利用折紙活動提高初中生幾何思維水平的教學策略

摘 要：新課標理念要求每位學生通過觀察、實驗、操作、思考獲得相應的數(shù)學猜想，體驗數(shù)學活動，得出數(shù)學結(jié)論，而折紙活動正是培養(yǎng)學生動手操作能力和自主探究能力，提高學生幾何思維水平的一種重要數(shù)學活動.因此，折紙活動一直備受數(shù)學教師和中考命題者的青睞.折紙后會出現(xiàn)許多精彩的問題，在解決這些問題的過程中讓學生經(jīng)歷如何將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，經(jīng)歷從猜想、再到求解驗證的數(shù)學學習過程，培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的綜合應用的能力，提高學生的幾何思維水平.

關(guān)鍵詞：折紙活動；幾何思維水平；教學策略

中圖分類號：G632" "文獻標識碼：A" "文章編號：1008-0333（2023）11-0029-03

收稿日期：2023-01-15

作者簡介：余興梅（1975.1-），女，江蘇省新沂人，本科，中學高級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

基金項目：本論文為江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題研究成果（課題編號D/2020/02/301）

折紙活動一直備受數(shù)學教師和中考命題者的青睞.筆者結(jié)合自己的教學實踐，談談利用折紙活動提高初中生幾何思維水平的一些感受.

1 折紙活動在初中幾何教學中的優(yōu)勢

數(shù)學學習的過程是一個合作探究交流、不斷生成的過程.在師生互動、生生互動這樣一個有趣的互動合作的過程中學習，學生在做中學，在操作中學，在交流中學，不但可以培養(yǎng)學生的動手操作能力，還能培養(yǎng)學生的合作學習能力以及語言表述能力.特別是在折紙活動中，讓每位學生都積極地參與，真正通過自我參與、動手操作來感受獲取新知的成就感，進一步提升在探究新知過程中對幾何思維能力的培養(yǎng)，形成教學模型以夯實教學而提升學生的數(shù)學素養(yǎng)[1].

初中數(shù)學學習中的折紙不僅僅是一種單純的手工制作，更重要的是借助折紙培養(yǎng)學生幾何思維的一個創(chuàng)新活動.在學生獨立動手操作與小組合作互動學習活動中有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，開拓學生創(chuàng)新的綜合思維能力.在折紙后會出現(xiàn)許多精彩的問題，在解決這些問題的過程中讓學生經(jīng)歷如何將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，經(jīng)歷從猜想、再到求解驗證的數(shù)學學習過程，培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的綜合應用的能力，提高學生的幾何思維水平.

2 折紙活動在初中幾何教學中的有效策略

2.1 借助折紙活動得到幾何概念，幫助學生理解概念

如圖1，在《等腰三角形》的教學過程中，我們采用如下的折紙過程：讓學生拿出一張長方形紙片，按照如圖的要求進行折紙，然后用剪刀裁去下面的一部分，再把裁剪后的直角三角形展開．所得到的三角形是什么形狀的三角形呢？

通過紙片的折剪的過程，學生很容易得到△ABC是等腰三角形——此時學生對于等腰三角形的概念——有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，理解得就非常透徹，從而對等腰三角形的判定也有了初步方法.

2.2 借助折紙活動探究幾何定理，幫助學生理清思路

如圖2，在探究《等腰三角形的性質(zhì)》的教學過程中，我們采用如下的“折紙”過程：

將等腰△ABC對折，請大家思考：

題1 等腰△ABC是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

通過剛才的折紙，你能用文字語言將你們的發(fā)現(xiàn)概括出來嗎（小組交流派代表發(fā)言）？

最后教師引導學生進行歸納總結(jié)：（1）等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸；（2）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）；（3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合（簡寫成“三線合一”）.

剛才通過折紙我們只是停留在幾何直觀和操作層面，數(shù)學學習更要重視結(jié)論的準確性的證明，借助于剛才的折紙?zhí)峁┑乃悸罚隳茏C明等腰三角形的兩個底角相等嗎？

題2 已知：如圖3，△ABC中，AB=AC .求證：∠B=∠C

解法一 作頂角的平分線AD（利用SAS證明△ABD≌△ACD）除了可以得到∠B=∠C，從而說明“等邊對等角”，同時也可以得到BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，從而說明“三線合一”.

解法二 作底邊的中線AD（利用SSS證明△ABD≌△ACD），除了可以得到∠B=∠C從而說明“等邊對等角”，同時也可以得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°即AD⊥BC，從而說明“三線合一”.

解法三 作底邊的高線AD（利用HL證明△ABD≌△ACD），除了可以得到∠B=∠C，從而說明“等邊對等角”，同時也可以得到∠BAD=∠CAD、BD=CD，從而說明“三線合一”.

如果沒有上面的折紙過程，學生很難想到本題中輔助線的添加，但是通過上面折紙給學生提供了本題的解題思路——學生很容易想到添加輔助線，將要證明的兩個角等轉(zhuǎn)化在兩個三角形中，借助于三角形全等來解決問題，在證明結(jié)論（2）的同時也將結(jié)論（3）證明出來，這就培養(yǎng)了學生通過動手操作和轉(zhuǎn)化的能力，采用一題多證的方法解決問題，更好地提高了學生的幾何思維水平.

