函數(shù)奇偶性在積分計(jì)算中的應(yīng)用初探

◇樂山師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 劉艷芳

函數(shù)的奇偶性是一個(gè)非常特殊的性質(zhì)，并在很多實(shí)際問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.本文主要通過具體例子介紹函數(shù)奇偶的這一特性在函數(shù)的定積分、曲線積分、重積分計(jì)算當(dāng)中的應(yīng)用.

在高等院校中，高等數(shù)學(xué)作為各理工科本科生必修的基礎(chǔ)課程，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.而積分計(jì)算作為高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，其重要性是不言而喻的.而函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中尤其是微積分的主要研究對(duì)象，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有很多特性，比如單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性等，這些特性充分體現(xiàn)了函數(shù)的幾何美.其中函數(shù)奇偶性將數(shù)學(xué)美體現(xiàn)的淋漓盡致，如心形函數(shù)不失為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)子委婉表達(dá)自己內(nèi)心愛慕之情的方法.并且利用函數(shù)的特性可以解決和簡(jiǎn)化很多計(jì)算和應(yīng)用中的問題，其中將函數(shù)奇偶性運(yùn)用在積分求解的方法中就是一個(gè)非常有代表性的舉措，也是非常重要且便利的工具.因此，探究函數(shù)奇偶性在積分計(jì)算中的運(yùn)用就相當(dāng)有必要.在某些較為麻煩的積分計(jì)算和證明的問題中，使用常規(guī)的方法去處理可能會(huì)力不從心，且其中有些積分計(jì)算方法靈活，不易直觀求解，甚至?xí)?jīng)過比較巧思的方法才能解決，這也就暴露出常規(guī)解決問題方法的弊端，令積分計(jì)算很是頭疼.因此我們就可以采用針對(duì)性的解法，嘗試去尋找這個(gè)問題的特殊之處，比如積分區(qū)間的對(duì)稱性、被積函數(shù)奇偶性等，使積分計(jì)算的難度可能會(huì)得到大幅度的降低.再利用奇偶性的相關(guān)定理、結(jié)論來(lái)求解，更能達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程的目的，使計(jì)算過程得到相應(yīng)的簡(jiǎn)化，從另一個(gè)角度來(lái)說也就提升了求解問題的速度，更加靠近解決問題的最佳方案.

1 函數(shù)的奇偶性

2 函數(shù)奇偶性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

2.1 函數(shù)奇偶性在定積分中的應(yīng)用

這種計(jì)算方法必須要滿足被積函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上可積，然后再利用函數(shù)的奇偶性求解積分問題.甚至在有些定積分的計(jì)算中看似復(fù)雜或無(wú)從下手，此時(shí)卻可以通過考慮被積函數(shù)的奇偶性或把被積函數(shù)分解出具有奇偶性的函數(shù)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的.

通過以上例題，一些看似無(wú)從下手的題，通過利用被積函數(shù)奇偶這一特性，很簡(jiǎn)單的就能算出結(jié)果，且減小了繁瑣計(jì)算量.

2.2 函數(shù)奇偶性在曲線積分中的應(yīng)用

3 結(jié)束語(yǔ)

通過上面具體的實(shí)例闡述，我們看到了函數(shù)的奇偶性可以很巧妙的簡(jiǎn)化積分中的計(jì)算.不僅如此，函數(shù)的奇偶性在重積分、曲線積分、曲面積分以及其他的很多問題中都有著不容小覷的作用.由此我們由函數(shù)的奇偶性聯(lián)想到對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的很多美好，從而激起了我們學(xué)好高等數(shù)學(xué)的興趣和熱情.也更能把數(shù)學(xué)中抽象難懂的知識(shí)生動(dòng)形象地闡述出來(lái)，帶來(lái)很多的直觀感受.在解決問題的時(shí)候，盡量避免復(fù)雜的推導(dǎo)，觀察問題本身，可能會(huì)比一味硬算節(jié)約更多的時(shí)間，這在生活中也會(huì)是一門深究的學(xué)問.