三變量等冪和對稱式組三題

張?jiān)诿?，張凌?/p>

（1.玉溪師范學(xué)院，云南 玉溪 653100；2.云南師范大學(xué) 實(shí)驗(yàn)中學(xué)，云南 昆明 650000）

1 關(guān)于蓋爾方德恒等式

1953 年蘇聯(lián)科學(xué)院院士蓋爾方德（1906-1968）曾指出，對于，以下等式恒成立：

由于介紹過于簡略，讓讀者不知來龍去脈，70 年來，對于恒等式（1），頗有“前不見古人，后不見來者”的感嘆.

近年來，筆者通過研究，對式（1）有了一點(diǎn)心得和發(fā)現(xiàn).

首先，用對稱的角度來研究，等式兩邊的代數(shù)式都是對稱的，對稱中心的代數(shù)式就是，從而可以考慮下列式組：

為了以后對比的需要且不影響問題的實(shí)質(zhì)，將（2）變成（3）

再取C為c+2b（?。?/p>

對于（4），計(jì)算后得

以及

從而，G,H是“跨層相等”式組

為5 次等冪和對稱式組，對照恒等式（1）有下列恒等式（8）與之等價(jià)，仍舊叫做蓋爾方德恒等式：

按照慣例，這時(shí)有

有意思的是，與（4）式相伴，下列式組：

也可組成5 次等冪和對稱式組：

實(shí)事上，這時(shí)

其相應(yīng)恒等式為

想到恒等式（1），孤身只影70 年，而今有了（8）與（12），恰好可以引用北宋詞人晏幾道（約1038～約1106）的名句來咀嚼回味：“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛”.

2 幻方與5 次等冪和

2000 年12 月，湖北南方城鄉(xiāng)建筑學(xué)校李渺老師發(fā)現(xiàn)一個(gè)7 階5 次特優(yōu)完美幻方，見圖1（1）.不久，其又提供第2 個(gè)特優(yōu)完美幻方，見圖1（2）.

其對角線上的數(shù)組成5 次等冪和數(shù)組

以及

將此數(shù)組對稱化（同時(shí)減去對稱中心數(shù)25）得到（只寫半組）：

以及

發(fā)現(xiàn)1：它們都是“跨層（2，4）相等”數(shù)組

發(fā)現(xiàn)2:（16）數(shù)組依次相應(yīng)加上1，2，3，便是（15）

發(fā)現(xiàn)3：前兩數(shù)之和等于末位數(shù).

于是猜想，有下列“跨層相等”式組：

或簡化成（令C=-3b+c，代入（17），再將C1換成C）:

事實(shí)上，對（18）有

若將（18）作點(diǎn)改變，即

這時(shí)有

因此（18）（20）都可以構(gòu)成5 次等冪和對稱式組！

有趣的是，據(jù)我國著名科普作家、娛樂數(shù)學(xué)專家談祥柏老先生介紹，“跨層相等”數(shù)組

還是一位叫戈德曼的外國人偶然發(fā)現(xiàn)的，他受到了贊揚(yáng)后還說：“你們能找出第二個(gè)例子嗎？”

從前面的介紹可以看出，李渺老師將兩個(gè)7 階完美幻方中找到5 次等冪和對稱數(shù)組，不僅開啟了我國幻方研究者對等冪和數(shù)組的關(guān)注，也找到了“跨層相等”的用處，溝通兩者的關(guān)聯(lián).

應(yīng)該說，從2000 年12 月31 日到2003 年4 月10 日短短不到3 年的時(shí)間里，高次特優(yōu)完美幻方的研究就取得了驕人的成果.

3 李文13 階7 次等冪和數(shù)組的推廣

2002 年3 月15 日，李文老師給出13 階7 次特優(yōu)完美幻方，其對角線數(shù)組為7 次等冪和數(shù)組：

（只寫出數(shù)組的一半）.

由于對稱，將（22）各項(xiàng)減去85 后得：

根據(jù)（23），可得“跨層相等”式組

在（24）中以 -6b+C代替C，最后得

并稱（25）為“跨層相等”的標(biāo)準(zhǔn)式組.

（24）（25）中C的系數(shù)太漂亮了，可能是得益于13 階完美對稱幻方的數(shù)字結(jié)構(gòu)！對于式組（25），經(jīng)計(jì)算得

這樣一來，有3 變量7 次等冪和式組

按照習(xí)慣記法，得

若取a=85 ，b=1 ，c=6 ，根據(jù)（5）（6）（7）（9）可得，，，……，這正是李文老師的結(jié)果.

趁此機(jī)會(huì)，再介紹一系列C的系數(shù)，皆為1，2，3……的“跨層相等”的式組.

與6式比較一下！

王青建主編《數(shù)學(xué)開心辭典》第25 頁介紹金蟬脫殼等式：

k=1，2.加變量得

k=1，2，

顯而易見（2*）式比（1*）式更進(jìn)了一步.

又一組3 次等冪和式組

9 變量3 次等冪和對稱式組

設(shè)

這樣的等冪和代數(shù)式組，還可以繼續(xù)做下去，取材于23，29，47，64，65 階特優(yōu)完美幻方的對角線數(shù)組.事實(shí)上，本文中的十多例“跨層相等”式組正是使用曹陵老師專著《幻方再論》（香港天馬圖書有限公司2003 年12 月31 日出版）一書中介紹的諸如李渺，李文，蘇茂挺，丁偉明以及曹陵關(guān)于高次特優(yōu)完美幻方的研究成果，筆者將有關(guān)等冪和數(shù)組，基于對稱性，推廣成3 變量的等冪和代數(shù)式組，實(shí)現(xiàn)了從一數(shù)組到無窮多數(shù)組的飛躍.遺憾的是，目前對二十階以上的特優(yōu)完美幻方的工作還有待進(jìn)行，因此本文更多的是起到一個(gè)拋磚引玉的作用.