中華優秀傳統文化融入高中數學課堂的實踐探究

【摘 要】新課標要求全面落實立德樹人根本任務，深入挖掘數學學科的育人價值，發展學生的數學核心素養。將中華優秀傳統文化融入課堂教學是落實新課標要求的重要途徑之一。中國古代數學家在勾股定理、圓周率計算、數列求和等方面做出了很多有價值的探索，教師在教學時可帶領學生從數學家的視角出發，幫助學生在掌握基礎知識和方法，體會數學思想，積累數學探究經驗的同時，了解中華優秀傳統文化，培養文化自信。

【關鍵詞】高中數學；等差數列求和；中華優秀傳統文化；核心素養

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2023）50-0049-04

【作者簡介】1.陳影，江蘇省無錫市市北高級中學（江蘇無錫，214046）教師，一級教師；2.李樹民，江蘇省無錫市市北高級中學（江蘇無錫，214046）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師，國家“萬人計劃”教學名師。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）在“實施建議”中強調“情境的創設和問題設計要有利于發展學生的數學核心素養”。這就要求創設的情境要合乎實際情況或者符合數學發展規律。只有合適的情境才能啟發學生思考，幫助學生發現問題、提出問題，并分析解決，引導學生在學習數學知識的過程中提升數學素養。

許多數學問題源于生活實際，有著悠久歷史的中華傳統文化記錄了古人遇到的許多問題及解決方法。而這些中華傳統數學文化中蘊含豐富的教學情境，充分體現了數學的應用價值，自然會激發學生探究數學問題的熱情。

一、充分挖掘教材，以“情”動人

人教A版高中數學教材在編排上充分體現了中華優秀傳統文化的這一作用。教材中“閱讀與思考”“數學探究”“探究”及“復習參考題”這些板塊中都涉及許多中華優秀傳統數學文化內容，例如重要的數學人物和知識發展的歷史進程。學生可以通過這些板塊了解中國古代數學的偉大成就，也為學習探究提供了出發點和研究思路。（見下頁表1）

同時，仔細研究教材，筆者發現教材中的中華優秀傳統數學文化內容比較簡略，應用到實際教學中還需要教師進行資料的搜集、篩選，將相應的知識鏈補充完整，適當地調整教學內容，設置探究問題，創設適合學生進行探究性學習的教學情境。

二、多角度整合教材，創“境”育人

下面筆者借助中華優秀傳統文化，創設三個探究情境，在三個情境下設置探究問題及相應問題下的教師活動和學生任務，從數學思想方法的學習、數學思維的培養、數學探究經驗的積累及數學素養的提升等角度來闡述相應問題的設計意圖，以此來進行教學實踐案例的展示。

1.劉徽眼中的等差數列

劉徽是我國魏晉時期的數學家，他在為《九章算術》所作的注文中給出了等差數列的求和公式。《九章算術》“盈不足”章的第19問是如下的一個等差數列問題。

今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問：幾何日相逢及各行幾何？

問題1：如何求良馬和駑馬所走的路程？

【設計意圖】從這樣的一個中華優秀傳統文化的背景中，學生可以抽象出良馬和駑馬所行路程分別代表兩個等差數列，學生很自然地經歷了發現問題、提出問題的過程。

教師先向學生介紹劉徽的解決辦法。劉徽用“平行數±中平里”來計算良馬和駑馬15日所行里數。以良馬為例，“平行數”是“以良馬初日所行里數乘十五日”得到，“中平里”的計算公式是[（1+14）×142×]13，這樣良馬15日所行里數和為S = 193×15 + （1 + 14） [×] [142 ×] 13。

展示劉徽的解決方法，一方面是為了將等差數列求和這樣一個一般性的問題轉化為一個特殊的等差數列：[1+2+3+…+14]，降低問題的探究難度；另一方面是為了落實基本研究方法的教學。列舉法是學習數列的基本方法，在研究一個數列問題時，可以從最基礎的列舉來入手。

問題2：[1+2+3+…+1]00 = ？

【設計意圖】在學生了解了劉徽解決問題過程的基礎上，筆者將良馬的路程求和問題繼續特殊化，抽象得到問題2，旨在培養學生數學抽象、邏輯推理等素養。

高斯求和的辦法是學生所熟知的，大多數學生都用該法來解決問題2。

問題3：[1+2+3+…+] n = ？

【設計意圖】問題3順勢而為，由特殊到一般，將求和問題由100項推廣到n項。學生在自主探究中會發現，高斯求和法需要對n的奇偶性進行分類討論。分類討論數學思想的滲透為倒序相加法的探究作鋪墊。

一部分學生可能會繼續順著高斯求和的思路來解決，但遇到了困難：n的奇偶性未知，從而首尾配對時不能明確有多少組（n + 1）。

問題4：是否有方法能避免分類討論？

【設計意圖】通過這個問題，教師先從結構形式上對學生進行引導，學生通過實際操作直觀感受到倒序相加法可以避免n奇偶性的討論，體會倒序相加的本質，提升數學運算素養，為后面一般等差數列的求和做準備。

