基于一題一課的初中數學專題復習課實踐與思考

*本文系江蘇省泰州市教育科學“十四五”規劃課題“初中數學解題中學生堅毅品質養成教育實踐研究”（tjkzxyb2022139）階段性研究成果。

【摘 要】教師在初中數學復習課中可由一題出發，展開關聯復習教學，挖掘試題教育價值，引導學生理解知識，關聯成網；學會思考，進階思維；變式創新，培養堅毅品質。

【關鍵詞】初中數學；一題一課；思維進階；堅毅品質

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2023）50-0056-03

【作者簡介】李齊榮，江蘇省泰州市姜堰區克強學校（江蘇泰州，225502）校長，高級教師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“教學建議”中提出要“整體把握教學內容”，強調要“引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”。初中數學幾何部分知識點多而繁瑣，內容呈現碎片化，教師要有意通過合適的主題，整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、結構化的眼光看問題。下面筆者嘗試以“一題一點”為切入口，引導學生向外拓展，關聯知識，主動建構知識體系，在問題解決中實現思維進階，培養堅毅品質。

一、試題呈現

如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點。

（1）求證：DE∥BC，DE = [12]BC。下面是某學習小組探究證明思路時發現的三種添加輔助線的方法，請選擇其中一種，完成證明。方法1：延長DE至點F，使EF=DE，連接CF；方法2：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F；方法3：過E作EF∥AB交BC于F，過A作AG∥BC交FE的延長線于點G。

（2）如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，請用無刻度的直尺和圓規作△ABC的角平分線BP。（要求：直尺和圓規分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

本題源于課本，又適度變化、高于課本，以三角形中位線為載體，結合平行四邊形、全等三角形、等腰三角形、尺規作圖等知識，對學生進行系統考查，構思新穎、形式開放，能有效考查學生的理解能力、探究能力。

二、教學實踐

1.重溫試題，一題多解，關聯知識成網

新課標對中位線定理的要求為“探索并證明三角形的中位線定理”。第一小問給出了三種證明思路讓學生自主選擇一種完成證明。因此，筆者在教學過程中從引導學生思考三角形中位線的判定方法（主要依據是定義），到引導學生應用多種方法證明三角形的中位線定理，帶領學生復習相關知識。

首先，筆者在教學中引導學生在三種證明方法的基礎上，應用構造平行四邊形法，思考其他證明方法。方法1、方法2，圖相同，但輔助線論述不同，如圖2；方法3，如圖3。再如，若過D作DF∥AC交BC于F，過A作AG∥BC交FD的延長線于點G，與圖3作圖不同，但證明思路和應用原理相同。構造平行四邊形、矩形證明本題的證法還有很多種，這里筆者不一一列舉。這樣就自然地由中位線關聯到了平行、平行四邊形、等腰三角形等知識點的概念、性質、判定及其應用，實現了系統復習。這些方法的探索與呈現，能有效地將相關知識串成線、連成網。

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image3.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image4.pnggt; lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image3.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image4.pnggt;

（圖2）" " " " " " " " " " " " "（圖3）

筆者還在等腰三角形情境中，引導學生思考這個問題。如圖4，作BC邊上的高AH構造兩個直角三角形，這樣又可以用等腰三角形及直角三角形斜邊上中線等知識來證明。

在新情境中換角度再思考，有助于幫助學生將知識點由單點結構向多點結構、關聯結構延伸，形成知識體系。上述教學中，筆者以三角形中位線為中心，向外拓展，除可關聯以上內容外，還可以關聯全等、平移、翻折、旋轉等知識點。如此，在教學過程中教師引領學生構建起知識點的關聯網絡。

