一類非線性四階離散邊值問題正解的存在性

趙亞麗 陳天蘭

本文研究了非線性四階差分方程邊值問題

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2=2，3，…，T-1，u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0

正解的存在性，其中T≥4為固定的正整數，f：0，∞→0，∞連續.主要結果的證明基于Leray-Schauder不動點定理.

四階差分方程； 格林函數； Leray-Schauder不動點定理； 正解

O175.7A2023.031002

收稿日期： 2022-03-23

作者簡介： 趙亞麗（1997-）， 女， 甘肅定西人， 碩士研究生， 主要研究方向為差分方程及其應用.E-mail： zylZYL19970807@163.com

通訊作者： 陳天蘭. chentianlan511@126com

Existence of positive solutions for a class of fourth-order nonlinear discrete boundary value problems

ZHAO Ya-Li， CHEN Tian-Lan

（School of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

In this paper， we study the existence of positive solutions for the nonlinear fourth-order difference equation boundary value problem

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2=2，3，…，T-1，u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0，

where T≥4 is a fixed positive integer，f：0，∞→0，∞ is continuous. The proof of the main results is based on the Leray-Schauder fixed point theorem.

Fourth-order difference equation； Greens function； Leray-Schauder fixed point theorem； Positive solution

（2010 MSC 34B15）

1 引 言

四階非線性差分方程在生態學、經濟學、人口動力學等領域有著廣泛應用，其邊值問題解的存在性廣受關注［1-8］. 例如，彈性梁方程就是通過不同邊界條件的四階非線性常微分方程來刻畫的. 近年來，對兩端簡單支撐以及一端簡單支撐另一端滑動支撐的彈性梁方程的解的存在性已有大量研究［4-6］.

本文的研究對象是邊界條件為u（0）=u′（0）=u′（1）=u″（0）=0的非線性四階常微分方程. 這是一類與彈性梁方程類似的方程. 據我們所知，對其邊值問題正解的存在性的研究比較少［9， 10］，對其離散形式解的存在性則從未被研究過. 這正是我們的研究目標. 令T≥4為一整數.記T0={0，1，…，T+1}，T1={1，2，…，T}，T2={2，3，…，T-1}. 我們將運用Leray-Schauder不動點定理來討論四階離散問題

趙亞麗， 等： 一類非線性四階離散邊值問題正解的存在性

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2??? （1）u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0? （2）

正解的存在性，并討論該問題所對應的線性問題Δ4u（t-2）+h（t）=0的格林函數的性質.

下面我們概述相關的一些研究.Lu等［4］和Ma等［5］分別運用分歧法和錐上的不動點指數理論研究了兩端簡單支撐的非線性四階離散問題

Δ4u（t-2）=λfu（t），t∈T3=2，3，…，T，u（1）=u（T+1）=Δ2u（0）=Δ2u（T）=0

正解的存在性，其中λ>0是參數，f：T3×［0，∞）→［0，∞）連續，且T≥5. He等［6］運用錐上的不動點定理研究了一端簡單支撐另一端滑動支撐的非線性四階離散問題

Δ4u（t-2）-λa（t）fu（t）=0，

t∈T4=2，3，…，T+2，u（0）=Δ2u（0）=ΔuT+1=Δ3u（T-1）=0

正解的存在性，其中λ是特征值，權函數a非負，f：R+→R+連續，且T≥1. 而Benaicha等［9］和Haddouchi［10］則分別運用錐上的不動點定理和Leray-Schauder不動點定理研究了帶積分邊界條件的四階常微分方程邊值問題

u″″（t）+fu（t）=0，t∈0，1，

u′（0）=u′（1）=u″（0）=0，

u（0）=∫10a（s）u（s）ds

正解的存在性，其中a：0，1→［0，∞），0<∫10a（s）ds<1，f：0，∞→0，∞連續.

受以上文獻啟發，本文通過建立適當的錐，利用Leray-Schauder不動點定理來研究問題正解的存在性，主要結果如下：

定理1.1 設f：0，∞→0，∞連續，并假設以下條件之一成立：（i）f0=lims→0+f（s）s=0；（ii）f∞=lims→∞f（s）s=0， 則問題（1）（2）至少存在一個正解.

2 預備知識

引理2.1［11］ 設X是Banach空間，ΩX是一個凸子集，且0∈Ω. 若A：Ω→Ω是一個全連續算子.則下列結論之一成立：（i）A在Ω中至少有一個不動點；（ii） 集合{x∈Ω：x=λAx，0<λ<1}無界.

引理2.2 設h：T2→R. 則線性邊值問題

Δ4u（t-2）+h（t）=0，t∈T2，u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0（3）

的解等價于

u（t）=∑T-1s=2G（t，s）h（s），t∈T0（4）

其中

G（t，s）=16T（T-1）t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）， 1≤t≤s≤T-1，t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）- T（T-1）（t-s）t-s-1 t-s+1，2≤s≤t≤T.

