隱函數求導方法探索

楊 雄，袁新全

（婁底職業技術學院，湖南 數底 417000）

求導是高等數學教學中的主要內容之一，其中隱函數求導是導數中的難點內容，為了便于對隱函數求導的理解，首先闡釋一元隱函數的求導的方法，然后推廣到多元隱函數求導的情況，并且得出相應的隱函數求導公式，同時應用實際案例對隱函數的求導公式進行應用探索.

1 隱函數的定義及其求導方法

（2）把隱函數看作方程，方程左右兩端對x求導（求導時注意y是關于x的函數），可得到關于導數y'(x) 的方程，進行解方程即可求出函數的導數y'(x) .或者在多元函數中方程兩端求偏導，再解方程求出偏導數.

（3）將x,y看作兩個“平等地位”的變量，利用一元微分或多元函數全微分的形式不變性，在等式或兩端同時取微分，一元微分得到關于dy與dx的等式，把導數看作微商即可求出y'(x) ，多元函數求出全微分等式，類比dx前的因子是x的偏導數，dy前的因子是y的偏導數.

2 一元隱函數求導法則

2.1 一元隱函數的求導公式

隱函數存在定理1[2]設函數F(x,y) 在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且有連續導數的函數它滿足條件并有

如果F(x,y) 的二階偏導數也都連續，可以把（1）式的兩端看作x的復合函數而再求一次導數，則有一元隱函數的二階導數公式

案例1求隱函數的導數.

方法一用復合函數求導法則求解隱函數的導數.

解直接用復合函數求導法則，有

分析在此求導過程中一定注意，y是關于x的函數，即比如求的導數，應該是2yy'，而不是2y，等式兩邊求導后相當于解一元一次方程即可求出導數，當然求出的導函數還是一個隱函數.

方法二用等式兩端求微分的方法求解隱函數的導數.

解方程兩邊取微分，則有

分析等式兩端求微分，求解過程用到一元微分的形式不變性，其實質用然后把等式兩端的dx約去，得到關于y'的方程，解方程即得導數.

方法三直接應用定理1 中的（1）式求解.

分析直接用定理1 求解，隱函數要變到的形式，然后分別對F(x,y) 求偏導數，當x求偏導數時，y看作常數，當對y求偏導數時，x看作常數，其他與一元函數求導法則、求導公式一樣.

2.2 一元隱函數的其他求導方法分析

2.2.1 用復合函數求導法則求解隱函數的導數

案例2設其中f二階可導，且其一階導數不等于1，求

解等式兩端對x求導，則有，即

對上式兩邊再對x求導，可得進而有將y'代入上式，有

分析在求此類函數的導數時，一注意y是關于x的函數，二要注意復合函數的求導法則，不能丟掉內函數的導數，三要注意一直用方程兩端求導，求導過程中不要先求出一階導數y'，再對一階導數等式兩端求導，這樣變成了一個分數函數求導，繼續求高階導數會變復雜，只要最后把y'代入即可.

2.2.2 用對數求導法求解隱函數的導數

案例3求隱函數xy=yx的導數.

解對等式兩端取對數，則有

分析如果等式中含有冪指函數，一般用到對數求導法，先等式兩邊取對數，并一般需要先通過相應的對數運算，然后等式兩邊求導數即可.當然有時可以轉換成e的指數形式，再用復合函數求導，如此題可轉換成.

2.2.3 用等式兩邊求微分的方法求解隱函數的導數

案例4求隱函數cos(xy)=x3y3的導數.

解對等式兩端求微分，則有

分析此解法與例1 中的解法二是有區別的，例1 中用到的是一元函數的微分公式，這里用到的二元函數的全微分公式，即，實質是等式兩邊求全微分.

2.2.4 用變量代換求解隱函數的導數

案例5設函數y=y(x)由方程確定，求

解將方程改寫為進行變量代換，設u=y2lnx，則有

對x求導，可得，即

分析：解此類題，在解題過程中加強觀察，可能會找到簡便的解法，當然觀察的能力來自于平時的積累，因此，對一些解題的方法和技巧要平時多積累.

2.2.5 求一元隱函數的導數值

案例6設y=y(x)由方程y-xey= 1確定，求的值[4].

解方程兩端求導可得

以上方程兩邊再對x求導可得

由已知方程及x=0 得y(0) =1 ，再由方程得y'(0)=e，將它們代入以上方程得

分析若要求任意點x處的二階導數，在求解得到二階導之后，應將一階導數y'的表達式代入含有和的方程中，把消除；在隱函數求導過程中，通過一次求導，求得關于一階導數y'的方程，若能用原方程將含有一階導數的方程化簡的，應代入化簡，這方便于進一步求二階導數y''.

3 多元隱函數的求導法則

隱函數存在定理2[2]設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數它滿足條件并有

案例7已知求

方法一相似案例1 中方法一，用復合函數求導方法，即方程兩端對x求偏導，則有解得

方法二相似案例1 中方法二，對方程兩端取全微分，則有

2xdx+2ydy+2zdz-4dz= 0，解得進而有

方法三應用公式（3）求解，設則有

Fx=2x,Fz= 2z- 4，所以

分析方法一對x求偏導時，y是常數，z是關于x和y的函數；方法二是求出全微分，然后比較dx前的因子是x的偏導數；方法三對x求導時，y和z都是常數，對z求導時，x和y是常數.如果弄清楚誰是變量，誰是常數，求導就變容易了.

4 方程組給出的隱函數的求導法則

隱函數存在定理3[5]設在點的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數，又且偏導數所組成的函數行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：

案例8已知求

方法一直接應用公式（4）計算.

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv- 1，則有

方法二利用復合函數的求導法則計算，因為方程的兩端對x求導可得若則有

同樣的方法方程兩端對y求導，可求出

方法三方程兩端取全微分，則有

在隱函數求導的教學過程中，通過從一元隱函數的求導方法，拓展到多元隱函數的求導方法，降低了隱函數求導的難度，進而引導學生積極參與思考，促進學生多途徑、多角度思考問題的能力，并且在知識的深度和廣度上得到充分挖掘.