基于Hirota方法探求非零邊界條件下MNLS/DNLS方程的孤子解

周國全 雒潤嘉 齊鎣

摘 要 Hirota雙線性導數變換處理非線性偏微分方程，是一種比反散射變換更為方便的直接方法。本文展示了Hirota雙線性導數變換法應用于求解非線性可積方程的一般手續，以非零駐波邊界條件下修正的非線性薛定諤（MNLS）方程為例，探求其孤子解;再通過簡單的參數歸零法直接得到導數非線性薛定諤（DNLS）方程在非零常數邊界條件下的相應孤子解，亮/暗孤子解隨時間和空間變量的演化也通過圖像加以演示， 所得孤子解與反散射方法得到的結果一致相符。

關鍵詞 孤子;非線性方程;修正的非線性薛定諤方程;導數非線性薛定諤方程;Hirota方法;Hirota雙

自然界存在兩類穩定的波動狀態，一類穩定波動存在于線性且無色散的均勻媒質中，因為非線性效應和色散效應都會破壞波的穩定性。但是，當傳波媒質的非線性效應與色散效應達到一種精致而穩定的平衡并相互抵消的時候，媒質中又會產生一種孤立、穩定的局域波動，稱為孤立波（solitary wave），即第二類穩定傳播的波動現象[1]。描述這類孤立、穩定且局域的波動現象在時空中的演化過程的偏微分方程，稱為可積非線性微分方程。可積非線性方程既有非線性項，又有色散項，可以改寫成一對關于時空變量的線性演化方程（所謂Lax pair）的可積條件[1]，也稱為相容性條件（compatibility condition），或者零曲率條件（zero-curvature condition）。一些穩定的孤立波之所以被稱為孤子（soliton），是因為它們的傳播呈現一種經典的準粒子運動狀態，其相互間的碰撞過程類似于彈性粒子之間的碰撞。孤子種類很多，諸如亮/暗孤子、呼吸子、高階孤子、流氓波（rogue wave），并且各具不同的物理背景，比如光纖中傳播的光孤子，等離子體中傳播的阿爾芬孤波，QCD的規范量子場微分方程的真空瞬子（instanton），等等。本文專注于討論非線性光纖光學中的光孤子理論。