2.3 借助折紙活動進行探究，啟迪學生發(fā)散思維.

問題：請同學們拿出一張三角形的紙片，你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎？談談你的折法.

學生1：如圖4，折疊紙片使得點B與點C重合，得折痕MN交邊AB與點D，連接CD，則△BCD就是等腰三角形.理由是折痕MN是邊BC的垂直平分線，所BD=CD，所以△BCD是等腰三角形.

學生2：如圖5，折疊紙片使得邊AC與BC重合，得折痕CD交邊AB與點D，再過點D畫DE∥BC交邊AC與點E，則△DCE就是等腰三角形.理由是因為折疊紙片使得邊AC與BC重合，得折痕CD，則∠BCD=∠ACD，又因為DE∥BC，所以∠BCD=∠EDC，從而得∠ACD=∠EDC，所以DE=CE，所以△DCE是等腰三角形.

變式（1）：請同學們拿出一張平行四邊形的紙片，你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎？談談你的折法.

學生3：如圖6，折疊紙片使得邊AD與CD重合，得折痕DE交邊BC與點E，則△DCE就是等腰三角形.理由是因為折疊紙片使得邊AD與CD重合，得折痕CD，則∠ADE=∠CDE，又因為AD∥BC，所以∠ADE=∠DEC，從而得∠CDE=∠DEC，所以DC=CE，所以△DCE是等腰三角形.

變式（2）：請同學們拿出一張長方形的紙片，你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎？

談談你的折法.

學生4：如圖7，沿對角線BD折疊紙片，點A落在點E處，

則重疊部分△DBF就是等腰三角形.

理由是：因為折疊紙片△ADB與△EDB重合，則∠ADB=∠EDB，又因為AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC，從而得∠EDB=∠DBC，所以DF=BF，所以△DBF是等腰三角形.

變式（3）：請同學們拿出一張長方形的紙片，你能通過折紙得到一個等邊三角形嗎？談談你的折法.

學生5：如圖8對折紙片得折痕EF，再折疊紙片使得點A落在折痕EF上點N處，則△ABN就是等邊三角形.理由是因為對折紙片得折痕EF，則EF是邊AB的垂直平分線，所以AN=BN，又因為折疊紙片使得點A落在折痕EF上點N處，所以AB=BN，從而得AN=BN=AB，所以△ABN是等邊三角形.

變式（4）：請同學們拿出一張長方形的紙片，你能通過折紙得到一個菱形嗎？談談你的折法.

學生6：如圖9折疊紙片使得點B與點D重合得折痕MN，分別交邊AD與BC于點M、N，連接BM和DN，則四邊形BMDN就是菱形.理由是因為折疊紙片使得點B與點D重合得折痕MN，則MN是BD的垂直平分線，所以MN⊥BD，OB=OD，又因為AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC，且∠DOM=∠BON，所以△DOM≌△BON，可得OM=ON，所以四邊形BMDN就是菱形.

通過本題的折紙活動，多次變換紙片的形狀同時也變換所得到的幾何圖形的形狀，在變換的過程中，感受基本圖形的構(gòu)成，逐漸提煉出數(shù)學的本質(zhì)，積累數(shù)學活動過程中的經(jīng)驗，提升了學生的幾何探究能力和發(fā)散創(chuàng)新思維能力.

3 折紙活動教學中幾點建議

3.1 利用幾何畫板輔助教學

利用幾何畫板教學時，可以將幾何圖形的折疊過程清晰地演示出來，讓學生更直觀地觀察到變化過程，深入地理解變化過程中哪些量在變化，哪些量不變化，充分理解折疊前后的變化過程，從單純的抽象直觀的概念思維逐漸轉(zhuǎn)化成更具體更加形象豐富的幾何思維.

3.2 加強小組合作交流探究

在平時的課堂教學中，有很多老師不太注重學生動手操作能力的培養(yǎng)，習慣于“滿堂灌”，更不會組織學生進行小組合作交流探究，讓學生充分感受數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程以及思維的培養(yǎng).所以在平時的教學中，我們要選取和折紙相關(guān)的教學內(nèi)容，提倡學生在實踐中先學會動手折紙操作，交流實踐經(jīng)驗，總結(jié)實踐方法，以點帶面，讓折紙真正成為初中幾何實踐教學的一項重要活動.

參考文獻：

［1］ 楊虎.緊扣課標提素養(yǎng) 探究變式建模型：由一道填空壓軸題引發(fā)的思考[J].河北理科教學研究，2021（03）：39-41，59.

[2] 張安軍.動手“做”數(shù)學，活動“啟”思維：以“折紙做30°角”教學設計為例[J].數(shù)學教學研究，2022，41（06）：28-31，36.

[3] 錢建兵.把握圖形概念特點，發(fā)展幾何思維：“第二學段多邊形認識”教材比較及教學啟示[J].中小學教師培訓，2021（12）：59-63.

［責任編輯：李 璟］