2-x)-f(2-x-4)=7,

所以g(2-x)=f(-x-2)+7,

代入f(x)+g(2-x)=5,

得f(x)+f(-x-2)+7=5,

所以f(x)+f(-x-2)=-2,

令x=-1,得f(-1)+f(1-2)=-2,

所以2f(-1)=-2,所以f(-1)=-1,

所以f(1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x)=f(x),

得f(x)+f(x+2)=-2,

所以f(x+2)+f(x+4)=-2,

所以f(x)+f(x+2)=f(x+2)+f(x+4),

所以f(x+4)=f(x),

所以f(x)的最小正周期為4,

所以f(4)=f(0)=1.

又f(0)+f(2)=-2,所以f(2)=-3.

又f(3)=-2-f(1)=-2+1=-1,

故選D.

【點評】例2首先利用函數圖象的對稱性與周期性的關系確定函數y=f(x)的周期,然后通過賦值和周期性即可求解.

( )

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(4)

所以f(3-x)=f(x),所以f(-1)=f(4),

故C正確;

因為g(2+x)為偶函數,

所以g(2-x)=g(2+x),

所以g(4-x)=g(x).

又因為f(x)是可導函數,

又因為g(x)=f′(x),

所以g(3-x)=-g(x),

故B正確,D錯誤;

若函數f(x)滿足題設條件,

則函數f(x)+c(c為常數)也滿足題設條件,

所以無法確定f(x)的函數值,故A錯誤.

綜上,故選BC.

【點評】解法1首先研究函數的對稱性,然后利用對稱性與周期性的關系確定函數的周期并賦值對選項作出判斷.解答例3,學生需要理解函數的奇偶性、對稱性、導數等概念以及它們之間的聯系,對數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養都有較高的要求.

【解法2】設f(x)=sinπx+b(b為常數),

=-cos2πx+b,

=-cos(-2πx)+b

=-cos2πx+b,

由f(x)=sinπx+b(b為常數),

得g(x)=f′(x)=πcosπx,

則g(2+x)=πcos[(2+x)π]

=πcos(2π+πx)

=πcosπx,

g(2-x)=πcos[(2-x)π]

=πcos(2π-πx)

=πcos(-πx)

=πcosπx,

所以g(2+x)=g(2-x),

故符合題設條件g(2+x)為偶函數.

對于A,因為f(0)=sin0+b=b,

當b≠0時不符合f(0)=0,故A錯誤;

故B正確;

對于C,因為f(-1)=sin[(-1)π]+b=b,

f(4)=sin4π+b=b,

所以f(-1)=f(4),故C正確;

對于D,

因為g(-1)=πcos[(-1)π]=πcosπ=-π,

g(4)=πcos4π=π,所以g(-1)≠g(4),

故D錯誤,故選BC.

【點評】解法2依據選擇題的題型特點,通過構造滿足題設條件的具體函數模型來解答,其過程簡捷、方法靈巧,但這一策略對考生的類比、聯想的思維能力要求較高,選取、構造合適的數學模型,需要有較強的甄別能力.

若題設條件中給出的兩個函數變為均是“奇函數”,則有:

( )

C.f(-1)=f(3) D.g(-2)=g(5)

【解析】(構造函數模型)設函數f(x)=cosπx,

=-sin2πx,

=sin2πx,

滿足題設條件.

將f(x)=cosπx,

求導得g(x)=f′(x)=-πsinπx,

所以g(5+x)=-πsin[(5+x)π]

=-πsin(5π+πx)

=πsinπx,

g(5-x)=-πsin[(5-x)π]

=-πsin(5π-πx)

=-πsinπx,

所以g(5+x)=-g(5-x),

故g(5+x)為奇函數,滿足題設條件.

故B正確;

對于C,因為f(-1)=cos[(-1)π]=cosπ=-1,

f(3)=cos3π=cosπ=-1,

所以f(-1)=f(3),故C正確;

對于D,因為g(-2)=-πsin[(-2)π]=πsin2π=0,

g(5)=-πsin5π=0,

所以g(-2)=g(5),故D正確,故選BCD.

若題設條件中給出的兩個函數變為一個是“奇函數”,另一個是“偶函數”,則有:

( )

C.f(-1)=f(3) D.g(-2)=g(5)

【解析】(構造函數模型)由變式1的解析可知函數f(x)=cosπx滿足題設條件.

將f(x)=cosπx,

求導得g(x)=f′(x)=-πsinπx,

=πcosπx,

=πcosπx,

滿足題設條件,故g(x)=-πsinπx.

故A錯誤;

故B正確;

對于C,因為f(-1)=cos(-1)π=cosπ=-1,

f(3)=cos3π=cosπ=-1,

所以f(-1)=f(3),故C正確;

對于D,因為g(-2)=-πsin(-2)π=πsin2π=0,

g(5)=-πsin5π=0,

所以g(-2)=g(5),故D正確,故選BCD.

三、結束語

以抽象函數為背景設置考題是高考考查函數性質的重點和熱點,主要考查函數的單調性、奇偶性、周期性等基本性質,解答這類考題的方法主要有:

①回歸并應用函數的有關定義、性質,熟練掌握和應用關于抽象函數對稱性、周期性及對稱性與周期性關系的結論.

②就抽象函數的客觀題而言,依據問題特點,通過構造滿足題設條件的具體函數模型來解答,其過程簡捷、方法靈巧,但這一解法對考生的類比、聯想的思維能力要求較高,選取、構造適合的數學模型,需要有較強的甄別能力.

③通過研究函數的對稱性或周期性,然后利用特殊函數和取特殊值代入解答,體現“由一般到特殊”的解題思想.

④從函數圖象的變換切入,將復雜的抽象函數問題轉化為圖象變換等直觀幾何圖形來思考和解答.