構建方程模型，提升數學素養

武玨 陳艷紅

摘要：本節課選自人教版初中一年級上冊第3章3.1從算式到方程第1小節的內容，它是方程系統中的起始節點，為其他代數方程的學習奠定基礎；本節課為后續學習解方程及列方程解決實際問題埋下鋪墊。

關鍵詞：方程? 大單元? 起始課? 教學情境

一、教學目標設置

一元一次方程是數學中最基本的代數方程，為后續學習其他方程、不等式和函數等都有非常重要的基礎性作用。

（一）單元整體目標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對本章節內容要求是能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程。掌握等式的基本性質；能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程。

（二）本課時目標

1.知識與技能

（1）初步學會如何從實際問題中尋找等量關系，列出方程；

（2）掌握方程、一元一次方程的概念。

2.過程與方法

（1）認識列方程解決問題的數學建模思想，用方程表示相等關系的符號化的方法。

（2）能結合具體例子認識一元一次方程的含義，體會設未知數列方程的過程，會用方程表示簡單實際問題的等量關系。

3.情感態度與價值觀

（1）體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，從算式到方程是數學的進步，培養數學建模和數學抽象素養。

（2）在望城雷鋒家鄉游學過程中體驗數學與日常生活密切相關，激發學習數學的熱情。

二、學生學情分析

學生在小學四年級學習了“用字母表示數”，在五年級學習了簡易方程的概念：含有未知數的等式叫做方程，在七年級學習數、字母表示數、代數式和一元一次方程。

三、教學重難點

（一）教學重點：初步學會如何從實際問題中尋找等量關系，列出方程；掌握一元一次方程的定義。

（二）教學難點：初步學會如何從實際問題中尋找等量關系，列出方程。

四、教學過程

秋游研學活動開始了，教師設計了兩套從柏樂園到銅官窯古鎮的出游方案。（播放視頻）

（一）聯系溝通，溫故知新

方案一（情境一）

有從柏樂園到銅官窯古鎮的大巴車，從柏樂園出發勻速行駛半個小時后到達銅官窯古鎮，車的速度是x km/h，從柏樂園到銅官窯古鎮的路程為多少呢？

教師：小學時學過速度×時間=路程，可以得出路程為[12x]；若路程為24km，可以列出等式：[12x]=24。

在坐大巴車時，老師準備購買景區門票，50名學生購買學生票票價為x元一張，2名教師購買的成人票票價為y元一張，共花費2000元。

教師：根據單價×數量=總價，可以得出等式。

教師總結，方程既有未知數，又含有等量關系。這三個式子就是用等量關系構建的方程。

【設計意圖】題目具體考查學生已有的符號表征能力，易凸顯數學抽象及建模的技能；從學生的舊認知出發，貼合他們的認知思維，利于形成知識體系。

（二）創設情境，融合方法

方案二（情境二）

部分學生騎自行車從柏樂園出發，3班學生騎行了全程的，又騎行了全程的到達長沙銅官窯博物館時，然后和5班學生共同騎行4千米到達銅官窯古鎮，如何求柏樂園到銅官窯古鎮的距離呢？

解：設柏樂園到銅官窯的路程為x千米。

[13x]+[12x]+4=x

（三）凝練方法，完成目標一

（情境三）到達目的地后，50個孩子一起在銅官窯古鎮劃船，共用船只20條，若每條大船可以坐4人，每條小船可以坐2人，那么要租多少條大船呢？

解：設需要x條大船，則需要（20-x）條小船

4x+2×（20-x）=50。

教師：這是基于什么樣的等量關系呢？

學生：小船數+大船數=20，坐大船人數+坐小船人數=50

老師：是不是還有不一樣的答案？

學生：x+y=20、4x+2y=50。

教師：這是基于什么等量關系列出的方程？

老師：大船條數+小船條數=20條，坐大船人數+坐小船人數=50。

（四）體驗感悟，完成目標三

師生共同總結方程方法和算數算式的優點。算術算式法：有時算式不好列，是逆向思維。方程方法：只要將未知量通過設未知數，找等量關系順向就可以列出式子，未知數可以像已知量一樣參與運算。

（五）定義新知，鞏固強化，完成目標二

只含有一個未知數，未知數的次數是1，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。

老師：“元”和“次”指的是什么呢？

學生：“元”是未知數，“次”是次數。

老師：在我國古代，中國數學家用天元、地元、人元來表示不同的未知數。

學生：用“元”表示未知數，源于我國宋元時期的天元術。所謂天元術，就是古代用代數法解決問題時，第一步先“立天元一為某某”，這就相當于現在的“設某某為未知數”。后來，在天元術的基礎上又出現了“四元術”，即用天元、地元、人元、物元（即現在的x、y、z等小寫字母）來表示未知數。

【設計意圖】讓學生了解古時候的未知數的歷史，學生會將生活中不同的概念設為未知數，還將會學習一元二次方程和二元一次方程等方程的概念，為后續學習做準備。

（六）歸納總結，延續發展

老師：經過我們的探究，我們有什么收獲呢？怎么將實際問題轉化為方程問題？

學生：通過找等量關系、設未知數、列方程的方法，將實際問題轉化為方程問題，這里有數學建模的思想。

【設計意圖】將建立一元一次方程放在整個大教學中，能夠延續發展，站在整個知識體系和邏輯體系的角度把握知識的來龍去脈，厘清單元的整體教學目標與起始課教學目標之間的關聯，讓學生初步去探尋。