探索轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

【摘要】轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)考試中具有舉足輕重的作用.在高中三年學(xué)習(xí)過程中有計(jì)劃、有目標(biāo)地滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，有利于提升學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).文章重點(diǎn)論述了轉(zhuǎn)化與化歸思想在高三數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的落實(shí)，在高考解題中的運(yùn)用，以及以統(tǒng)一為目的和方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化的戰(zhàn)略.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化；化歸思想；高中數(shù)學(xué)教學(xué)

引 言

大多數(shù)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)工作中更加注重對(duì)學(xué)生知識(shí)的傳遞，在課程教學(xué)過程中，為了盡量保證學(xué)生形成正確的知識(shí)架構(gòu)，通常會(huì)采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo).但也因此導(dǎo)致很多教師缺乏對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)注，在教學(xué)過程中缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與意識(shí)的培養(yǎng)，從而影響了學(xué)生整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的提升.而把轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)用到課堂上，不但可以改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，還可以在教學(xué)過程中，培養(yǎng)并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考，在此過程中針對(duì)自己的疑問提出問題，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，以及問題的解決能力.

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想概述

轉(zhuǎn)化與化歸思想，是指在解決問題時(shí)，采用某種手段將復(fù)雜或不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)變?yōu)橐子谔幚淼男问?，進(jìn)而使問題得以解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)思維的一種重要手段，也是解決問題的一種基本方法.

在高中必修課和選修課中，這種思想主要存在以下主題當(dāng)中，包括集合與命題、充分條件、必要條件之間的聯(lián)系；等與不等的聯(lián)系；函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系；冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和屬性的聯(lián)系；幾何和代數(shù)、概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的聯(lián)系；數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)研究的聯(lián)系.這些主題均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)內(nèi)容間的統(tǒng)一性，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和表達(dá)方式是多種多樣的，在解決問題時(shí)，要注意這些主題內(nèi)容的內(nèi)部聯(lián)系，在這些聯(lián)系中觀察統(tǒng)一，將多個(gè)問題統(tǒng)一成一個(gè)單元問題，統(tǒng)一成單一形式，使條件和條件、條件和結(jié)論的關(guān)系更加密切，這樣可以降低難度，從而提升解題的效率.

二、將轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在的問題

（一）應(yīng)用意識(shí)比較薄弱

轉(zhuǎn)化與化歸思想主要通過分析、觀察、類比、聯(lián)想等將未知問題和難以解決的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、自己所知的問題范疇，并加以解決.然而，很多學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，考慮不到將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，導(dǎo)致學(xué)生的解題效率受到了限制，答案的準(zhǔn)確率也大大下降.

（二）轉(zhuǎn)化與化歸類型把握不準(zhǔn)

轉(zhuǎn)化與化歸思想可以分為從抽象到具體，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從一般到具體，從實(shí)際到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等類型.然而，通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生在遇到新的概念和抽象的函數(shù)問題時(shí)，不能將函數(shù)的概念轉(zhuǎn)換成特定的函數(shù)知識(shí)；當(dāng)題干中的條件較多時(shí)，也很難將其分解成若干個(gè)小問題；討論復(fù)雜問題時(shí)，不能用特殊值、特殊點(diǎn)等來(lái)考慮問題；在數(shù)學(xué)應(yīng)用中，學(xué)生難以將其具體應(yīng)用到實(shí)際問題中，不能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí).

（三）不能熟練掌握轉(zhuǎn)化與化歸的方法

在利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題時(shí)，可以結(jié)合換元法、數(shù)形轉(zhuǎn)換法、等價(jià)轉(zhuǎn)換法、補(bǔ)集轉(zhuǎn)換法等方法.對(duì)于某些難以解決的問題，我們可以從反面來(lái)考慮和回答.若數(shù)學(xué)問題中有“不小于”“最少”“最多”等關(guān)鍵字，不能從反面回答時(shí)，可以通過轉(zhuǎn)換法思考.利用數(shù)形轉(zhuǎn)換的方法，還可以解決三角函數(shù)的一般函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題.但在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，目前高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在著轉(zhuǎn)化與化歸思想掌握不熟練的問題，導(dǎo)致他們?cè)诮鉀Q問題時(shí)往往不知道該用哪一種方法或者誤用方法最終影響解題效率

三、一般的轉(zhuǎn)化與化歸思想

（一）正反相互轉(zhuǎn)化

正反之間的轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最普遍的思維方式.把它用于數(shù)學(xué)教學(xué)，可以降低問題的難度，使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單，特別是在某些概率問題中，往往包含了許多可能，學(xué)生若一一進(jìn)行運(yùn)算，將會(huì)大大增加計(jì)算量，浪費(fèi)學(xué)習(xí)時(shí)間.同時(shí)，學(xué)生在運(yùn)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)疏漏現(xiàn)象，導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題的準(zhǔn)確率和效率大大降低.針對(duì)這一現(xiàn)象，高中數(shù)學(xué)教師需要運(yùn)用正反轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，正確引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考方式與思路，盡快尋找解決問題的突破口.