教師先將[Sn] = 1 + 2 + 3 + … + （n-2） + （n-1） + n中各項倒序書寫，即將第一項“1”作為最后一項，“2”作為倒數第二項。在首尾配對求和中，第一項與最后一項的和等于第二項與倒數第二項的和，這個過程可以如下表示：

[Sn= 1 +" "2 + 3" "+…+（n-2）+（n-1）+ n

Sn= n +（n-1）+（n-2）+…+" "3" "+" "2" "+ 1] [n個（n + 1）]

上面每個矩形內兩個數的和相等，共得到n個（n + 1）。接下來由學生自主探究，將上述兩式相加，得2[Sn] = n（n + 1），即[Sn] = [n（n + 1）2]。

問題5：對于一般的等差數列，該如何求和？

【設計意圖】由1，2，3，4，…，n這個特殊的等差數列再次推廣到一般的等差數列，有了之前的基礎，這個推導過程可以由學生獨立完成。倒序相加法是高斯求和法的升級版，體現了數學的和諧對稱美。倒序相加法所體現的截長補短的思想更是數學智慧和人文思想的結晶。

學生仿照問題4的思路，自主推導等差數列求和公式，過程如下：

[Sn= a1 +" a2" +" a3 + … + an-2 + an-1 + an

Sn= an + an-1 + an-2 + … +" a3" +" a2 + a1] [n個（a1+an）]

[2Sn=n（a1+an）]，

[Sn=n（a1+an）2=na1]+ [n（n-1）d2]。

2.楊輝垛積中的三角垛

南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中提出了三角垛，即頂層放1個物體，第二層放3個物體，第三層放6個物體……第n層放[n（n+1）2]個物體堆成的堆垛，類似三棱錐的形狀，得到數列：1，3，6，10，15，…。三角垛的第n層中放的物體數是[n（n+1）2]。

問題6：該如何求三角垛中物體的總和？

【設計意圖】數列的通項是一個關于n的表達式，是將1，2，3，4，…，n這個等差數列的[Sn]作為新數列的通項[an]。三角垛的求和將等差數列求和問題上升到二階等差數列求和，將數列求和問題更一般化，將探究內容上升到新的高度，能夠加深學生對通項公式概念的理解。

3.從楊輝三角再看等差數列

“楊輝三角”出自《釋鎖》算書，釋鎖和開方有關，楊輝三角原名“開方作法本源圖”，也有人稱它為“乘方求廉圖”，在我國古代用來作為開方的工具。（見圖1）

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼微信圖片_20231221134337.tifgt;

（圖1）

教師先和學生共同觀察歸納得出楊輝三角的一個重要性質：三角形的兩個腰都是由數字1組成的，其余的數都等于它肩上的兩個數相加，例如，10 = 6 + 4，保留左面數不變，右面的4還可以繼續寫成它肩上兩個數的和，即10 = 6 + 3 + 1。

因為組合數的計算在選擇性必修3中，學生還不知道如何計算，在這里教師可以進行補充C[mn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）m！]，則發現的性質可以表示為C[rr] + C[rr+1] + C[rr+2] + … + C[rk-1] = C[r+1k]。

問題7：如何利用楊輝三角求等差數列1，2，3，4，…，n的和？

學生觀察發現如圖2中箭頭上方所示的一列數恰好是等差數列[1+2+3+···+] n = C[2n+1] = [n（n+1）2]。

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼52頁.pnggt;

（圖2）

師：在學習了楊輝三角之后，回過頭看，問題6如何解決？

基于問題7的活動經驗，學生能夠觀察發現，三角垛中的數列也是楊輝三角中的一列數，利用楊輝三角性質，可得1 + 3 + 6 + 10 + […] + [n（n+1）2] = [16n（n+1）（n+2）]。

利用中華優秀傳統文化創設教學情境，既可以一“境”到底，也可以多“境”并用。上述教學借用劉徽所研究的良馬和駑馬所走路程的問題情境，一“境”到底，引導學生探究得出等差數列求和公式。一“境”到底的探究過程讓學生明確自己的學習內容，激發求知欲，體會到數學學習的實用性。

多“境”并用，本文從古代數學家楊輝研究的兩個不同問題情境進行教學，從代數、幾何角度來認識數列，并進行數列求和。多境并用能讓學生在不同的情境下感受數學知識的多重含義，體會數學之美，將看似孤立的知識點聯系起來，幫助學生體會數學內容之間的內在邏輯關聯，建構知識網絡，提升數學素養。

中華優秀傳統數學文化中承載著中華民族的思想和文化，高中數學教師應充分利用這個寶貴的教學資源，幫助學生逐步認識到數學的科學價值、民族文化的價值，培養文化自信。而這些都需要一線教師在教學中不斷探索、實踐、積累，才能慢慢實現。

【參考文獻】

［1］郭英秀.數學史融入高中數學教學的實踐路徑［J］.數學教學通訊，2023（12）：81-82.

［2］莫里斯·克萊因.古今數學思想（第一冊）［M］.張理京，張錦炎，譯.上海：上海科學出版社，2014．

［3］覃淋，喻曉婷.HPM視角下“等比數列的前n項和公式”的教學［J］.中學數學研究，2023（4）：1-4.

特約編輯：孫士海 見習編輯：王一民