幾類(lèi)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)的小偏差估計(jì)

林瓏瓏，梁明杰

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 福州 350117；2.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

隨機(jī)過(guò)程的相交局部時(shí)有著十分豐富的研究史，它起源于數(shù)學(xué)物理工作者對(duì)隨機(jī)過(guò)程樣本軌道交叉的關(guān)注，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

事實(shí)上，隨機(jī)過(guò)程的相交局部時(shí)與量子場(chǎng)論的重整化群方法、自回避隨機(jī)游動(dòng)模型及隨機(jī)聚合物理論等有著密切聯(lián)系[2-6].特別的，隨機(jī)過(guò)程樣本軌道交叉所產(chǎn)生的有關(guān)偏差已被應(yīng)用于相關(guān)物理模型的研究，例如聚合物模型中某些臨界指數(shù)的識(shí)別[7]、拋物型Anderson 模型間歇性分析[8]等.布朗運(yùn)動(dòng)作為單指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的重要代表，其相交局部時(shí)及相關(guān)理論已被眾多學(xué)者深入研究.相較于此，多指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的相交局部時(shí)還有許多值得探究的問(wèn)題.多指標(biāo)Wiener 過(guò)程作為布朗運(yùn)動(dòng)在多指標(biāo)情形的泛義推廣形式具有深刻的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.

本文中，筆者主要探討幾類(lèi)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)的小偏差估計(jì)及相關(guān)問(wèn)題.特別的，本文首次給出了兩指標(biāo)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)的小偏差估計(jì)，為相關(guān)單指標(biāo)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)研究推廣至多指標(biāo)情形提供了豐富樣例與技術(shù)參考.

1 預(yù)備知識(shí)與主要結(jié)論

特別的，當(dāng)N=1 時(shí)，W即為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N=2 時(shí)，W則為一維兩指標(biāo)Wiener 過(guò)程，有些文獻(xiàn)也稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)布朗單（Brownian sheet）.

本文中，我們重點(diǎn)考察幾類(lèi)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)，并給出其小偏差估計(jì)的如下結(jié)論：

定理1.1設(shè)，且滿(mǎn)足對(duì)任意有

和

注1.1當(dāng)K=1 ，即P1=1 時(shí)，有

即得關(guān)于一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典結(jié)論

定理1.2設(shè)，且滿(mǎn)足，對(duì)任意存在常數(shù)，有

和

注1.2若記為Delta 函數(shù)，則有從而根據(jù)Fubini 定理，利用積分變換可得

由于Wt與-Wt具有相同分布，從而上述（1.3）和（1.4）式子中關(guān)于Wiener 過(guò)程的相交局部時(shí)可替換成形式仍然成立.同理，定理1.1 的相關(guān)結(jié)論也有相仿的替換形式成立.

進(jìn)一步的，若我們考慮關(guān)于Wiener 過(guò)程的如下形式相交局部時(shí)

對(duì)任意ε＞0 ，有

從而我們可得類(lèi)似定理1.2 中（1.4）式的結(jié)論

然而，對(duì)任意ε＞0 ，由于我們只能得到如下估計(jì)

從而我們無(wú)法得到定理1.2 中關(guān)于小偏差下界估計(jì)的相仿結(jié)論.

定理1.3設(shè)，且滿(mǎn)足對(duì)任意存在常數(shù)有

和

注1.3特別的，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的論述，利用文獻(xiàn)[9]定理1.4 的結(jié)論，我們可將定理1.3 中Wiener過(guò)程相交局部時(shí)形變?yōu)榈男问剑P(guān)于（1.5）和（1.6）式的結(jié)論保持不變.

2 定理證明

定理1.1 的證明由于，且滿(mǎn)足對(duì)任意根據(jù)廣義H?lder不等式，有

從而對(duì)任意ε＞0 ，

進(jìn)而利用文獻(xiàn)[10]中第六章定理2.7 的結(jié)論，有（1.1）式成立.

另一方面，對(duì)任意ε＞0 ，

進(jìn)而有

再次利用文獻(xiàn)[10]中第六章定理2.7 的結(jié)論， （1.2）式得證.

定理1.2 的證明類(lèi)似上述（1.2）式的證明，利用廣義H?lder 不等式，任意ε＞0 ，

故有（1.3）式成立.

對(duì)于（1.4）式的證明，與證明（2.2）式相仿的，

進(jìn)而由文獻(xiàn)[9]定理1.1，可得

命題得證.

定理1.3 的證明利用文獻(xiàn)[9]定理1.4 的相關(guān)結(jié)論，本定理的證明方法與上述定理1.2 的論述過(guò)程相仿，因篇幅有限，這里不再贅述.

3 結(jié) 語(yǔ)

眾所周知，超弦理論是一種基于弦狀粒子的理論，它作為新生物理學(xué)理論為克服量子引力難題提供了合理解釋.隨機(jī)過(guò)程樣本軌道交叉性能有效刻畫(huà)超弦理論中弦相交特征，希冀本文所討論的幾類(lèi)Wiener 過(guò)程相交局部時(shí)的有關(guān)結(jié)論能為超弦理論模型提供必要的理論支撐.