證明 設u滿足式（3）.通過對（3）式中的方程進行和分運算，結合u（0）=Δu（0）=Δ2u（0）=0可得

u（t）=t（t-1）（t-2）6Δ3u（0）-

∑t-1s=2（t-s）t-s-1t-s+16h（s）（5）

代入邊界條件Δu（t）=0可得

uT+1=T（T-1）T+16Δ3u（0）-

∑Ts=2（T-s）T+1-sT+2-s6h（s），

u（t）=T（T-1）（T-2）6Δ3u（0）-

∑T-1s=2（T-s）T-1-sT+1-s6h（s）.

進而解得

Δ3u（0）=∑T-1s=2（T-s）T+1-sT（T-1）h（s）（6）

將（6）式代入（5）式中可得

u（t）=t（t-1）（t-2）6∑T-1s=2（T-s）T+1-sT（T-1）h（s）-∑t-1s=2（t-s）t-s-1t-s+16h（s）=

∑t-1s=2t（t-1）（t-2）（T-s）T+1-s-T（T-1）（t-s）t-s-1t-s+16T（T-1）h（s）+

∑T-1s=tt（t-1）（t-2）（T-s）T+1-s6T（T-1）h（s）.

因而u也滿足式（4）.

另一方面，容易驗證式（4）滿足式（3）.證畢.

引理2.3 格林函數G（t，s）滿足如下性質：（i） G（t，s）≥0，s∈T1，t∈T1; （ii） ρ（t）Φ（s）≤G（t，s）≤Φ（s），s∈T1，t∈T1， 其中

ρ（t）=min t（t-1）（t-2）T（T-1）2T-3，

（t-2）T-tT-t+1T（T-1）3T-3，

Φ（s）=s（T-2）（T+1-s）（T-s）12.

證明 （i） 當1≤t≤s≤T-1時，顯然有G（t，s）≥0. 當2≤s≤t≤T時，我們分兩種情況討論. 當t-s-1≤0時，顯然有G（t，s）≥0；當t-s-1>0時，即t>s+1時，我們有

G（t，s）=t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）-T（T-1）（t-s）t-s-1t-s+16T（T-1）>

t-3t（t-1）T+1-s（T-s）-T（T-1）（t-s）t-s+16T（T-1）=

t-3t2-tT2-2Ts+s2+T-s-T2-Tt2-2ts+s2+t-s6T（T-1）=

t-3s2t2-T2+s2T-t+2stTT-t+sT2-t2+st-T+2tTt-T6T（T-1）=

t-3T-ts21-T-t+s2tT+T+t-1-2tT6T（T-1）=

t-3s-1T-t2tT-sT+t-16T（T-1）>t-3s-1T-t2s+1T-sT-st+s6T（T-1）=

t-3s-1T-tsT-t+2T+s6T（T-1）≥0（7）

故（i）成立.

（ii） 當 1≤t≤s≤T-1時，有

G（t，s）=t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）6T（T-1）≤ss-1s-2T+1-s（T-s）6T（T-1）

sT+1-s（T-s）6·T-22=s（T-2）T+1-s（T-s）12.

另一方面，

G（t，s）=t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）6T（T-1）≥t（T-1）（t-2）T+1-s（T-s）6T（T-1）·

sT-1·T-22T-3=t（t-1）（t-2）s（T-2）T+1-s（T-s）12T（T-1）2T-3.

當2≤s≤t≤T時，有

G（t，s）=t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）-T（T-1）（t-s）t-s-1t-s+16T（T-1）≤

t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）6T（T-1）≤（T-2）T+1-s（T-s）6≤s（T-2）T+1-s（T-s）12.

另一方面，類似（7）式的處理方法，有

G（t，s）=t（t-1）（t-2）T+1-s（T-s）-T（T-1）（t-s）t-s-1t-s+16T（T-1）>

（t-2）［t（t-1）T+1-s（T-s）-T（T-1）（t-s）t-s+1］6T（T-1）=

（t-2）s-1T-t［2tT-sT+t-1］6T（T-1）≥ss-1（t-2）T-tT-t+16T（T-1）≥

s（t-2）T-tT-t+16T（T-1）>s（t-2）T-tT-t+16T（T-1）·T-22T-3·T+1-sT-1·

T-sT-1=（t-2）T-tT-t+1s（T-2）T+1-s（t-s）12T（T-1）3T-3.

故（ii）成立. 證畢.

引理2.4 設h：T2→0，∞.Symbol`@@則問題（3）式的唯一解u非負，且滿足mint∈T2 u（t）≥ρu， 其中ρ=mint∈T2 ρ（t）.

證明 由引理2.2和引理2.3可知u（t）非負，且對任意t∈T1有

u（t）=∑T-1s=2G（t，s）h（s）≤

∑T-1s=2s（T-2）T+1-s（T-s）12h（s）=

（T-2）12∑T-1s=2sT+1-s（T-s）h（s）.