（二）特殊到一般的轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由特殊向一般的轉(zhuǎn)變是普遍的觀念.在數(shù)學(xué)問題中存在特殊的數(shù)量和特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)，要把它擴(kuò)展成一類的情況，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題由特殊到一般的轉(zhuǎn)化.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些問題是簡(jiǎn)單和普遍的，有些問題是困難和特殊的.因此，要想更好地解決數(shù)學(xué)問題，就必須把特殊問題轉(zhuǎn)變成普通問題.教師在引導(dǎo)學(xué)生使用這種轉(zhuǎn)換思維的時(shí)候，要讓學(xué)生先明確轉(zhuǎn)換的對(duì)象是什么，再根據(jù)目標(biāo)、特殊元素、一般元素轉(zhuǎn)化成新的普通的數(shù)學(xué)問題，最后根據(jù)轉(zhuǎn)化對(duì)象和特殊元素之間的聯(lián)系，將它們轉(zhuǎn)化為新的問題.

（三）相等和不等的轉(zhuǎn)化

傳統(tǒng)的教育思想認(rèn)為，相等與不等是沒有聯(lián)系的，它們不能互相轉(zhuǎn)換.但在數(shù)學(xué)上，許多看起來(lái)不對(duì)等的問題可以通過轉(zhuǎn)化與化歸思想來(lái)解決.具體地說(shuō)，某些數(shù)學(xué)問題看似只是數(shù)量上的等量關(guān)系，但是學(xué)生卻很難通過數(shù)量上的對(duì)等關(guān)系來(lái)求解.此時(shí)教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生從問題中挖掘出不等式，然后利用不等式中的不等式關(guān)系，在給定的條件下，找出問題的突破口.

（四）陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化

隨著年級(jí)增長(zhǎng)及數(shù)學(xué)知識(shí)的逐日積累，數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，所學(xué)的內(nèi)容也越來(lái)越全面，學(xué)生面臨數(shù)學(xué)問題時(shí)總會(huì)遇到一些復(fù)雜的、難度較高的、綜合性的問題.大部分學(xué)生在遇到這種問題時(shí)，不知道該如何應(yīng)對(duì)，會(huì)有一種畏懼的心理，從而導(dǎo)致喪失學(xué)習(xí)信心.這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將一些不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的容易理解的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在問題中尋找關(guān)鍵因素，找到解決問題的突破口，易于學(xué)生解答.

（五）數(shù)形轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)問題的解題思路和過程往往很復(fù)雜，學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到難以理解和解答的問題.在這種情況下，如果高中數(shù)學(xué)教師能夠?qū)?shù)形與思維相結(jié)合，比如可以運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來(lái)分析圖形的特性，在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，利用圖形將函數(shù)與方程之間的變量關(guān)系直觀表現(xiàn)出來(lái)，通過與圖像結(jié)合的方式來(lái)表達(dá)問題.

（六）動(dòng)靜轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想中，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).顧名思義，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換就是將動(dòng)態(tài)、發(fā)展的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為靜態(tài)、不變的數(shù)學(xué)問題，反過來(lái)同理.在高中眾多的數(shù)學(xué)問題中，最能夠體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的就是函數(shù).函數(shù)問題在本質(zhì)上、邏輯上都能充分地反映出事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并且函數(shù)與幾何、向量知識(shí)也有關(guān)聯(lián).對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)題，只要利用動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思維，就能準(zhǔn)確地把握問題的關(guān)鍵，從而解決問題.

四、高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想的培養(yǎng)原則

轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的思想，它不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式，也不是特殊的數(shù)學(xué)問題，而是包含在知識(shí)系統(tǒng)中.加強(qiáng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須堅(jiān)持以下四條基本原則.

（一）將隱性化為顯性

轉(zhuǎn)化與化歸思想與數(shù)學(xué)知識(shí)相輔相成.但在實(shí)際教學(xué)中，教師卻沒有引導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致學(xué)生面在對(duì)復(fù)雜、有難度的問題時(shí)，不能從容應(yīng)對(duì)，影響數(shù)學(xué)教學(xué)效率.所以，教師在具體的教學(xué)中，要遵循“顯化”的原則，把“轉(zhuǎn)化”和“化歸”的思想發(fā)揮到極致.

（二）加強(qiáng)系統(tǒng)教學(xué)

數(shù)學(xué)和化歸是一個(gè)有機(jī)的整體，只有把這兩種理論有機(jī)地結(jié)合在一起，才能把轉(zhuǎn)化與化歸思想更好地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，幫助學(xué)生在解決問題時(shí)正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思維.

