變式連接體 “題”升核心素養

聶應才 付先貴

(1.江西省南豐縣第一中學;2.江西省南豐縣第二中學)

輕桿(繩)連接體運動習題需要綜合運用解動力學問題的三個基本觀點而備受命題人青睞,解題者要有較高的科學思維才能解答此類問題。

1 系統機械能守恒

能量守恒定律是十九世紀三大發現之一,是自然界普遍遵守的法則。力學中的連接體問題,表現為系統機械能守恒。

圖1

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2 系統機械能守恒,動力學視角

【例2】(多選)如圖2,滑塊a、b的質量均為m,a套在固定直桿上,與光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接。不計摩擦,a、b可視為質點,重力加速度大小為g。則

圖2

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A.a落地前,輕桿對b一直做正功

C.a下落過程中,其加速度大小始終不大于g

D.a落地前,當a的機械能最小時,b對地面的壓力大小為mg

【變式1】(多選)如圖3,豎直墻面和水平面均光滑,可視為質點的質量分別為m1、m2(m1、m2相差不是很大)的A、B兩球用輕桿連接,開始時A球靠在豎直墻面上,B球放在水平面上,桿與豎直方向的夾角為θ=37°。由靜止釋放兩球,當桿與豎直方向的夾角為53°時,B球仍做加速運動,此時小球B的速度為v。已知重力加速度大小為g,sin37°=0.6,A、B兩球始終在同一豎直面內運動,在A球落地之前的運動過程中,下列判斷正確的是

圖3

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A.小球A不會一直沿著墻面向下運動

B.小球A沿墻面向下運動的加速度不可能大于g

【質疑】例2、變式1題目中兩物體質量大小有什么要求?

物體質量大小本身沒有要求,但是質量間不能相差太大,因為相差太大會造成失去題意。如滑塊a(A球)比滑塊b(B球)大得多,系統質心幾乎與a(A)重心重合,a將做自由落體運動,A球不會離開墻面;反之,b(B)比a(A)大得多,系統質心幾乎與b(B)重心重合,系統仍近似保持靜止狀態。

【創新】球B獲得水平速度v從功能關系看,是球A重力做功的原因,但從動量角度看,是系統外的墻面對球A的沖量作用。

3 系統機械能守恒,動力學視角,分動量觀

如果墻壁不存在,連接體物體運動規律如何?

【例3】(多選)如圖4所示,質量分別為m、2m的小球A、B用一根長為l的輕桿通過鉸鏈相連,豎直放置在光滑水平地面上。擾動輕桿使小球A向左傾倒,小球B在水平地面上向右運動。小球A落地后不反彈,重力加速度為g。下列說法正確的是

圖4

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A.A球機械能一直增加

C.小球B對地面的壓力大小不可能小于2mg

D.A球下落過程中,A、B兩球的水平加速度大小之比始終為2∶1

【變式2】(多選)如圖5所示,質量均為m的小球A、B用一根長為l的輕桿通過鉸鏈相連,豎直放置在光滑水平地面上,質量也為m的小球C挨著小球B放置在地面上。擾動輕桿使小球A向左傾倒,小球B、C在同一豎直面內向右運動。當桿與地面有一定夾角時小球B和C分離。已知C球的最大速度為v,小球A落地后不反彈,重力加速度為g。下列說法正確的是

圖5

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A.球B、C分離前,A、B兩球組成的系統機械能逐漸減小

B.球B、C分離時,球B對地面的壓力大小為2mg

【拓展】如果開始小球C離小球B有一定距離,則它們可以彈性碰撞多少次?

【變式3】(多選)如圖6所示,用鉸鏈將三個質量均為m的小球A、B、C與兩根長為L的輕桿相連,B、C置于水平地面上。在輕桿豎直時,將A由靜止釋放,B、C在桿的作用下向兩側滑動,三小球始終在同一豎直平面內運動。忽略一切摩擦,重力加速度為g,則此過程中

圖6

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A.球A的機械能一直減小

D.球B對地面的壓力可小于mg

4 系統機械能守恒,動力學視角,動量觀

物體放在水平面上,將幾個物體用輕繩連接,當某物體有速度后,將如何牽連其他物體運動?

【例4】如圖7所示,三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上。現給中間的小球B一個水平初速度v0,方向與繩垂直。小球相互碰撞時無機械能損失,輕繩不可伸長。求:

圖7

(1)當小球A、C第一次相碰時,小球B的速度;

(2)當三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度;

(3)運動過程中小球A的最大動能EkA和此時兩根繩的夾角θ;

(4)當三個小球處在同一直線上時,繩中的拉力F的大小。

【思維導向】三球組成系統機械能守恒,動量守恒。設沿水平初速度v0方向為豎直方向,垂直初速度v0方向為水平方向,這兩個方向動量皆守恒。

【拓展1】第(1)中去掉“第一次”限制條件,小球B的速度如何?

【拓展2】小球A的動能EkA最大時,小球B處于什么位置?

【拓展3】求三個小球相鄰兩次處在同一直線上的過程中兩繩對小球B的沖量大小。

【質疑】小球有一定的體積,當A、C相碰時,三球不會在同一豎直直線上,B的速度就跟球半徑有關,這應該偏離了命題者的意圖。為了避免這種分歧,小球均可視為質點。

【變式4】如圖8所示,三個質量均為m的彈性小球(小球均可視為質點)用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上。現同時給兩邊的小球A、C一個水平初速度v0,方向與繩垂直。小球相互碰撞時無機械能損失,輕繩不可伸長。求:

圖8

(1)當小球A、C第一次相碰時,小球B的速度;

(2)當三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度;

(3)運動過程中小球B的最大動能EkB和此時兩根繩的夾角θ;

(4)當三個小球處在同一直線上時,繩中的拉力F的大小。