進而有

u≤（T-2）12∑T-1s=2sT+1-s（T-s）h（s）.

另一方面，

u（t）=∑T-1s=2G（t，s）h（s）≥

∑T-1s=2ρ（t）s（T-2）T+1-s（T-s）12h（s）=

ρ（t）（T-2）12∑T-1s=2sT+1-s（T-s）h（s）≥

ρ（t）u≥ρu.

故mint∈T2 u（t）≥ρu. 證畢.

下面我們引入本文使用的空間. 定義空間

E={u：T0→R|u（0）=Δu（0）=Δu（T）=

Δ2u（0）=0}，

其在范數u=maxt∈T0|u（t）|下構成Banach空間. 定義錐KE，

K=u∈E|u（t）≥0，mint∈T2 u（t）≥ρu.

定義非線性算子A：E→E，

Au（t）=∑T-1s=2G（t，s）f（u（s）），t∈T0.

依據引理2.2，我們很容易得到如下結論：

引理2.5 若f：0，∞→0，∞連續，則u（t）是問題（1）-（2）的正解當且僅當Au=u.

引理2.6 若f：0，∞→0，∞連續，則算子A：K→K全連續且A（K）K.

證明 由引理2.4可知，A（K）K. 又因E為有限維空間，結合f的連續性易證A：K→K是全連續的.證畢.

3 主要結果的證明

（i） 因為f0=0，則對任意0<ε≤1∑T-1s=2g（s）可取R1>0，使得當0

Au（t）=∑T-1s=2G（t，s）f（u（s））≤

∑T-1s=2s（T-2）T+1-s（T-s）12fu（s）=

∑T-1s=2g（s）f（u（s））（8）

其中g（s）=（T-2）12s（T+1-s）（T-s）. 故

Au≤∑T-1s=2g（s）f（u（s））（9）

由引理2.4和（9）式可知Au（t）≥0，且對任意t∈T2有

Au（t）=∑T-1s=2G（t，s）f（u（s））≥

∑T-1s=2ρ（t）s（T-2）T+1-s（T-s）12fu（s）

=ρ（t）∑T-1s=2g（s）f（u（s））≥ρAu.

因此，mint∈T2 Au（t）≥ρAu. 另一方面，由（8）式可得

Au（t）≤∑T-1s=2g（s）f（u（s））≤εu∑T-1s=2g（s）≤

u≤R1.

因此 Au≤R1. 則A（Ω）Ω.由Arzelà-Ascoli定理可知A：Ω→Ω是全連續的. 令

ω=u∈Ω：u=λAu，0<λ<1（10）

對任意u∈ω，有u（t）=λAu（t）

（ii） 我們分兩種情況討論. 若f有界， 即存在N>0，使得f（u）≤N，u∈0，∞. 對任意u∈K，有Au∈K且A：Ω→Ω是全連續的. 由（8）式可得

Au（t）≤∑T-1s=2g（s）f（u（s））≤N∑T-1s=2g（s）.

因此Au≤N∑T-1s=2g（s）. 集合ω的定義同式（10）. 對任意u∈ω，有

u（t）=λAu（t）

因此u≤N∑T-1s=2g（s），即集合ω有界. 由引理21可知A在Ω中至少有一個不動點，故問題（1）（2）至少存在一個正解.

若f無界，則因f∞=0，對任意0<η≤1∑T-1s=2g（s）存在R2>0，使得當u>R2時有fu≤ηu. 由f連續性可知，存在α>0，使得當0≤u≤R2時有fu≤ηα. 記Ω=u∈K：u≤R，其中R=maxα，R2. 若u∈Ω，則fu≤ηR.由（8）式可得

Au（t）≤∑T-1s=2g（s）f（u（s））≤ηR∑T-1s=2g（s）≤R.

因此Au≤R. 集合ω的定義同式（10）. 對任意u∈ω，有u（t）=λAu（t）

4 結 論

我們通過研究問題（1）（2）的線性化問題（3）的格林函數，運用Leray-Schauder不動點定理證明問題至少存在一個正解，從而為差分方程邊值問題正解的存在性提供了一個新思路.

在從實際問題抽象出來的數學方程中，單個因素對系統平衡態的影響一般作為參數進行研究. 我們期望在以后的研究中考慮滿足邊界條件（2）的含參數的四階離散邊值問題正解的存在性，以及正解存在時的最優參數區間.

參考文獻：

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引用本文格式：

中 文：? 趙亞麗， 陳天蘭. 一類非線性四階離散邊值問題正解的存在性［J］. 四川大學學報：? 自然科學版， 2023， 60：? 031002.

英 文：? Zhao Y L， Chen T L. Existence of positive solutions for a class of fourth-order nonlinear discrete boundary value problems ［J］. J Sichuan Univ：? Nat Sci Ed， 2023， 60：? 031002.