（三）提升學(xué)生參與性

高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，要清楚地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生是課堂的主體.教師要指導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生在解題的過程中認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化與化歸思想是什么，以及如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，從而正確運(yùn)用該思想解答問題，進(jìn)而提升學(xué)生的參與性.

（四）螺旋上升性

教師在培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與歸化思想時(shí)，要采用螺旋上升的教學(xué)方式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，切忌操之過急.

五、運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的注意事項(xiàng)

（一）注意化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性

化歸是一種思維方法，包含三個(gè)方面：化歸的對(duì)象、化歸的目的、化歸的方法和途徑.而化歸的目的是最重要的.在解決問題時(shí)，我們一定要牢牢抓住問題，提高解題的思路，選擇有效的解題方式，避免盲目地去做題，讓自己陷入絕境.

（二）注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證邏輯正確

高中數(shù)學(xué)的化歸多是等價(jià)化歸.等價(jià)化歸的前提是轉(zhuǎn)化時(shí)的因果關(guān)系足夠和必要，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果與原來(lái)的問題一致.

（三）注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設(shè)計(jì)合理轉(zhuǎn)化方案

在轉(zhuǎn)化中，為了實(shí)現(xiàn)相同的轉(zhuǎn)化目的，可以采用不同的方式.所以，有必要研究設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的化歸方式，避免一切問題都照搬照抄，使之變得復(fù)雜.

六、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想培養(yǎng)策略

（一）分析教材，了解教材中蘊(yùn)含的化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷探索中積累起來(lái)的重要的數(shù)學(xué)思想.轉(zhuǎn)化與化歸思想是教材的靈魂，決定了它的整體.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行深入分析和探究，深挖其中所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

（二）創(chuàng)設(shè)課堂提問，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)

高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中靈活利用課堂上的問題，引導(dǎo)學(xué)生積極地構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，并逐步形成轉(zhuǎn)化與化歸思想.從問題的角度來(lái)看，教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法融入數(shù)學(xué)問題中去，讓學(xué)生在解決問題的過程中進(jìn)行思考、分析.

（三）一題多解訓(xùn)練，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化與化歸思想

由于學(xué)生存在個(gè)性差異，他們的思考模式也有很大差異.具有“異”思維的學(xué)生，由于思維開闊、視野開闊，往往傾向于把自己所學(xué)的知識(shí)與所要解決的問題結(jié)合起來(lái)具有求同思維的學(xué)生往往因其視野有限而被限制在某個(gè)問題的某一面，解決問題的思路往往會(huì)被限制在極小的范圍.因此，高中數(shù)學(xué)教師在強(qiáng)化其轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，還可以采用一題多解的方法，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面進(jìn)行思考、分析，最后將所學(xué)到的知識(shí)融為一體.同時(shí)，在此過程中，學(xué)生的轉(zhuǎn)化與歸化思維和能力也得到了加強(qiáng).

（四）建立新舊知識(shí)體系，搭建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

學(xué)習(xí)就是把新的知識(shí)和舊的知識(shí)結(jié)合在一起，把新的知識(shí)融入現(xiàn)有的知識(shí)中.也就是說(shuō)，在學(xué)習(xí)新的知識(shí)之前，要先激活大腦中已經(jīng)存在的知識(shí)，然后擴(kuò)展原來(lái)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，在加強(qiáng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想的過程中，教師必須結(jié)合數(shù)學(xué)的特性，把新舊知識(shí)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成一個(gè)完整的、系統(tǒng)化的知識(shí)系統(tǒng).只有這樣，學(xué)生才能在一個(gè)完整的知識(shí)體系中完成知識(shí)的轉(zhuǎn)化，從而拓寬其解題思路，提高其解題能力.

（五）提升學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的認(rèn)知

教師通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解還不夠透徹，故無(wú)法將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到他們的日常生活中去.因此，高中數(shù)學(xué)教師要把其作為一種數(shù)學(xué)思維，融入數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能的教學(xué)中，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解.為了達(dá)到這個(gè)目的，在日常教學(xué)中，教師可以通過一些數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行提示，并對(duì)問題進(jìn)行深入的分析，使學(xué)生能夠清楚地認(rèn)識(shí)到問題的關(guān)鍵，進(jìn)而提升對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的認(rèn)識(shí).

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，在新課程背景下，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，已成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者所關(guān)心的問題.針對(duì)當(dāng)前高中生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想認(rèn)識(shí)不足的問題，教師要運(yùn)用相應(yīng)的教學(xué)方法，不斷提高學(xué)生對(duì)該概念的認(rèn)識(shí)，以適應(yīng)新課標(biāo)的要求.

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