混合約束多峰優化問題的一個協同共軛進退粒子群算法

陳相兵 陳晨 閔心暢

為解決混合（等式和不等式）約束的多峰優化問題（MOPs），本文在粒子群算法框架下提出了粒子優度比較準則和局部協同與共軛進退尋優兩種迭代進化策略. 優度比較準則在適應度和約束違反度的雙重限制下指導粒子高效地執行進化策略，局部協同策略可使粒子能通過局部抱團收斂到多個全局最優解，而共軛進退尋優策略則提升了尋優的速度和精度. 基于優度比較準則與兩種進化策略的有效結合，本文設計了一個協同共軛進退粒子群（CCARPSO）算法，以充分融合粒子群算法的全局搜索能力和共軛進退法的局部快速尋優能力. 數值仿真表明， 該算法能有效解決復雜約束MOPs和非線性方程組的多根問題，在廣義Logistic分布的參數估計中有全局優化能力和較高的計算精度.

多峰優化； 優度比較； 局部協同； 共軛方向； 進退法； 粒子群

O29A2023.011006

收稿日期： 2022-01-22

基金項目： 四川省科技計劃（2022JDRC0068， 2021JDRC0080）； 四川省教育廳項目（18ZB0363）； 中國民用航空飛行學院校級項目（J2021-058）

作者簡介： 陳相兵（1985-）， 男， 安徽樅陽人， 博士， 副教授， 主要研究方向為應用數學. E-mail： chenxb85@sina.com

通訊作者： 陳晨.E-mail：chenchen_uni@foxmail.com

A cooperative conjugate advance-retreat particle swarm optimization algorithm for hybrid constrained multimodal optimization problems

CHEN Xiang-Bing1， CHEN Chen2，? MIN Xin-Chang3

（1.Division of Mathematics， Sichuan University Jinjiang College， Meishan 620860， China; 2. College of Science， Civil Aviation Flight University of China， Guanghan 618307， China；3. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610044， China）

This paper aims at the multimodal optimization problems （MOPs） with equality and inequality constraints. A new algorithm is proposed following the particle swarm optimization idea. This algorithm consists of a superiority comparison criterion and two iterative evolutionary strategies. The superiority comparison criterion guides the particles on how to evolute according to the constructed constraint violation degree and the fitness （i.e.， the objective function value）. The local cooperation strategy ensures that all particles can converge to multiple global optimal solutions through local clustering. The conjugate advance-retreat optimization strategy improves the speed and precision of optimization. Our algorithm， named cooperative conjugate advance-retreat particle swarm optimization （CCARPSO） algorithm， integrates the global searching ability of PSO and the local fast optimization capability of conjugate advance-retreat method. In numerical simulations， the algorithm effectively solves MOPs with complex constraints and nonlinear equations with multiple solutions， and has high global optimization ability and calculation accuracy in estimating parameters of the generalized Logistic distribution.

Multimodal optimization; Superiority comparison; Local cooperation; Conjugate direction; Advance-retreat method; Particle swarm

1 引 言

隨著大數據時代的到來，實時數據的數量和種類急劇增加，海量數據出現在多個領域，例如醫療診斷［1］、市場決策［2］、路徑規劃［3］和光伏陣列［4］等. 隨之，多變量、多約束的多峰值優化問題［5］（MOPs：Multimodal Optimization Problems）時常出現而且亟待解決.

傳統的優化方法，例如牛頓法、共軛梯度法、單純形法以及分支定界法等，通常要求目標和約束函數可導，且容易陷入局部極值. 智能進化算法選擇則利用群體智慧，能夠并行處理超大規模優化問題. 智能進化算法包含差分進化（Differential Evolution， DE）［6］算法、粒子群優化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法和遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）［7］等. 在MOPs的優化算法中，智能進化算法是當前的熱點算法之一，如基于DE的小生境方法［8-9］. 為了降低參數的影響，一些新的進化算子融入了小生境策略［10-14］.基于DE的小生境方法已經成功地應用于無約束或帶簡單約束的MOPs. 然而，對于帶復雜約束（如非線性約束）的MOPs，相關的研究工作還極為少見，適用的智能進化算法有待研究.

PSO算法模擬了自然群體生命現象的自組織、自學習和自適應性，依據適應度和優勝劣汰法則迭代地搜索解空間的最優個體［15］. 它不僅不需要目標函數的梯度信息，而且具有操作簡單、可并行計算和模型參數少等優點，已在眾多領域發揮了重要作用，如基數約束的投資組合優化［16］和多元線性回歸參數估計［17］等.

針對帶混合（等式和不等式）約束的MOPs，本文設計了新的PSO算法，其中的粒子基于優度比較準則在局部協同和共軛進退尋優迭代兩種進化策略中選擇合適的進化策略，我們稱之為協同共軛進退PSO（Cooperative Conjugate Advance-Retreat PSO，CCARPSO）算法. 其中，優度比較準則在約束違反度和適應度（目標函數值）的雙重限制下指導粒子有效地迭代進化，協同策略則解決了一般PSO算法容易早熟和難以同時尋找多最優解的問題，共軛進退尋優策略則提升了尋優的速度和精度. 該算法充分融合了PSO的全局搜索能力和共軛進退法的局部快速尋優能力. 數值實驗表明，在求解帶混合約束的MOPs和多根的非線性方程組時本文提出的CCARPSO算法具有優良性能.

6 結 論

本文構建了帶混合約束的MPOs的CCARPSO算法. 該算法是一種基于優度比較準則來選擇迭代策略的粒子群算法. 共軛進退尋優策略保證粒子能朝著可行域方向快速進化，局部協同策略使所有粒子能通過局部抱團收斂到多個全局最優解. 數值仿真實驗表明，CCARPSO算法有效地解決了非線性約束MOP和多根非線性方程組的求解問題. 另外，基于碳素纖維硬度的實際數據，我們利用CCARPSO算法求解參數估計優化問題，給出了穩健、精確的碳素纖維硬度模型參數估計.

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