2.理解試題，拓展應用，引導平時教學

本題的第二小問是作圖題，是平行線與角平分線的綜合，模型較常見，學生有思路，但仍有部分學生沒有得到全分，究其根源是學生對題意理解不到位。因此，筆者首先對怎樣操作叫“用一次圓規”，怎樣操作叫“用一次直尺”，逐一引導學生操作、理解、感悟。這要求教師在教學過程中要注重細節，引導學生關注細節，理解知識點的本質，讓理解真正成為思維過程。

筆者認為，本題第二問的設計只是與中位線平行于第三邊這個性質關聯，還不夠“完美”。筆者思考改進后設計如下：

如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，請用無刻度的直尺和圓規作出中位線DE的中點P。（要求：直尺和圓規分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

【設計意圖】改進后的題目真正應用到中位線的“平行且等于第三邊的一半”性質。

三角形中位線廣泛應用于計算、證明之中，作圖應用較少，故筆者在教學過程中又增加如下變式訓練，引導學生深度學習，實現思維進階。

應用變式訓練1：如下頁圖5，在△ABC中，ACgt;AB，AD平分∠BAC，E是邊BC中點，在AD上取一點F，能使得EF = [12]（AC-AB）。請用無刻度的直尺和圓規作出點F。（要求：直尺和圓規分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

【設計意圖】題中只有一中點，沒有連成中線，又出現了[12]，這提示學生思考中位線的應用，F點應為某線段中點，從而畫出“效果圖”：用圓規以A點為圓心，AB長為半徑在AC上取一點M，連接BM交AD于F點，點F即為所求。

應用變式訓練2：如圖6，在△ABC中，ACgt;AB，E是邊BC的中點，在△ABC內取一點F，使得EF = [12]（AC - AB）。請用無刻度的直尺和圓規作出點F可能位置。（保留作圖痕跡）

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image11.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image12.pnggt; lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image11.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學12期＼Image＼image12.pnggt;[（圖5）][（圖6）]

【設計意圖】變式2將變式1條件簡化，進一步考查基本作圖方法。本題F點位置不唯一，難度明顯增大。許多學生受變式1的思維限制，只找到一個點，就認為完成了。本題作法較多，可關聯平行線作法、圓等多個知識點。

三、教學反思

1.挖掘價值，關聯成網

上述教學借助一道基礎試題，從試題中提出的三種定理證明方法出發，引導學生自主思考探究更多證明方法。在證明過程中發現其關聯知識點，由點及面，構建知識體系。因此，教師要在日常的教學過程中應適時地回顧知識點，將各知識點關聯，形成知識網絡，讓知識點間的相互遷移更順暢，讓知識理解更深刻，讓思維進階更自然。

2.學會思考，進階思維

在教學過程中，教師應當從學生的角度去預設思考。本題教學過程中，在學生沒有思路的情況下，教師通過提示“可否應用相似來證明”“可否用反證法證明”，引導學生思考。學生分享后教師又可追問“你是如何想到的”，讓其展現思考的全過程，從而給其他學生啟發，引發學生的思維碰撞，實現學生思維進階。

3.變式創新，培養品質

美國數學家喬治·波利亞說過“沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經過充分研究和洞察后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化對答案的理解。”在課堂教學中，教師要擅長把試題作為教學資源，作為學生理解知識、學會解題、思維進階的平臺，這是教學應然的價值追求。這道題評講結束后，教師進行了改編和變式訓練，這有助于學生對知識的理解，也有助于培養學生的堅毅品質，啟迪學生創新意識和創造思維。

【參考文獻】

［1］邱志剛.一題一課，問題驅動的數學思維復習課——以“二次函數”復習課為例［J］.數學教學通訊，2023（11）：36-38.

［2］李建華，胡軍.基于數學高階思維培養的中考數學專題復習課架構——以“相似三角形”專題復習課為例［J］.數學通報，2022，61（6）：42-48.

［3］騰好波.開展“一題一課” 提升復習質量——以一道中考壓軸題為例［J］.中學數學教學參考，2023（18）：31-33.

特約編輯：孫士海 見習編輯：王一民